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2.4实际问题与二次函数—销售问题同步练习
一、单选题
1．某超市将进货单价为l8元的商品按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每件提价1元，日销售就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？（　　）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
2．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天销售量是50件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为（　　）
A．y=10x2﹣100x﹣160 B．y=﹣10x2+200x﹣360
C．y=x2﹣20x+36 D．y=﹣10x2+310x﹣2340
3．某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆．当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是(　　)
A．140元 B．150元 C．160元 D．180元
4．某商品进货价为每件10元，售价每件50元时平均每天可售出20件，经调查发现，如果每件降价2元，那么平均每天可以多出售4件，若想每天盈利1000元，设每件降价x元，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（元）（　　）
A．3元 B．4元 C．5元 D．8元
6．某产品进货单价为元，按一件售出时，能售件，如果这种商品每涨价元，其销售量就减少件，设每件产品涨元，所获利润为元，可得函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．有一种产品，生产吨需费用元，而卖出吨的价格为元/吨，其中（，为常数），如果生产出来的产品全部卖掉，并且当产量是吨时，所获利润最大，这时的价格为每吨元，则，的值分别为 、 ．
8．某商品的进货单价为30元/个，当销售单价为40元/个时，每天能卖出40个．若销售单价每上涨1元/个，则每天的销量就减少1个．设该商品的销售单价上涨元/个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为 ．
9．某商场购进一批单价为元的日用品，经试销发现，若按每件元的价格销售时，每月能卖件，若按每件元的价格销售时，每月能卖件，假定每月销售件数（件）是价格（元/件）的一次函数，则与之间的关系式是 ，销售所获得的利润为（元）与价格（元/件）的关系式是 ．
10．某旅行社有张床位，每床每日收费元，客床可全部租出，若每床每日收费提高元，则租出床位减少张．若每床每日收费再提高元，则租出床位再减少张．以每提高元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每日应提高 元．
11．某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（10≤x≤20且x为整数）出售，可卖出（20﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为 元．
12．某日6时至10时，某交易平台上一种水果的每千克售价、每千克成本与交易时间之间的关系分别如图1、图2所示（图1、图2中的图象分别是线段和抛物线，其中点P是抛物线的顶点）.在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻是 ，此时每千克的收益是
三、解答题
13．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
14．深圳某公司投产一种智能机器人，每个智能机器人的生产成本为200元，试销过程中发现，每月销售量y(个)与销售单价x(元)之间的关系可以近似的看作一次函数y=-0.2x+260，设每月的利润为W(元)．(利润=销售额-投入)
（1）该公司想每月获得36000元的利润，应将销售单价定为多少元
（2）如果该公司拟每月投入不超过20000元生产这种智能机器人，那么该公司在销售完这些智能机器人后，所获得的最大利润为多少元？此时定价应为多少元？
15．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？
16．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．
(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；
(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
17．某商场销售新型电子产品，购进时的价格为20元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售价格为40元/件时，销售量为200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件．
（1）求销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（2）求销售该产品所获利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出商场获得的最大利润．
（3）若商场想获得不低于4000元的利润，同时要完成不少于320件的该产品销售任务，该商场应如何确定销售价格．
18．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，应如何定价才能使利润最大？
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B B C B B D
1．B
【分析】设利润为y，售价定为每件x元，根据：利润=每件利润×销售量，列方程求解，然后利用配方法求二次函数取最大值时x的值即可．
【详解】设利润为y，售价定为每件x元，
由题意得，y=（x-18）×[100-10（x-20）]，
整理得：y=-10x2+480x-5400=-10（x-24）2+360，
∵-10＜0，
∴开口向下，
故当x=24时，y有最大值．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度适中，解答本题的关键是根据题意列出二次函数，要求同学们掌握求二次函数最大值的方法．
2．B
【分析】根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×（50+10×降价）”列出函数关系式即可．
【详解】根据题意得：y=（x﹣2）[50+10（13﹣x）]
整理得：y=﹣10x2+200x﹣360．
故选B．
【点睛】此题考查了从实际问题中抽象出二次函数关系式，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
3．C
【详解】设每张床位提高x个20元，每天收入为y元．
则有y=（100+20x）（100-10x）
=-200x2+1000x+10000．
当x=-时，可使y有最大值．
又x为整数，则x=2时，y=11200；
x=3时，y=11200；
则为使租出的床位少且租金高，每张床收费=100+3×20=160元．
故选C．
4．B
【分析】根据降价x元，用x表示出降价后的销量和售价，再根据利润=销量（售价-成本）列式．
【详解】解：每件降2元，平均每天多销售4件，
那么每件降x元，平均每天多销售件，此时销量为件，售价是元，
根据利润=销量（售价-成本），列式：，即．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数应用题的列式，解题的关键是抓住：利润=销量（售价-成本）这个公式去列式．
5．B
【分析】设每件降价元，每天获得的利润为元，根据销售问题的数量关系表示出与之间的关系式，转化为顶点式即可．
【详解】解：设每件降价元，每天获得的利润为元，
则
．
，
时，，
故选：B．
【点睛】本题考查了利润问题的数量关系的运用，二次函数的运用，二次函数的性质的运用，解题的关键是求出二次函数的解析式．
6．D
【分析】根据总利润=单件利润×数量建立等式就可以得出结论．
【详解】解：由题意，得
y=（10+x-9）（100-10x），
y=-10x2+90x+100．
故选D．
【点睛】本题考查了销售问题的数量关系的运用，总利润=单件利润×数量的运用，解答时找准销售问题的数量关系是关键．
7． a=45, b=-30
【分析】首先设出售x吨时，利润是y元，根据题意表示出利润，然后根据二次函数求最值方法进行计算，求出a，b．
【详解】解：设出售x吨时，利润是y元，
则 y=（a+）x-（1000+5x+）=x2+（a-5）x-1000，
依题意可知，
当x=150时，y有最大值，
则 a+=40，
当b＜0或b＞10时，
＜0，
故 =150，
，
解得：．
故答案为a=45，b=-30．
【点睛】此题考查了函数模型的应用，通过对实际问题分析，转化为函数表达式，通过二次函数求最值计算，属于中档题．
8．
【分析】根据销售问题中数量关系：建立函数式．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】本题考查销售问题的数量关系，列函数关系式，理解销售问题的数量关系是解题的关键．
9．
【分析】利用待定系数法，即可求得y与x之间的函数解析式．再根据利润=（售价-成本）×售出件数，即可得到w与x之间的关系式．
【详解】解：∵每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数，可设y=kx+b，
把（20，360），（25，210）代入，得：
，解得k=-30，b=960．
∴y=-30x+960．
w=（x-16）（-30x+960）．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求值．
10．
【分析】设每床每日提高x元，每日利润为W，根据利润=租床数每床每日收费列出二次函数即可求解．
【详解】解：设每床每日提高x元，每日利润为W，则
W=(10+x)(100-5x)=，
根据函数解析式可知：当提高5元时，利润最大，但是每次提高都是2元，则每日提高4元或6元时可以获得最大利润，
又∵当x=4时，100-5x=100-20=80，当x=6时，100-5x=100-30=70，80，
∴为了投资少而获利大，每床每日应提高6元，
故答案为： 6．
【点睛】本题主要考查的就是二次函数的实际应用问题，属于中等难度的题目．解决这个问题有两个关键：①、找出提高的钱与床位数量的关系；②、x的值必须是2的倍数．二次函数的实际应用是建立在一元二次方程的实际应用的基础之上，所以学好一元二次方程是二次函数的基础．
11．15
【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润＝每件利润×销售量，每件利润＝每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
【详解】解：设利润为w元，
则w＝（20﹣x）（x﹣10）＝﹣（x﹣15）2+25，
∵10≤x≤20，
∴当x＝15时，二次函数有最大值25，
故答案是：15．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
12． 9时 元
【分析】根据两个函数图象分别求出两个函数解析式，再根据收益=售价-成本列出二次函数即可求解．
【详解】解：设图1中交易时间y1与每千克售价x1的函数关系式为：
y1=kx1+b，
将（5，10）（6，8）代入解得k=-2，b=20，
所以y1=-2x1+20
设每千克成本y2与交易时间x2的函数关系式为：
y2=a（x2-10）2+3
将（6，7）代入，解得解得a=
所以y2=（x2-10）2+3=x22-5x2+28
设在这段时间内，出售每千克这种水果的收益为w元，
根据题意，得y2=x22-5x2+28=（-2x1+20）2-5（-2x1+20）+28
=x12-10x1+28
w=x1-y2
=x1-（x12-10x1+28）
=-x12+11x1-28
当x1=时，y1=-11+20=9，
w取得最大值，最大值为．
答：在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻为9时，
此时每千克的收益是元．
故答案为：9时，元．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，解题的关键是:观察函数图象根据点的坐标，利用待定系数法求出关于x的函数关系式.
13．（1）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；（2），最大利润为1750元
【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元，根据某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列方程计算即可；
（2）根据题意当时，每天可售100盒，猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质计算最大值即可．
【详解】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元．
则
解得：，经检验是方程的解．
∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
（2）由题意得，当时，每天可售100盒．
当猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒．每盒的利润为()
∴，
配方得：
当时，y取最大值为1750元．
∴，最大利润为1750元．
答：y关于x的函数解析式为，且最大利润为1750元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数解析式是解决本题的关键．
14．(1) 该公司想每月获得36000元的利润，应将销售单价定为 400元或1100元;(2) 该公司销售完这些智能机器人后，所获得的最大利润为60000元，此时定价为800元
【分析】(1)根据销售利润＝每天的销售量×(销售单价－成本价),即可列出函数关系式，将y＝36000代入解析式,求出满足条件的x的值即可;
(2)先根据每月投入不超过20000元求出x的范围，再列出二次函数求最大值即可..
【详解】（1）解：由题意得，(x－200)(－0.2x＋260)＝36000，
整理得，x2－1500x＋440000＝0,
∴x1＝400，x2＝1100，经检验都符合题意，
答： 该公司想每月获得36000元的利润，应将销售单价定为 400元或1100元．
（2）解：由题意得，200(－0.2x＋260)≤20000，∴x≥800，
设销售完这些智能机器人后所获得的利润为W元，由题意得，W＝(x－200)(－0.2x＋260)＝－0.2(x－750)2＋60500，
∵－0.2＜0，x≥800，
∴当x＝800时，W取得最大值，最大值＝－0.2(800－750)2＋60500＝60000，
即该公司销售完这些智能机器人后，所获得的最大利润为60000元，此时定价为800元．
【点睛】本题考查的是一元二次方程和二次函数的实际应用，熟练掌握一元二次方程和二次函数是解题的关键.
15．（1）；（2）当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元．
【分析】（1）由图象过点（20，20）和（30，0），利用待定系数法求直线解析式；
（2）每天利润=每千克的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答．
【详解】解：（1）设y=kx+b，由图象可知，
，
解之，得：，
∴y=﹣2x+60；
（2）p=（x﹣10）y
=（x﹣10）（﹣2x+60）
=﹣2x2+80x﹣600，
∵a=﹣2＜0，
∴p有最大值，
当x=﹣=20时，=200．
即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元．
【点睛】本题考查二次函数的应用．
16．（1）y=50-，且0≤x≤160，且x为10的正整数倍．（2）w=-x2+34x+8000；（3）一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润为10880元．
【分析】（1）理解每个房间的房价每增加x元，则减少房间间，则可以得到y与x之间的关系；
（2）每个房间订住后每间的利润是房价减去20元，每间的利润与所订的房间数的积就是利润；
（3）求出二次函数的对称轴，根据二次函数的增减性以及x的范围即可求解．
【详解】（1）由题意得：
y=50-，且0≤x≤160，且x为10的正整数倍．
（2）w=（180-20+x）（50-），即w=-x2+34x+8000；
（3）w=-x2+34x+8000=-（x-170）2+10890
抛物线的对称轴是：x=170，抛物线的开口向下，当x＜170时，w随x的增大而增大，
但0≤x≤160，因而当x=160时，即房价是340元时，利润最大，
此时一天订住的房间数是：50-=34间，
最大利润是：34×（340-20）=10880元．
答：一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润为10880元．
考点：二次函数的应用．
17．（1）y=－20x+1000；（2）W=－20x2+1400x－20000；4500元；（3）30至34之间．
【分析】（1）根据销售单价每降低1元，就可多售出20件，可知当销售单价为x元时，降低了（40－x）元，则比200件多销售20（40－x）件，则此时销售量为200+20（40－x）；
（2）根据“利润=销售量×单件利润”列式即可得利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，将一般式整理成顶点式，可知函数开口方向向下，顶点是最高点，即x=35时，商场获得最大利润；
（3）依题意列式：W≤4000，且y≥320，解方程组即可得解．
【详解】（1）依题意，得y=200+20（40－x）=－20x+1000
则销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=－20x+1000
（2）W=y（x－20）=（x－20）（－20x+1000）
整理得W=－20x2+1400x－20000=－20（x－35）2+4500
则当x=35时，商场获得最大利润4500元
（3）依题意，得
解①式得30≤x≤40
解②式得x≤34
故不等式组的解为30≤x≤34
即商场的确定的售价在30至34之间即可．
【点睛】本题考查了二次函数最值，解一元二次方程不等式等知识点，根据题目条件列出对应关系式是本题的难点，属于常考题．
18．每件定价65元才能使所获利润最大．
【分析】设所获总利润为y元，根据题意用二次函数表示问题中变量之间的关系，然后利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】解：设所获总利润为y元，
由题意可知，
＝，
∴当x＝65时，y有最大值，最大值是1225，
答：每件定价65元才能使所获利润最大．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是用二次函数表示问题中变量之间的关系和掌握二次函数的性质．
答案第1页，共2页
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