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第三章 圆周运动
第2节 科学探究：向心力 第1课时
问题：空中飞椅深受年轻人的喜爱。飞椅与人一起做匀速圆周运动的过程中，受到哪些力？所受合力的方向有什么特点？
1、理解向心力的概念，知道向心力的特点。
2、通过实验，知道影响向心力的大小的因素，知道向心力的大小与物体质量、转动半径、角速度的定量关系。
3、能运用向心力公式进行计算。
取一根细绳，一端系一小球，另一端固定在一枚图钉上。将图钉钉于水平光滑木板上，如图所示。
(1) 用手指沿小球与图钉连线的垂直方向轻轻弹击小球，在细绳未伸直前，小球做什么运动？
(2) 用手指弹击小球，方向同上，加大弹击力量，使小球运动过程中细绳伸直。细绳伸直后，小球做什么运动？
思考：
①细线的松弛或绷直使小球在受力上有什么差别？
②是什么力改变了小球的运动方向，使小球做圆周运动？
③你能从这个实验中发现圆周运动的受力与抛体运动有什么差别吗？
O
FN
F拉
FN与G相平衡，合力为F拉
G
①拉力使小球做圆周运动
②拉力指向圆心
小球受力分析：
O
F
F
F
v
v
v
O
小球受力分析：
③拉力始终与速度垂直。所以拉力不对小球做功，不改变小球的速度大小。
2.方向：总是沿着半径指向圆心。方向时刻改变,因此向心力是变力。
3.作用：只改变速度方向，不改变速度大小。
物体做匀速圆周运动的条件：合力大小不变，方向始终指向圆心。
1.定义： 做匀速圆周运动的物体一定受到一个指向圆心的合力，这个合力叫做向心力。
知识点一：向心力
思考：空中飞椅游戏中飞椅与人的向心力来源？
θ
θ
mg
FN
F合
空中飞椅游戏中飞椅与人的向心力是合力
θ
O'
O
R
ω
θ
ω
θ
m
m
O
r
mg
FN
F合
mg
FN
F合
F合＝mg tanθ
竖直方向:FN cosθ＝mg
水平方向:F合= FN sinθ
竖直方向：FN cosθ＝mg
水平方向：F合= FN sinθ
沿光滑漏斗或碗内壁做圆周运动的小球
地球对月球的引力使地球做匀速圆周运动
思考：月球绕地球公转的向心力来源？
v
F
随水平圆台一起匀速转动的人或物体需要的向心力由圆台对人或物体的静摩擦力提供
4.向心力的来源：向心力可以是重力、弹力、摩擦 力等各种性质的力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力。物体做匀速圆周运动时，由合力提供向心力。
5.关于向心力的几点说明
（1）向心力是根据作用效果命名的，并不是一种新的性质的力。
（2）向心力不是物体真实受到的一个力，不能说物体受到向心力的作用，只能说某个力或某几个力提供了向心力。受力分析时绝对不能出现向心力。
猜想：向心力大小可能与 _______________________________ 有关
物体质量、
轨道半径、
运动快慢
探究向心力大小的表达式
知识点二：向心力的大小
1、体验向心力的大小
2、演示实验：用向心力演示器演示
3.实验方法:
控制变量法
（1）F与m的关系
保持r、ω一定
（3）F与ω的关系
保持m、 r一定
（2）F与r的关系
保持ω 、m一定
（1）把两个质量不同的小球分别放在长槽和短槽上，调整塔轮上的皮带和小球在位置，使两球的转动半径和角速度都相同。转动手柄，观察向心力的大小与质量的关系。
（2）换两个质量相同的小球，使两球的角速度相同。再增大长槽上小球的转动半径，使两球的转动半径不同。转动手柄，观察向心力的大小与半径的关系。
（3）若要研究向心力的大小，请按照你设计的实验步骤操作。
4. 实验步骤
演示视频
（1）其他条件相同的条件下，质量越大，套桶露出标度的格数越多，即向心力越大。
5. 数据分析
（2）其他条件相同的条件下，角速度越大，套桶露出标度的格数越多，即向心力越大。
（3）其他条件相同的条件下，半径越大，套桶露出标度的格数越多，即向心力越大。
6. 实验结论
精确实验证明:
物体做圆周运动，需要的向心力与物体质量成正比，与半径成正比，与角速度的二次方成正比。
根据 推导向心力的另一表达式：
公式1：
F＝mrω2
公式2：
1.用细线拴柱一球做匀速圆周运动，下列说法中正确的是（ ）
A.在线速度一定情况下，线越长越易断
B.在线速度一定情况下，线越短越易断
C.在角速度一定情况下，线越长越易断
D.在角速度一定情况下，线越短越易断
BC
2．有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台侧壁高速行驶，做匀速圆周运动。如图所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为 ，下列说法中正确的是（　　）
A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越小
D．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
B
3．如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是（　　）
A．小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B．向心力由细线对小球的拉力提供
C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D．向心力的大小等于
C
mg
tanθ
4.如图所示，一辆轿车正在水平路面上转弯，下列说法正确的是(　　)
A．水平路面对轿车弹力的方向斜向上
B．轿车受到的静摩擦力提供转弯的向心力
C．轿车受到的向心力是重力、支持力和牵引力的合力
D．轿车所受的合力方向一定与运动路线的切线方向垂直
B
2.向心力的作用效果：
改变速度的方向
3.向心力的大小
1.向心力的方向：
指向圆心
第三章 圆周运动
第2节 科学探究：向心力 第2课时
1.理解向心加速度的概念。
2.知道匀速圆周运动中向心加速度大小的表达式，并能推导向心加速度的表达式。
3.能够运用向心加速度公式求解有关问题。
力是产生加速度的原因。既然做圆周运动的物体受到向心力的作用，那么它必然存在一个由向心力产生的加速度，这个加速度称为向心加速度。
1.向心加速度
任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。
知识点一：匀速圆周运动的加速度方向
物体做匀速圆周运动时，合力的方向总是指向圆心，根据牛顿第二定律，物体运动的加速度方向与它所受合力的方向相同，即：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心。
2.向心加速度的方向
总指向圆心，方向时刻改变，方向总是与速度方向垂直。
v
a
Fn
a
a
a
3.向心加速度的作用只改变速度的方向，对速度的大小无影响。
注意：无论a的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动
做变速圆周运动的物体，加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：
一是向心加速度；二是切向加速度，切向加速度改变速度的大小。
因此一般情况下，物体做圆周运动的加速度方向不一定指向圆心。
思考讨论1：变速圆周运动的加速度和向心加速度有什么关系？
a
v
at
an
思考讨论2：匀速圆周运动的加速度和向心加速度有什么关系？匀速圆周运动是否为匀变速运动？
匀速圆周运动的加速度和向心加速度含义相同．由于匀速圆周运动的加速度始终指向圆心，其大小不变，但方向时刻在改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动。
思考讨论3：向心加速度与合加速度之间有什么关系？
对于匀速圆周运动而言，物体的加速度即为向心加速度，因此其方向一定指向圆心；物体做变速圆周运动时，合加速度必有一个沿切线方向的分量和指向圆心方向的分量，其指向圆心方向的分量就是向心加速度。 对于非匀速圆周运动，沿切线方向的加速度改变线速度的大小。
4.向心加速度的物理意义
思考讨论：向心加速度是从哪个角度描述速度变化快慢的？说明理由？
因为向心加速度的方向总指向圆心，与速度方向垂直，所以向心加速度只改变速度方向，不改变速度大小，因此向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量，向心加速度大，即速度方向改变得快。
知识点二：匀速圆周运动的加速度大小
注意：向心加速度的公式适用于任何圆周运动。
由向心力：F =m 或 F =mω2r
根据牛顿第二定律 F ＝ ma，得a = 或 a= rω2
（1）从牛顿第二定律角度思考：
1.向心加速度的推导
设做匀速圆周运动的物体的线速度的大小为v 轨迹半径为r。经过时间△t，物体从A点运动到B点。尝试用v 、r 写出向心加速度的表达式。
vA、vB、△v 组成的三角形与ΔABO相似且vA、vB都等于线速度v，所以
当Δt 很小很小时，
O
B
A
vA
vB
vA
Δv
θ
θ
因为 ，
所以
所以
（2）从几何角度推导向心加速度的大小：
2、向心加速度的各种表达式
由匀速圆周运动向心加速度的基本公式，结合各物理量间的关系，你能推导出匀速圆周运动向心加速度的几种表达形式？
a =
v2
r
a= ω2r
v= ωr ω= 2π/T
由
得
【例题】一般飞行员能承受的最大向心加速度的大小约为 6g。在飞行表演中，飞机某次水平转弯时，可视为在水平面内做匀速圆周运动。若飞机以 150 m/s 的速度飞行，在该次水平转弯过程中向心加速度为 6g，取重力加速度 g = 9.8 m/s2，飞机水平转弯半径至少为多少
由题意可知，v = 150 m/s，a = 6g = 6×9.8 m/s2 = 58.8 m/s2。
解：
由得
如图所示，在长为l的细绳下端拴一个质量为m的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。当绳子跟竖直方向的夹角为θ时，小球运动的向心加速度an的大小为多少 试通过计算说明：要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度。
【分析】 由于小球在水平面内做圆周运动，向心加速度的方向始终指向圆心。可以根据受力分析，求出向心力的大小，进而求出向心加速度的大小。根据向心加速度公式，分析小球做圆周运动的角速度 ω 与夹角 θ 之间的关系。
解：根据对小球的受力分析，可得小球的向心力
根据牛顿第二定律可得小球运动的向心加速度
（1）
根据几何关系可知小球做圆周运动的半径
（2）
把向心加速度公式和（2）式代入（1）式，可得
从此式可以看出，当小球运动的角速度增大时，夹角也随之增大。因此，要增大夹角，应该增大小球运动的角速度。
1．下列说法中正确的是（　　）
A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B．向心加速度描述线速度方向变化的快慢
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．匀速圆周运动是匀变速曲线运动
B
2．如图所示，拖拉机后轮的半径是前轮半径的两倍，A和B是前轮和后轮边缘上的点，若车行进时车轮没有打滑，则（　　）
A．A点和B点的线速度大小之比为1：2
B．A点和B点的线速度大小之比为1：1
C．前轮和后轮的角速度之比为1：1
D．A点和B点的向心加速度大小之比为1：2
B
3.如右图所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，表示质点P的图线是双曲线的一支，表示质点Q的图线是过原点的一条直线，由图线可知( 　)
A． 质点P的线速度大小不变
B． 质点P的角速度大小不变
C． 质点Q的角速度大小不变
D． 质点Q的线速度大小不变
AC
4. 如图所示，有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内。已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，求小球做圆周运动的速度及碗壁对小球的弹力。
FN
mg
x
y
解析：受力分析如图所示。
由向心力公式得 ①
竖直方向： ②
联立①②两式，可解得
碗壁对小球的弹力
1、方向：总指向圆心，方向时刻改变，方向总是与速度方向垂直。
2、向心加速度：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。
3、物理意义：向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量。
二、向心加速度的大小
a = （2π f ）2r
a =
an= ω2r
一、匀速圆周运动的向心加速度及其方向
a=
4π2 r
T 2

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