资源简介

2026年中考数学高频压轴题训练——
特殊四边形（二次函数综合）
1．如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值；
(3)在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标:若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
(1)求证：△AOC∽△COB；
(2)过点C作CDx轴交抛物线于点D．若点P在线段AB上以每秒1个单位的速度由A向B运动，同时点Q在线段CD上也以每秒1个单位的速度由D向C运动，则经过几秒后，PQ＝AC．
3．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，试判断的形状，并说明理由；
(3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限内抛物线上的动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，当四边形是正方形时，求点的坐标；
(3)如图2，连接，过点作交线段于点，连接，记与面积分别为，设，求的最大值．
5．如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若是直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值；
(3)将抛物线沿射线方向平移单位得到新的抛物线，点是新抛物线对称轴上一点，点为平面直角坐标系内一点，直接写出所有以，，，为顶点的四边形为矩形的点的坐标．
6．如图1，抛物线：与x轴的正半轴交点B，与y轴交于点C，，其对称轴为直线．

(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
(3)如图2，作抛物线关于原点O中心对称的抛物线，若抛物线与直线交于E，F两点，与直线交于M，N两点，且，点P，Q分别是、的中点，求证：直线必定经过一个定点，并求出该定点坐标．
7．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，且的面积为6，

(1)求抛物线的对称轴和解析式；
(2)如图1，若，为抛物线上两点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，设点横坐标为，求的值；
(3)如图2，过定点的直线交抛物线于，两点，过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点．
8．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点Q是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出点Q的坐标______．
9．如图1，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)如图2，若P是线段上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交于点N，设点P的横坐标为t，的面积为S．求S关于t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值；
(3)若P是x轴上一个动点，过P作直线交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以B，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．已知直线与x轴交于A ，与y轴交于点B，抛物线与x轴交于A ，C两点，与y轴交于点B
(1)求这个抛物线的解析式
(2)若P是直线上方抛物线上一点，存在点P使得，求点P的坐标
(3)在对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由
(4)点M在x轴上，在坐标平面内是否存在点N，使以A ，B ，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
11．如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，过点作直线轴，与抛物线交于点，作直线，连接．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)是抛物线上的点，求满足的点的坐标；
(3)点在轴上，且位于点的上方，点在直线上，点为直线上方抛物线上一点，是否存在点使四边形为菱形，如果存在，请直接写出点的坐标．如果不存在，请说明理由．
12．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，它的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当点P在第一象限时，点Q与点P关于抛物线的对称轴对称，若四边形是平行四边形，求m的值；
(3)过点P作轴于点 M，当点P与点M都不与点C重合时，以为边作矩形，设矩形的周长为l．
①求l与m的函数解析式；
②若对于l的每一个取值，都有四个m的值与它对应，写出l的取值范围．
13．如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA MB；
（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．
14．如图①，一次函数的图象与二次函数的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n（m＜0，n＞0）．
（1）当m=﹣1，n=4时，k=______，b=_____；当m=﹣2，n=3时，k=______，b=_____；
（2）根据（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；
（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．
①当m=﹣3，n＞3时，求的值（用含n的代数式表示）；
②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为___________；当四边形AOED为正方形时，m=______，n=______．
15．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，），点B（1，0），点C（3，0），以点P为圆心的圆与y轴相切于点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式和点P坐标；
（2）求证：四边形ABCP是菱形，并求出菱形ABCP面积；
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的？如果存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由；
（4）如果点D是抛物线上一动点（不与A，B，C重合），当∠BDC≧30°时，请直接写出所有满足条件的D点的横坐标的范围．

试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)点时，的面积取得最大值，最大值为4；
(3)或或．
2．(2)经过秒或秒时，PQ＝AC
3．(1)
(2)是直角三角形
(3)存在，
4．(1)
(2)
(3)当时，的值最大为1
5．(1)
(2)
(3)点的坐标为或或或
6．(1)
(2)存在，G点坐标存在，为或或
(3)直线过定点
7．(1)，
(2)或或或
(3)直线必过定点
8．(1)
(2)点的坐标为或或
(3)点的坐标为或或
9．(1)，该抛物线的顶点坐标为
(2)，当时，有最大值，最大值为
(3)存在，点P的坐标为或或
10．(1)
(2)存在，或
(3)存在，
(4)存在，或或
11．(1)
(2)或
(3)存在，点坐标为
12．(1)
(2)m的值为
(3)；②
13．（1）y＝x2；（3）P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．
14．（1）3，4；1，6；（2）k=m+n，b=﹣mn；（3）①；②n=﹣2m；m=﹣1， n=2．
15．（1）yx2x，点P坐标为：P（2，）；2；；（3）点M的坐标为（0，），（3，0），（4，），（7，8）；（4）0＜x＜1或1＜x＜3或3＜x≤4．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑