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第二章不等式与不等式组（拔尖卷）北师大版2025—2026学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点在平面直角坐标系的第三象限，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．如果，那么下列不等式中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知关于x的不等式组的解是，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知非负实数，，，且，则下列结论正确的是( )
A． B． C．的最小值是 D．
6．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法中，正确的是（ ）
A．方程和不等式的解是一样的
B．不是不等式的解
C．是不等式的一个解
D．是不等式的解集
8．若实数m使关于x的不等式组恰有4个整数解，且使方程组有整数解，则符合条件的整数m可能为：9、10、11、12，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．不等式组的解为______．
10．若关于x的不等式组有且仅有一个整数解，则实数a的取值范围是______．
11．已知不等式组在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示，则的值为__．
12．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为__．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．计算:
(1)解不等式，并写出满足该不等式的负整数解．
(2)解不等式组，并把解集表示在数轴上．
14．某专卖店购进两种吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价240元；种礼盒每个进价120元，售价180元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若购进100个礼盒的总费用不超过15400元，求最大利润为多少元？
15．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．
(1)若腰长为a，则a的取值范围是 ；
(2)能围成一条边是的等腰三角形吗？若能，求出其他两边；若不能，说明理由．
16．某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都6折优惠”若全票价是1200元，则：设学生数为，甲旅行社收费，乙旅行社收费，求：
(1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式．
(2)当学生人数是多少时，两家旅行社的收费是一样的？
(3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．
17．已知关于的方程组．
(1)若方程组的解满足，求的取值范围．
(2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值．
18．对、定义一种新运算，记为：．
(1)若，如：，则________；
(2)若，（其中、为常数），且，．
①求、的值；
②若关于的不等式组，现定义一个新数，在不等式组恰好有3个整数解的条件下，求的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．A
4．D
5．B
6．A
7．C
8．B
二、填空题
9．
10．
11．27
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：，
，
满足该不等式的负整数解为、；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式的解集为，
在数轴上表示如下：
14．【详解】（1）解：设购进种礼盒个，则购进种礼盒，
根据题意，可得，
所以，与之间的函数关系式为；
（2）对于函数，
∵，
∴随的增大而增大，
根据题意，种礼盒不少于60个，且购进100个礼盒的总费用不超过15400元，
∴，
解得，
∴当时，取最大值，且最大值为（元），
即最大利润为7700元．
15．【详解】（1）解：腰长为a，则底边长为，由题意得：
，
解得：，
∴故答案为：；
（2）解：由题意可分：
①当为该等腰三角形的腰长时，则底边长为，
∵，
∴不符合三角形三边关系；
②当为该等腰三角形的底边长时，则腰长为，
∵，
∴符合三角形的三边关系，
综上所述：能围成一条边是的等腰三角形，其他两边长分别为，．
16．【详解】（1）解：设学生人数为人，由题意，得
，
；
（2）当时，
，
解得：，
故当时，两旅行社一样优惠；
（3）时，
，
解得：
故当时，乙旅行社优惠．
当时，
，
解得：，
故当时，甲旅行社优惠．
17．【详解】（1）解：方程组，得：，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：解方程组得：，
可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；
若x是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，不能构成三角形；
若是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，能构成三角形；
综上所述：
18．【详解】（1）解：由题意得：，
故答案为：8；
（2）解：①已知，
把和分别代入可得方程组：
，
解得；
②由①知，，
所以，
则不等式组可化为：
，
解第一个不等式：
，
，
，
，
解第二个不等式：
，
，
，
所以不等式组的解集为，
因为不等式组恰好有3个整数解，所以这3个整数解为0，1，2，则，
解得；
解得，
所以，
又因为，
由且，可得，
当时，；
当时，（取不到）．
所以，
即在不等式组恰好有3个整数解的条件下，n的取值范围是．
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