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2026届九年级结课评估数学
注意事项：共三个大题，满分120分，作答时间100分钟．
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的），请把正确答案的代号填在括号中．
1. 下列各式中，是关于二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若正边形的半径等于它的边长，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，若，，则度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 下面的调查中，最适合用普查的是（ ）
A. 了解某款新能源汽车的电池的使用寿命
B. 了解某校八（1）班全体学生体重
C. 了解我市全体初中生每周做家务的时间
D. 了解黄河中鱼的总质量
5. 在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移个单位长度，再绕原点旋转后，得到的抛物线表达式是（ ）
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点是，则的值为（ ）
A. B. 1 C. 7 D.
7. 中国书法是一门古老的艺术，它伴随着中华文明的发展而发展，被誉为“无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐”．如图，这是正面分别用楷书、行书、楷书、隶书写有“马”字的四张卡片，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好都是用楷书写的“马”字的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 关于的一元二次方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A. 可能有两个相等的实数根 B. 一定有两个不相等的实数根
C. 不可能有一根为 D. 一定没有实数根
9. 如图，的顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度（单位：）与弹簧被压缩的长度（单位：）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．已知为该抛物线的顶点，有一条平行于轴的直线，且．当小球的速度不小于时，弹簧被压缩的长度的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 已知的半径为，，是上一点（不含端点），设．请写出一个使点在外的正整数的值：___________．
12. 与最接近的整数是___________．
13. 从黄河滩区的标准化大棚，到唐店村的品牌化实践，河南草莓产业正走出一条“科技育种规范种植品牌赋能”的高质量发展之路．某村2025年产草莓鲜果150万千克，假设从2025年到2027年，每年草莓鲜果产量的增长率相同，预计2027年的产量为216万千克．设每年草莓鲜果产量的增长率为，则可列方程：___________．
14. 在中国古代文化中，玉璧寓意吉祥如意，象征着美好的意愿和高贵的品质．如图，这是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．若正方形的面积为4，则图中阴影部分的面积是___________．
15. 如图，在中，，，，为边上任意一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段．若点恰好落在边上，则的长为___________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算以及证明
（1）计算：．
（2）如图，在与中，．求证：．
17. 学习消防知识是青少年成长的“必修课”．某校九年级共有1300名学生，为了解九年级学生对消防知识的掌握情况，对九年级全体学生进行相关测试（满分100分），并选取了部分学生作为样本，根据他们的成绩（单位：分）绘制出如下的频数分布表．
九年级部分学生测试成绩频数分布表
组别 测试成绩/分 频数
A 1
B 3
C 5
D 12
E 4
根据以上信息，回答下列问题．
（1）关于选取的部分学生，下列最合适的是　　　　　　．（填序号）
①随机选取该校九年级25名男生；
②随机选取该校九年级25名女生；
③随机选取该校九年级25名学生．
（2）若90分以上为非常优秀，估计该校九年级这1300名学生对消防知识的掌握情况为非常优秀的人数．
（3）为积极促进学生对消防知识的掌握，学校计划从本次测试在90分以上的1名女同学和3名男同学中，随机选择两名同学给全校同学分享学习消防知识的心得与方法，请用列表或画树状图的方法，求选择的两名同学恰好是一男一女的概率．
18. 如图，在中，．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作（圆心在上，的长为半径），且与所在的直线都相切．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）条件下，若与的切点为，，求的长．
19. 如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）．
（1）若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为　　　　　　．（用含的代数式表示）
（2）若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数．
（3）方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和能为269吗？若能，请直接写出最小的数；若不能，请说明理由．
20. 如图，在中，以为直径的与相切于点，与交于点，连接，且．
（1）求的长．
（2）是上一点，且在的下方，连接．当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出的面积．
21. 铭记革命先烈，赓续红色基因．某数学兴趣小组参观了位于焦作温县的张祥云烈士纪念碑，并开展了测量纪念碑高度的活动，记录如下：
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图 和测量 示意图
测量步骤 如图，某同学在点处用测角仪测得纪念碑的最高点的仰角，另一名同学在他的正后方的点处用相同的测角仪测得点的仰角（测角仪的高度为），且图中所有的点都在同一平面内，
测量数据 在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为
参考数据
…… ……
根据以上信息，解决下列问题．
（1）求该纪念碑的高度．（结果精确到m）
（2）该数学兴趣小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表中的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一个即可）
22. 某地修建一座商场，为了减少夏季和冬季的电能消耗，计划在商场的外墙建造隔热层，其建造成本P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位： cm）满足函数解析式：．预计该商场每年的电能消耗费用T（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：）满足函数解析式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与5年能源消耗费用之和为y（单位：万元）
（1）求T的最大值．
（2）若y＝202，求该商场建造的隔热层厚度．
（3）已知该商场未来5年的相关规划费用为W（单位：万元），且，求W的最小值．
23. 如图，在矩形中，分别是的中点，是直线上一动点，过点作，交直线于点是线段的中点，连接．
（1）观察猜想
如图1，当点在线段的延长线上时，线段与的数量关系和位置关系为　　　　　　．
（2）类比探究
如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸
若，当点在线段的延长线上，且的一个内角是另一个内角的2倍时，请直接写出的面积．
【1】B
【2】C
【3】D
【4】B
【5】D
【6】A
【7】C
【8】B
【9】A
【10】D
二、填空题（每小题3分，共15分）
【11】
【12】
【13】
【14】
【15】或
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
【16】（1）
（2）见解析
【17】（1）③ （2）208
（3）
【18】（1）图见解析
（2）
【19】（1）
（2）7 （3）方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和不能为269，理由见解析
【20】（1）
（2）
【21】（1）该纪念碑的高度为
（2）误差分析与改进建议，总结与反思等（答案不唯一）
【22】（1）
（2）隔热层修建时，总费用达到202万元
（3）隔热层修建时，总费用达到最小值万元
【23】（1）
（2）成立，证明见解析
（3）或

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