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2025—2026学年九年级数学中考一轮专题复习六：实际问题与二元一次方程组综合训练
1．已知2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨．用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆，一次运完，且每辆车都满载货物．根据以上信息解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车载满货物一次分别可运货物多少吨？
(2)请帮助物流公司设计租车方案．
(3)若A型车每辆车租金每次80元，B型车每辆车租金每次100元．请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费．
2．某地有120吨水果，计划用甲、乙两种货运车运往上海销售，已知甲种车能装载5吨，乙种车能装载6吨，现有甲、乙两种车共22辆．
(1)若在满载情况下，恰好能将这些水果一趟全部运完，那么甲、乙种车各有多少辆？
(2)假如甲种车每辆每趟运费为1500元，乙种车每辆每趟运费为1700元，现要求车辆满载，将水果最多可分两趟恰好全部运完，但要求总运费不超过34500元，这样的配车方案若存在，请求出这样的所有配车方案；若不存在，请说明理由．
3．某校为丰富学生的课余生活，并拓展同学们的知识视野，准备举办一次趣味知识答题活动，计划购买，两种奖品鼓励答题的同学．若购买种奖品20件，种奖品15件，那么共需380元；若购买种奖品15件，种奖品10件，那么共需280元．
(1)求，两种奖品每件各多少元？
(2)现需要购买，两种奖品共100件．
①若预算资金不超过900元，那么最多购买种奖品多少件？
②若预算资金不低于860元且不超过900元，有哪几种购买方案
4．学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
(1)全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车______辆来运送．
(2)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(3)若学校决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？
5．甲，乙在的环形跑道上跑步，两人从某起点同时出发．如果同向而行，那么经过甲比乙多跑一圈；如果反向而行，那么经过两人第一次相遇．
(1)求甲，乙两人的速度；
(2)甲，乙同向而行时，丙也在跑道上跑步，且与甲，乙方向一致．若出发后甲追上丙，出发后乙追上丙，则出发时丙在甲，乙前面多少米？丙的速度是多少？
6．一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈．
(1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？
(2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？
(3)救生圈于何时掉入水中？
7．甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行．
(1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？
(2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？
8．A、B两工程队承包一项工程，若A队单独施工，则恰好如期完成；B队单独施工，要延期6个月才能完成，现A、B两队先共同施工4个月，剩下的由B队单独施工，则恰好如期完成．
(1)求A、B队各自单独完成这项工程所需的时间？
(2)现要求A、B两队都参加这项工程，但施工场地限制，A、B两队不能同时施工．若A、B两队完成该项工程的总耗时为15个月；已知A队每月的施工费用为4万元，B队每月的施工费用为2万元，求A、B两队完成该项工程的总费用．
9．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问：
(1)甲、乙两队每天费用各为多少？
(2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？
10．某超市购进甲乙两种牛奶共75箱．已知每箱甲牛奶占0.3立方米的存储空间，每箱乙牛奶占0.2立方米存储空间，这75箱甲、乙两种牛奶共占用16立方米的存储空间．
(1)请问该超市采购了甲乙牛奶各多少箱？
(2)经市场调查，每箱甲牛奶的进价比每箱乙牛奶的进价多10元．如果用5000元采购甲牛奶的箱数与用4200元采购乙牛奶的箱数相同，那么采购这两种牛奶总共需要花费多少元？
11．工艺品厂计划投入78米布料制作国旗用五角星，每米布料可制作大五角星12颗或小五角星30颗，每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星．
(1)为保证制作的大五角星和小五角星的数量恰好配套，制作大五角星和小五角星的布料各多少米？
(2)本批布料制作的五角星共能制作多少面国旗？
12．某厂租用、两种型号的车给零售商运送货物，已知用辆型车和辆型车装满可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；厂家现有吨货物需要配送，计划租用、两种型号车辆一次配送完货物，且型车至少辆．根据以上信息，解答下列问题：
(1)辆型车和辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮助厂家设计租车方案完成一次配送完吨货物；
(3)若型车每辆需租金元每次，型车每辆需租金元每次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
13．某商店销售、两种型号的打印机，销售3台型和2台型打印机的利润和为560元，销售1台型和4台型打印机的利润和为720元．
(1)求每台型和型打印机的销售利润；
(2)商店计划购进、两种型号的打印机共120台，其中型打印机数量不少于型打印机数量的一半，设购进型打印机台，这120台打印机的销售总利润为元，求该商店购进、两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？
14．某文具店促销，小明想购买一些笔袋和笔记本．已知购买3个笔袋和2个笔记本共需110元，购买4个笔袋和1个笔记本共需95元．
(1)每个笔袋和笔记本各需多少钱？
(2)促销期间，两种商品售价均有所调整，小明分别花费90元和270元购买笔袋和笔记本，且购买的笔袋数量比笔记本数量少，每个笔袋比每个笔记本售价少9元，则小明购买笔记本多少个？
15．如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒．
(1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积；
(2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积．
参考答案
1．【详解】（1）解：设每辆型车、型车都装满货物一次可以分别运货吨、吨，
依题意列方程组得：
，
解方程组，得：，
答：1辆型车装满货物一次可运3吨，1辆型车装满货物一次可运4吨．
（2）解：结合题意和上一问得：3a+4b=31，
∴a=，
因为a，b都是正整数，
∴或或，
有三种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车1辆；
方案二：A型车5辆，B型车4辆；
方案三：A型车1辆，B型车7辆；
（3）解：A型车每辆车租金每次100元，B型车每辆车租金每次120元，
方案一：980+1100=820；
方案二：580+4100=800；
方案三：180+7100=780；
∵820＞800＞780，
∴方案三最省钱，费用为780元．
2．【详解】（1）解：设甲种车有辆，乙种车有辆，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种车有12辆，乙种车有10辆；
（2）解：当将水果分两趟恰好全部运完时，设甲种车共辆，乙种车共辆，
根据题意得：，
．
∵甲种车每辆每趟运费为1500元，乙种车每辆每趟运费为1700元，总运费不超过34500元，
∴，
解得：，
又，均为自然数，
或，
该情况下共有2种配车方案，
甲种车有12辆，乙种车有10辆；
方案1：分配乙种车跑2趟，每趟10辆；
方案2：分配甲种车跑2趟，每趟跑3辆，乙种车跑2趟，两趟共15辆，可以一趟跑辆一趟跑辆．
3．【详解】（1）解：设种奖品每件元，种奖品每件元，
根据题意得：，
解得：．
答：种奖品每件16元，种奖品每件4元；
（2）解：①设购买种奖品件，则购买种奖品件，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为41．
答：最多购买41件奖品；
②根据题意得：，
解得：，
，
．
又为正整数，
可以为39，40，41，
共有3种购买方案，
方案1：购买种奖品39件，种奖品61件；
方案2：购买种奖品40件，种奖品60件；
方案3：购买种奖品41件，种奖品59件．
4．【详解】（1）解：设需要丙型车c辆来运送，
则
解得
即需要丙型车4辆来运送，
故答案为：4
（2）设需要甲种车型x辆，乙种车型y辆，
根据题意得：
解得：．
答：需要甲车型8辆，乙车型10辆．
（3）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有辆，由题意得：，
化简得，
即
∵a、b、均为正整数，
∴b只能等于5或10，
当时，，，
当时，，
∴共有两种方案：方案①：甲车6辆，乙车5辆，丙车5辆．
方案②：甲4辆，乙10辆，丙2辆.
方案①的费用为；元，
方案②的费用为；元，
∴方案②：甲4辆，乙10辆，丙2辆，运费最省钱
5．【详解】（1）解：设甲，乙两人的速度分别为：，；
根据题意得，，
解得：，
答：甲，乙两人的速度分别为：；
（2）解：设丙在甲乙前方，丙的速度是，
根据题意得，，
解得：，
答：丙在甲乙前方，丙的速度是．
6．【详解】（1）解：设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，
由题意得：
，
解得：，
答：水流速度是每小时5千米；
（2）解：设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，由题意得：
，
解得：，
∴救生圈按水流速度由A港口漂流到B港口需要的时间为（小时）；
答：救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时；
（3）解：设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，由题意得：
，
解得：，
∴；
答：救生圈于上午12时掉入水中．
7．【详解】（1）解：设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时，
根据题意，得
解得，
答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时．
（2）解：设经过小时两车相距30千米，
根据题意，得：
当两车未相遇时，，
解得，
当两车相遇后，，
解得，
答：经过2小时或小时两车相距30千米．
8．【详解】（1）解：设A队单独完成这项工程所需的时间为x个月，根据题意得：
，
解得：．
经检验：是原方程的解，且符合题意，
，
答：A队单独完成需要12个月，B队单独完成需要18个月．
（2）解：设A施工了a月，B施工了月，根据题意：
，
解得：，
此时万元，
答：A、B两队完成该项工程的总费用．
9．【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得：
，
解得，
答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元；
（2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得：
，
解得，
即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成．
甲单独做需要元，
乙单独做需要元．
答：乙队单独完成费用较少．
10．【详解】（1）解：设该超市采购了甲牛奶箱，乙牛奶箱，
则可得，
解得，
答：该超市采购了甲牛奶箱，乙牛奶箱；
（2）解：设每箱乙牛奶的进价为元，则每箱甲牛奶的进价为元，
根据题意可得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴每箱甲牛奶的进价为元，每箱乙牛奶的进价为52.5元，
（元），
答：采购两种牛奶总共需要花费4037.5元．
11．【详解】（1）解：设制作大五角星的布料为x米，制作小五角星的布料为y元，
由题意得，
解得，
答：制作大五角星的布料为30米，制作小五角星的布料为48元；
（2）解：面，
答：本批布料制作的五角星共能制作360面国旗．
12．【详解】（1）解：设辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨，
依题意得：，
解得：，
答：辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨；
（2）设租用辆型车，则租用辆型车，
依题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴可以取，，，
∴共有种租车方案，
方案：租用型车辆，型车辆；
方案：租用型车辆，型车辆；
方案：租用型车辆，型车辆；
（3）选择方案的租车费为（元）；
选择方案的租车费为（元）；
选择方案的租车费为（元）；
∵，
∴方案最省钱，即租用型车辆，型车辆，最少租车费为元．
13．【详解】（1）解：设每台型打印机的利润为元，每台型打印机的利润为元，
根据题意得：，
解得：，
答：每台型打印机的利润为80元，每台型打印机的利润为160元；
（2）解：该商店购进种型号的打印机台，则购进种型号的打印机台，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
，且,
，
是正整数，
时，最大，
（台，
答：当商店购进型号的打印机40台，型号的打印机80台时，才能使销售总利润最大；
14．【详解】（1）解：设每个笔袋x元，每个笔记本y元．
根据题意列方程组得，
解得，
答：每个笔袋 16 元，每个笔记本 31 元．
（2）解：设小明购买笔记本个，则购买笔袋的数量为个．
根据题意可知，笔记本单价为元，笔袋单价为元．
∵每个笔袋比每个笔记本售价少9元，
∴，
解得：，
检验：当时，分母不为0，符合题意．
答：小明购买笔记本10个．
15．【详解】（1）解：根据题意，阴影部分长方形长为，宽为，
则阴影部分长方形的面积；
（2）解：由题意，
解得，
长方体体积；
当时，
（）
答：长方体纸盒的体积为．
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