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数学
一．选择题（共8小题）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
2. 国产人工智能大模型横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（ ）
A. 2 B. 6 C. 3 D. 9
4. 下列各运算中，正确是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知点和点在一次函数的图象上，且，下列四个选项中的值可能是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，，是的中点．与相交于点．则的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
8. 如图是二次函数的部分图象，其对称轴为直线，函数的最大值为m，且与x轴的一个交点的横坐标在3和4之间，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 一元二次方程有实数根
二．填空题（共6小题）
9. 因式分解为________．
10. 一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为______．
11. 进价为320元的某商品按标价的8折销售，利润率为，则商品的标价为_____元．
12. 如图，四边形内接于，点为中点，连接，过圆心，过点作的切线交的延长线于点．若，，则半径为______．
13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点 C，坐标原点 O 在 边上，点 E 在边上，且，交 y 轴于点 F，若的面积为 10，则 k 的值为_______.
14. 如图，菱形的边长为，，点在边上，，点、在对角线上，，连接、，则的最小值是______．
三．解答题（共12小题）
15 计算：．
16. 解不等式．
17 先化简，再求值：，其中．
18. 如图，在中，，请用尺规作图法在边上确定一点，使得．
（要求保留作图痕迹，不写作法）
19. 已知：如图，，，．求证：．
20. 如图，为厚植学生的家国情怀，某校专门举办了“国之重器·强军梦”主题国防教育展．展厅里陈列着4件等比例缩小的立体模型，分别是A东风-17高超音速导弹、B巨浪-3潜射洲际导弹、C红旗-29反导系统、D歼-35隐身舰载战斗机，学校还制作成与模型一一对应的四张小卡片，参观活动设置惊喜福利：每位同学可以从A、B、C、D四张卡片中分2次随机抽取2张即赠送对应的2件小模型（除图案外每张卡片完全相同，背面朝上）
（1）甲同学第一次就抽到模型A的概率是__________________；
（2）若按照“先抽1张不放回，再抽第2张”的方式赠送2件模型，请用列表或画树状图的方法，求甲同学抽到的2件模型中包含A的概率．
21. 如图1是一款手推婴儿车，图2是该款婴儿车的车架示意图，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点，已知．若推手支架的长为，，求此手推婴儿车的握把距地面的高度．（结果精确到）
（参考数据：，，，，，，．）
22. 某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1600元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如表：
外卖送单数量 补贴（元/单）
每月不超过500单 5
超过500单的部分 8
（1）设某外卖小哥4月份送餐单（），所得工资元，请写出与的函数关系式．
（2）若某外卖小哥5月份送了800单，求外卖小哥5月份工资总额多少元？
23. 为落实《“健康中国2030”规划纲要》中全民健康战略主题，某校开展八年级体育百分制测试，助力激发学生运动热情，筑牢体能根基．从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息：
a：抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下：
组别 成绩/分 人数（频数）
A 1
B 5
C m
D 16
E 20
b：D组的数据：
60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，69，70，71，74，75，79
请根据以上信息回答下列问题：
（1）求随机抽取的学生人数；
（2）统计表中的________，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为________度；
（3）抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为________分；
（4）若该校八年级共有600名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数．
24. 如图，是的直径，点是线段延长线上一点，过点的直线与相切于点，过线段上一点作的垂线交直线于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
25. 掷实心球是中考体育考试项目之一．图1是一名男生投实心球的情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
（1）求关于的函数解析式；
（2）根据陕西省中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分？请说明理由．
26. 问题提出
（1）如图①，在中，，，求面积的最大值______．
问题探究
（2）如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值；
问题解决
（3）如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值．

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