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数学
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共6页，“答题卷”共2页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列各实数中，与2026互为相反数是（ ）
A. 2026 B. C. D.
2. 安徽省经济呈现稳中有进态势，2025年前三季度全省地区生产总值39770亿元，各项政策举措持续发力显效，全省经济运行保持稳中有进发展态势．其中数据39770亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图1，陀螺是中国传统文化的重要组成部分，其历史可追溯至7000多年前的河姆渡遗址，是世界上现存最古老的玩具之一，如图2，陀螺的轮廓可以近似抽象成是由圆柱和圆锥组合而成，那么该几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 若实数p是满足的整数，则p的值可能为（ ）
A. B. C. D.
6. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏．假设A、B、C三位同学参与投壶游戏，且他们每次投壶时，投中与不投中是等可能的且互不影响．若A、B、C各投壶1次，则恰好只有两人投中的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点为正比例函数的图象上的一点，若且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，中，E为延长线上一点，连接交边于F点，交对角线于G点，若，则长为（ ）
A. 1.5 B. 2 C. D.
9. 已知抛物线分别经过一、二、三、四象限，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，D为边的中点，E点在上，，连接交于点F，，则下列结论错误的是（ ）
A. B. 平分
C D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 因式分解：______．
12. 命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是______
13. 扇形餐盘具有独特的视觉效果和实用性，广泛应用于家庭、餐饮及商业场景，如图，一餐盘所在大圆的半径为，所在小圆的半径为，对应的圆心角为，则该餐盘的面积为______．（结果保留）
14. 已知实数，，满足．
（1）若且，则的范围是______；
（2）若，则的值为______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）将向右平移2个单位，再向下平移3个单位，请网格中画出平移后的；
（2）在网格中画出关于点C的中心对称图形；
（3）仅用无刻度的直尺在边上确定一点P，使．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某车间计划用20天加工一批零件，在加工了5天后，引进了智能设备，使工作效率提高了，同时，上级部门要求给该车间的任务总量增加，若该车间仍能按计划完成任务．求m的值．
18. 如图，已知一次函数与反比例函数相交于、两点．
（1）求m，k，b的值；
（2）直接写出时x取值范围；
（3）将直线向下平移个单位后与y轴交于点C，若，求C点坐标．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 为了宣传“绿色生活，环保先行”，学校组织了知识普及活动，并从八、九年级学生中各随机抽取名学生的测评成绩（成绩用表示，且为的整数）进行整理、描述和分析（成绩分为四组，A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息：
八年级名学生的测评成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
九年级名学生测评成绩在B组的是：，，，，，．
八、九年级抽取的学生测评成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 方差
八
九
九年级抽取学生测评成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的______，______，______；
（2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识测评成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）若成绩不低于分为优秀，且该校八年级有名、九年级有名学生参加了此次知识普及活动，请估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数．
20. 如图，为的直径，为圆弧上一点，为的中点，过点作的切线交射线于点，连接，D．
（1）求证：；
（2）若，，求长．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践：钢管堆砌与图形规律探究
【项目主题】某校数学实践小组在参观钢结构加工厂时，发现钢管常按一定规律堆砌存放．为了优化仓库空间使用，提高效率，他们决定对钢管的堆砌规律展开数学研究．
【项目准备】1．观察现象
钢管的横截面堆砌成如下形状（图示，2，3，4的情形），其中上方的数字表示该位置钢管的总数量；
2．规律猜想
小组初步猜想：第n个图的钢管总数S可以按“行”来观察，并尝试用算式表达．
【项目分析】1．统一符号：设第n个图的钢管总数为
2．任务分解：
任务一：按“行”的方式写出和的算式，归纳的表达式．
任务二：换一种分割方式（如按“列”或“斜线”），重新表达．
任务三：建立第n个图钢管总数通用公式，并用于计算较大n时的数量．
【项目实施】问题一：按行分割的规律归纳
1．请补全下表：
图形
算式 ① ②
2．根据规律，写出第n个图的算式（不化简）： ③．
问题二：换一种眼光看图形
请你对的图形进行另一种方式的分割（如按“列”或“斜线”），并在下表中写出你发现的算式表达：
图形
算式 ④ ⑤
问题三：建立通用公式提示：】
将你在问题一中得到的第n个图的算式化简，写出关于n的代数表达式： ⑥；
根据以上信息，完成下面内容：
（1）将上方空白内容补充完整：
①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________；⑥__________；
（2）若某堆钢管的，求n的值．
七、（本题满分12分）
22. 如图，正方形中，、分别为边、上的点，且，连接、相交于点，为延长线上一点，连接交、于点、，且．
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）如图2，若，求的长．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，且，抛物线的对称轴为直线．
（1）求、的值；
（2）过点的直线与抛物线另交于点，与直线交于点．
①若，求的值；
②如图2，将直线向下平移个单位，得到直线，交轴于点，交直线于点，过点作于点，设，求的最小值．

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