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2026年湖南长沙中考数学第一次模拟考试提分训练卷
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．的倒数是（ ）
A． B．2025 C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（ ）
北京 济南 太原 郑州
A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州
4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．圆锥的底面圆的半径为10，圆锥母线长为20，则圆锥侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )
A． n mile B．60 n mile C．120 n mile D．n mile
8．已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上 一枚硬币反面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．若对于任意非零实数，抛物线总不经过点，则符合条件的点P（ ）
A．有无穷多个 B．有且只有1个 C．有且只有2个 D．至少有3个
二．填空题（每小题6分，满分18分）
11．若分式有意义，则的取值范围是___________．
12．一个圆锥高为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为______．
13．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，则这四名同学中成绩最稳定的是_________．
14．已知，则化简的结果为______．
15．如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为________．
16．毛主席在《七律二首 送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为 _____万里．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中满足．
19．先化简，再求值：，其中．
20．某中心学校九（1）班为了了解学生对消防知识的掌握情况，为此九（1）班全体同学进行了一次测试，测试满分为5分，将所得的分数（单位：分）进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题：

(1) ，并补全条形统计图；
(2)请计算九（1）班本次测试成绩的中位数和平均数；
(3)由于学校开展消防演练的需要，现从成绩前四名（1名男生和3名女生）中随机抽取2人进行对灭火器的实践操作，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中1男1女的概率．
21．如图，在中，是边上中线，，，
(1)求的长；
(2)求的值．
22．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，该合作社用元从农户处购进两种水果共进行销售，其中种水果收购单价元，种水果收购单价元．
(1)求两种水果各购进多少千克；
(2)已知种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求种水果的最低销售单价．
23．如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分．
(1)求证：为的切线．
(2)连接，若，，，求的半径．
24．在矩形中，为边上一点，把△沿翻折，使点恰好落在边上的点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)若，求的值．
25．已知关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，我们将称之为函数的“最值平均数”．
(1)若函数，当时，求函数的“最值平均数”的值：
(2)若函数（）的“最值平均数”等于，求的值；
(3)对于函数，
①试写出函数的“最值平均数”的表达式（结果用含有、的式子表示），并写出相应的的范围；
②是否存在实数，使得函数的最大值等于函数的“最值平均数”的最大值的2倍？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．C
4．D
5．A
6．B
7．D
8．D
9．C
10．C
二、填空题
11．
12．
13．丁
14．1
15．
16．4
三、解答题
17．【详解】解：原式
．
18．【详解】解：
，
由，解得：，，
∵，即
∴，
∴原式
．
19．【详解】解：
；
把代入得，原式．
20．【详解】（1）解：九（1）班的人数为：，
∴，
∴；
成绩为2分的学生人数为：，
∴成绩为4分的学生人数为：；
补全条形图如图：

（2）将成绩从小到大排列，第25个数据和第26个数据均为3分，
∴中位数为：3分；
平均数为：（分）；
（3）用表示男生，表示女生，列表如下：
A B C D
A A，B A，C A，D
B B，A B，C B，D
C C，A C，B C，D
D D，A D，B D，C
共12种等可能的结果，其中一男一女的结果有6种，
∴．
21．【详解】（1）解：，,
，
，
，
；
（2）是边上的中线，
，
，
，
，
．
22．【详解】（1）解：设种水果购进千克，种水果购进千克，
由题意得，，
解得，
答：种水果购进千克，种水果购进千克；
（2）解：设种水果的销售单价为元/千克，
由题意得，，
解得，
答：种水果的最低销售单价为元/千克．
23．【详解】（1）证明：如图，连接，
平分
，
，
，
∴为的切线；
（2）解：如图所示，
∵在中，，，
，
为圆的直径，
∴，
又∵，
，
∴的半径为．
24．【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴
由翻折的性质得，，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）解：由矩形和翻折的性质得，，，，
由勾股定理得，，
假设，则，
由（1）得，，
∴，
即，
解得，
∴的长为；
（3）解：
假设，则，
∵，
∴，
由勾股定理得，，，
由（1）得，，
∴，
即，
解得，，
∴．
25．【详解】（1）解：∵，
∴，
当时，；
当时，；
∴函教的“最值平均数”的值为；
（2）解：∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
当时，为最大值；
当时，为最小值；
∴“最值平均数”为，
解得：（负值已舍）；
（3）解：①由二次函数解析式得，，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，即时，随的增大而增大；
当时，即时，随的增大而减小；
此时，；
当时，，，
此时，；
当时，，
此时，；
②存在，，理由如下：
由①得函数最大值为顶点处 ，
当 或 时，的表达式为二次函数，开口向下，在 处取得最大值 ；
当 或 时，最大值为 （小于 ），
∴
∴
．
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