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(共28张PPT)
第12章　定义 命题 证明
12.4　定理
第2课时　多边形内角和定理和多边形外角和定理

　多边形内角和定理
1.(2025北京中考)若一个六边形的每个内角都是x°,则x的值为
( )
A.60　　　 B.90　　　 C.120　　　 D.150
C
解析　∵一个六边形的每个内角都是x°,∴每个内角的度数
为(6-2)×180°÷6=120°.故选C.
2.(2025四川眉山中考)如图,直线l与正五边形ABCDE的边AB,
DE分别交于点M,N,则∠1+∠2的度数为 ( )
A.216°　　　 B.180°　　　
C.144°　　　 D.120°
C
解析　∵∠A=∠E= ×180°×(5-2)=108°,∴∠AMN+∠ENM=
360°-∠A-∠E=144°.∵∠1=∠AMN,∠2=∠ENM,∴∠1+∠2=∠AMN+∠ENM=144°.故选C.
3.如图,在五边形ABCDE中,∠C,∠D,∠E的和为360°,试判断
AE与BC的位置关系,并说明理由.

解析 AE∥BC.理由:因为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°×(5-
2)=540°,∠C,∠D,∠E的和为360°,所以∠A+∠B=540°-360°=180°,所以AE∥BC.
4.阅读小明和小红的对话,解决下列问题.

(1)这个“多加的锐角”是______度.
(2)小明求的是几边形的内角和
(3)若这个多边形是正多边形,则这个正多边形的一个内角是
多少度
解析 (1)∵n边形内角和为(n-2)×180°,是180°的整数倍,
1 830°=180°×10+30°,
∴这个“多加的锐角”是30°.故答案为30.
(2)设这个多边形的边数为n,
根据题意,得(n-2)×180°=1 800°,解得n=12.
答:小明求的是十二边形的内角和.
(3)正十二边形的一个内角为 =150°.
答:这个正多边形的一个内角是150°.
方法归纳　有关多边形的内角和及边数的计算题,一般设多
边形的边数为n,然后根据多边形的内角和公式列方程求解.
　多边形外角和定理
5.(2025江苏南通海安月考)参加创客兴趣小组的同学给机器
人设定了如图所示的程序,机器人从点O出发,沿直线前进1米
后左转18°,再沿直线前进1米,又向左转18°,……,照这样走下
去,机器人第一次回到出发地O点时,一共走的路程是 ( )
C
A.10米　　　 B.18米　　　 C.20米　　　 D.36米
解析　根据题意得回到出发地时机器人走的路线所形成的轨
迹是一个正多边形,且每一个外角是18°,360°÷18°=20,所以该正多边形为正二十边形,一共走的路程是20×1=20米.故选C.
6.(2025江苏扬州中考)若多边形的每个内角都是140°,则这个
多边形的边数为_________.
9
解析　∵多边形的每个内角都是140°,
∴多边形的每个外角都是180°-140°=40°,
∴这个多边形的边数为360°÷40°=9.故答案为9.
7.(2025江苏宿迁宿城期末)已知一个多边形的内角和是它的
外角和的3倍,这个多边形的边数是_________.
8
解析　设这个多边形的边数为n,
由题意得(n-2)·180°=360°×3,
解得n=8.故这个多边形的边数是8.
8.(2025江苏南京秦淮期末改编)如图,直线AC,BC与正九边形
的两条边重合,则∠ACB=___________°.

100
解析　由题意得∠CAB=∠CBA=360°÷9=40°,
∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-40°-40°=100°.
故答案为100.

9.(2025四川凉山州中考,★★☆)已知一个多边形的内角和是
它外角和的4倍,则从这个多边形的一个顶点处可以引出
( )
A.6条对角线　　　 B.7条对角线
C.8条对角线　　　 D.9条对角线
B
解析　设这个多边形的边数为n,
由题意得180°·(n-2)=360°×4,
解得n=10,∴这个多边形是十边形,
∴从这个多边形一个顶点处可以引10-3=7条对角线.故选B.
10.(2025江苏南京期末,★★☆)如图,在四边形ABCD中,BE,CE
分别平分∠ABC,∠BCD,∠A+∠D=270°,则∠BEC的度数为
( )
A.120°　　　 B.135°　　　 C.150°　　　 D.145°
B
解析　∵∠A+∠D=270°,
∴∠ABC+∠BCD=360°-270°=90°.
∵BE,CE分别平分∠ABC,∠BCD,
∴∠EBC= ∠ABC,∠ECB= ∠BCD,
∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=180°-(∠EBC+∠ECB)=
180°- (∠ABC+∠BCD)=180°-45°=135°.故选B.
11.(2025江苏淮安经开区期末,★★☆)小李家装饰地面,已有
正三角形形状的地砖,现打算购买另一种不同形状的正多边
形地砖,与正三角形地砖在同一顶点处进行平面镶嵌,则小李
不应购买的地砖形状是 ( )
A.正方形
B.正六边形
C.正八边形
D.正十二边形
C
解析　正三角形一个内角度数为180°÷3=60°,A.正方形的每
个内角为90°,90°×2+60°×3=360°,所以能密铺;B.正六边形的每个内角为120°,120°+60°×4=360°,所以能密铺;C.正八边形的每个内角为135°,135°与60°无法组成360°的角,所以不能密铺;D.正十二边形的每个内角是150°,150°×2+60°=
360°,所以能密铺.故选C.
12.(2025吉林长春中考,★★☆)图1是一个正十二面体,它的每
个面都是正五边形,图2是其表面展开图,则∠α为________度.
　
36
解析　∵正五边形的每个外角为360°÷5=72°,
∴正五边形的每个内角为180°-72°=108°,
∴∠α=360°-3×108°=360°-324°=36°.
13.(2025江苏南京玄武期末,★★☆)如图,∠A+∠B+∠C+∠D
+∠E+∠F+∠G=_________.

540°
解析　连接DG,AC,如图,
在四边形EFGD中,∠E+∠F+∠EDG+∠DGF=360°,
∵∠1+∠2=∠3+∠4,∠5+∠6+∠B=180°,
∴∠GAB+∠B+∠BCD+∠EDC+∠E+∠F+∠AGF=(∠E+∠F
+∠EDG+∠DGF)+(∠5+∠6+∠B)=360°+180°=540°.
故答案为540°.

14.【新课标·推理能力】(2025江苏扬州期末)【问题探究】
(1)如图1,在△ABC中,∠A=60°,BP,CP分别平分∠ABC和
∠ACB,则∠BPC的度数是______.
(2)如图2,∠DBC与∠ECB是△ABC的两个外角,且∠DBC+
∠ECB=210°,则∠A=______.
【拓展与应用】
(3)如图3,∠F为四边形ABCD的内角∠ABC的平分线与外角
∠DCE的平分线构成的锐角,若设∠A=α,∠D=β,求∠F的度数.
(用含α,β的式子表示)
(4)如图4,BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,D,E分别在AB,AC上,把
△ADE沿DE折叠,使点A与点I重合,若∠1+∠2=130°,则∠BIC
=_______.
解析 (1)∵BP,CP分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠PBC= ∠ABC,∠PCB= ∠ACB,
∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)= (180°-∠A),
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=90°+ ∠A,
∵∠A=60°,∴∠BPC=120°.
故答案为120°.
(2)∵∠DBC与∠ECB是△ABC的两个外角,且∠DBC+∠ECB=
210°,
∴∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=210°,
∵∠ACB+∠A+∠ABC=180°,
∴∠A=210°-180°=30°.故答案为30°.
(3)如图,延长BA,CD交于点Q,
∵∠BAD=α,∠ADC=β,
∴同(2)可得∠Q=α+β-180°,
∵∠F为∠ABC的平分线与∠DCE的平分线构成的锐角,
∴∠FBE= ∠QBC,∠FCE= ∠QCE.
∴∠F=∠FCE-∠FBE= (∠QCE-∠QBC),
∴∠F= ∠Q= (α+β-180°)= α+ β-90°.
(4)∵∠1+∠2=130°,
∴∠ADI+∠AEI=180°+180°-(∠1+∠2)=230°,
∴∠A=∠DIE= ×(360°-230°)=65°,
∵BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,
∴同(1)可得∠BIC=90°+ ∠A=90°+32.5°=122.5°.
故答案为122.5°.(共14张PPT)
专项突破8　角度计算的有关模型
　翻折模型中的角度计算
1.【学科特色·多解法】(2025江苏南京鼓楼月考)如图,∠A=55°,
∠B=60°,将三角形纸片ABC的一角折叠,使点C落在△ABC
外的C'处.若∠2=90°,则∠1的度数为 ( )
C
A.20°　　　 B.30° C.40°　　　 D.无法确定
解析　【解法一】三角形内角和定理的推论:
在△ABC中,∠A=55°,∠B=60°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=65°,
如图,连接CC',

由折叠可得∠DC'E=∠DCE=65°,
∵∠1=∠3+∠4,∠2=∠5+∠6,
∴∠1+∠2=2∠DC'E=130°,
∵∠2=90°,∴∠1=130°-90°=40°.故选C.
【解法二】三角形内角和定理:
在△ABC中,∠A=55°,∠B=60°,∴∠C=180°-∠A-∠B=65°,
由折叠可得∠CDE=∠C'DE,∠CED=∠C'ED,
在△CDE中,∠CDE+∠CED=180°-∠C,
∵∠1=180°-2∠CDE,∠2=180°-2∠CED,
∴∠1+∠2=180°+180°-2(∠CDE+∠CED)=360°-2(180°-
∠C),
∵∠C=65°,∠2=90°,
∴∠1=360°-2×(180°-65°)-90°=40°.故选C.
方法解读　在与三角形有关的角度计算时,三角形内角和定
理及其推论往往都能使用,有意识地使用三角形的外角等于
与它不相邻的两个内角的和,往往能使求解更简便.
2.如图,将四边形纸片ABCD沿MN折叠,点A,D分别落在点A1,D1
处.若∠1+∠2=140°,则∠B+∠C= ( )

A.120°　　　 B.110°　　　 C.135°　　　 D.150°
B
解析　∵∠1+∠2=140°,
∴∠AMA1+∠DND1=180°+180°-140°=220°.
由折叠可得∠AMN=∠A1MN,∠DNM=∠D1NM,
∴∠AMN+∠DNM= (∠AMA1+∠DND1)=110°.
∵∠A+∠D+∠AMN+∠DNM=360°,
∠A+∠D+∠B+∠C=360°,
∴∠B+∠C=∠AMN+∠DNM=110°.故选B.
3.(2025江苏扬州江都期末改编)如图,在△ABC中,∠A=75°,将
∠B,∠C按如图所示的方式折叠,若∠ADB'=30°,求∠1+∠2+
∠3的度数.
解析　如图,连接CC',BB',

由折叠可得∠4=∠5,∠FCG=∠FC'G,
在△ABC中,∠FCG+∠4=180°-∠A=105°①,
∠1+∠2=∠FCC'+∠FC'C+∠GCC'+∠GC'C=∠FCG+∠FC'G
=2∠FCG②,
∠3=∠4+∠6+∠5+∠7=2∠4+(∠6+∠7)③,
∠ADB'=∠6+∠7=30°④,
②+③得∠1+∠2+∠3=2∠FCG+2∠4+(∠6+∠7),
将①、④代入,得∠1+∠2+∠3=2×105°+30°=240°.
　角平分线模型中的角度计算
4.(2025山东德州月考)【探究发现】
(1)如图1,在△ABC中,点P是内角∠ABC和外角∠ACD的平分
线的交点,试猜想∠P与∠A之间的数量关系,并证明你的猜想.
【迁移拓展】
(2)如图2,在△ABC中,点P是内角∠ABC和外角∠ACD的n等
分线的交点,即∠PBC= ∠ABC,∠PCD= ∠ACD,试猜想∠P
与∠A之间的数量关系,并证明你的猜想.
【应用创新】
(3)如图3,AD,BE相交于点C,∠ABC,∠CDE,∠ACE的平分线交
于点P,∠A=35°,∠E=25°,则∠BPD=_______.

解析 (1)∠P= ∠A.
证明:∵点Р是∠ABC和∠ACD的平分线的交点,
∴∠PBC= ∠ABC,∠PCD= ∠ACD,
∵∠ACD=∠A+∠ABC,∠PCD=∠P+∠PBC,
∴∠P=∠PCD-∠PBC= ∠ACD- ∠ABC= ∠A,
即∠P= ∠A.
(2)∠P= ∠A.
证明:∵∠PBC= ∠ABC,∠PCD= ∠ACD,∠ACD=∠A+
∠ABC,∠PCD=∠P+∠PBC,
∴∠P=∠PCD-∠PBC= ∠ACD- ∠ABC= ∠A,即∠P= ∠A.
(3)同(1)同理得∠BPC= ∠A,∠DPC= ∠E,
∴∠BPD=∠BPC+∠DPC= (∠A+∠E),
∵∠A=35°,∠E=25°,
∴∠BPD= (∠A+∠E)=30°.故答案为30°.(共28张PPT)
第12章　定义 命题 证明
12.4　定理
第１课时　三角形内角和定理及其推论
　定理、推论
1.下列说法错误的是 ( )
A.命题不一定是定理,但定理一定是命题
B.定理不可能是假命题
C.真命题是定理
D.数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理
C
解析　一般情况下,数学中把一些基本的、重要的真命题叫
作定理,故C中说法错误,故选C.
　三角形内角和定理
2.(2025山东威海中考)如图,直线CF∥DE,∠ACB=90°,∠A=
30°.若∠1=18°,则∠2等于 ( )

A.42°　　　 B.38°　　　 C.36°　　　 D.30°
A
解析　∵∠1=18°,∴∠ACF=90°+∠1=108°.
∵CF∥DE,∴∠ADE=∠ACF=108°.
∵∠ADE+∠2+∠A=180°,∠A=30°,
∴∠2=180°-30°-108°=42°.故选A.
3.(2025江苏南通海门期中)如图,CE⊥AF,垂足为E,CE与BF相
交于点D,∠F=40°,∠C=30°,则∠DBC=___________°.

100
解析　∵CE⊥AF,∴∠FED=90°.
∵∠F=40°,∴∠FDE=180°-∠F-∠FED=50°,
∴∠BDC=∠FDE=50°.
∵∠C=30°,∴∠DBC=180°-∠C-∠BDC=100°.
　三角形内角和定理的推论
4.(2025四川南充中考)如图,把含有60°角的直角三角尺的斜
边放在直线l上,则∠α的度数是 ( )

A.120°　　　 B.130°　　　 C.140°　　　 D.150°
D
解析　由题意得α=90°+60°=150°.故选D.
5.(2025山东烟台中考)下图是一款儿童小推车的示意图,若AB
∥CD,∠1=30°,∠2=70°,则∠3的度数为 ( )

A.40°　　　 B.35°　　　 C.30°　　　 D.20°
A
解析　∵AB∥CD,∴∠A=∠1=30°,
∵∠2=∠3+∠A,∠2=70°,∴∠3=70°-30°=40°.故选A.
6.(2025江苏南京期末)如图,D是△ABC的边BC上一点,∠B=
∠BAD,∠ADC=70°,∠BAC=80°,则∠C=__________°.

65
解析　∵∠B+∠BAD=∠ADC=70°,∠B=∠BAD,
∴∠B= ∠ADC=35°.
∵∠BAC=80°,∴∠C=180°-∠B-∠BAC=65°.

7.(2024天津中考,★★☆)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,
以点A为圆心,适当长为半径画弧,交AB于点E,交AC于点F,再
分别以点E,F为圆心,大于 EF的长为半径画弧,两弧(所在圆
的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P,画射线AP,与BC相交
于点D,则∠ADC的大小为 ( )
B
A.60°　　　 B.65°　　　
C.70°　　　 D.75°
解析　∵∠C=90°,∠B=40°,
∴∠BAC=90°-∠B=90°-40°=50°,
由作图知,AP平分∠BAC,
∴∠BAD= ∠BAC= ×50°=25°,
∵∠ADC=∠B+∠BAD,
∴∠ADC=40°+25°=65°.故选B.
8.(2025江苏南京建邺二模,★★☆)如图,在△ABC中,AD是高,
AE是角平分线,若∠B=α,∠C=β,则∠DAE= ( )

A. 　　　 B. -β C. 　 D.
A
解析　∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∠B=α,∠C=β,
∴∠BAC=180°-α-β.
∵AE平分∠BAC,
∴∠CAE= ∠BAC=90°- α- β.
∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠CAD=90°-β,
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=90°-β- = .故选A.
9.(2025江苏盐城三校联考,★★☆)已知:如图,在△ABC中,AD
是角平分线,E为边AB上一点,连接DE,∠EAD=∠EDA,过点E
作EF⊥BC,垂足为F.
(1)试说明:DE∥AC.
(2)若∠DEF=40°,∠B=36°,求∠BAC的度数.
解析 (1)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.
∵∠EAD=∠EDA,∴∠EDA=∠CAD,∴DE∥AC.
(2)∵EF⊥BD,
∴∠EFD=90°,
∴∠EDF=180°-∠DEF-∠EFD=50°,
∴∠BED=180°-∠B-∠BDE=94°,
∵DE∥AC,∴∠BAC=∠BED=94°.
10.【学科特色·方程思想】(2025江苏苏州期末,★★★)如图,
在△ABD中,∠BAD=∠BDA,点E,C在BD的延长线上,连接AC,
AE,且∠EAC=∠ECA.
(1)若∠BAE=90°,求∠DAC的度数.
(2)若∠BAE=n,请直接用含n的式子表示∠DAC的度数.
解析　设∠BAD=∠BDA=α,∠EAC=∠ECA=β.
(1)∠AEB=∠EAC+∠ECA=2β,∠B=180°-2α,
∵∠BAE=90°,
∴∠EAD=∠BAE-∠BAD=90°-α,
在△ABE中,∠B+∠AEB=180°-∠BAE=90°,
即(180°-2α)+2β=90°,
∴2α-2β=90°,∴α-β=45°,
则∠DAC=∠EAD+∠CAE=90°-α+β=45°.
(2)∵∠BAE=n,∴∠EAD=n-α,
由(1)得∠B+∠AEB=180°-∠BAE,
即(180°-2α)+2β=180°-n,化简得n=2α-2β,
即α-β= n,
∵∠EAC=β,
∴∠DAC=n-α+β=n-(α-β)=n- n= n.
方法解读　对于三角形中求角度问题,如果出现相等的角,且
角度等量关系相对复杂,设相等的角为未知数,通过三角形内
角和定理或推论建立方程,能实现数形结合,从而将抽象图形
数据化,更简便地解决问题.

11.【新课标·推理能力】(2025江苏无锡省锡中期末)数学中,
我们把有一个内角大于180°的四边形称为镖形.
(1)【学科特色·多解法】如图1,在镖形ABCD中,试探索内角
∠A,∠B,∠D与钝角∠BCD之间的数量关系,并说明理由.
【拓展延伸】
(2)如图2,若∠EOD=α,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_______.
(用含α的代数式表示)
(3)如图3,已知直角△ABC的直角顶点A落在直线l上,过点B,C
分别作l的垂线段,垂足为E,F,若∠ABE,∠ACF的平分线交于
点D,则∠D=_______.
(4)如图4,在(3)的条件下,BD1,CD1分别为∠ABD,∠ACD的平分
线,它们的交点为D1;BD2,CD2分别为∠ABD1,∠ACD1的平分线,
它们的交点为D2;……,以此类推,则∠D2 025=_______°.
解析 (1)∠BCD=∠A+∠B+∠D.理由如下:
【解法一】如图,延长BC交AD于点M,

∵∠BCD=∠CMD+∠D,∠CMD=∠A+∠B,
∴∠BCD=∠A+∠B+∠D.
【解法二】如图,连接AC并延长,
∵∠1=∠B+∠3,∠2=∠D+∠4,
∴∠BCD=∠1+∠2=∠BAD+∠B+∠D.
(2)α.
详解:由(1)得∠BFC=∠A+∠B+∠C,
∠EOD=∠D+∠E+∠EFD=α,
∵∠BFC=∠EFD,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=α.
(3)45°.详解:由(1)得∠BAC=∠D+∠DBA+∠DCA=90°,
∵BE⊥l,CF⊥l,∴∠BEA=∠CFA=90°,
∴∠ABE+∠BAE=90°,∠ACF+∠CAF=90°,
∵∠BAC=90°,∴∠BAE+∠CAF=90°,
∴∠ABE+∠ACF=90°,
∵BD平分∠ABE,CD平分∠ACF,
∴∠DBA= ∠ABE,∠DCA= ∠ACF,
∴∠DBA+∠DCA= ∠ABE+ ∠ACF= (∠ABE+∠ACF)=45°,
∴∠D+45°=90°,∴∠D=45°.
(4) .
详解:由(1)得∠BAC=∠D1+∠D1BA+∠D1CA=90°,
由(3)同理得∠D1BA+∠D1CA= ,
∴∠D1=90°- =90°- ;
由(1)得∠BAC=∠D2+∠D2BA+∠D2CA=90°,
由(3)同理得∠D2BA+∠D2CA= ,
∴∠D2=90°- =90°- ;
∴∠D3=90°- ;
……
∴∠D2 025=90°- = (共22张PPT)
第12章　定义 命题 证明
12.2　命题
　命题
1.(2025江苏无锡惠山期末)下列语句是命题的是 ( )
A.若a2=4,求a的值 B.两直线相交有几个交点
C.画一个角等于已知角 D.若a=b,则a2=b2
D
解析　可以判断真假的陈述句叫作命题,选项A,C是祈使句,
选项B是疑问句,均不符合题意,故选D.
2.下列语句中,哪些是命题 哪些不是命题 是命题的,请先将
它改写为“如果……,那么……”的形式,再指出命题的条件
和结论.
(1)同号两数的和一定不是负数.
(2)若x=2,则10-5x=0.
(3)延长线段AB至点C,使B是AC的中点.
(4)互为倒数的两个数的积为1.
解析 (1)是命题.改写为“如果两个数同号,那么这两个数的
和一定不是负数”.条件是两个数同号,结论是这两个数的和
一定不是负数.
(2)是命题.改写为“如果x=2,那么10-5x=0”.条件是x=2,结论
是10-5x=0.
(3)不是命题.
(4)是命题.改写为“如果两个数互为倒数,那么这两个数的积
为1”.条件是两个数互为倒数,结论是这两个数的积为1.
　真命题和假命题
3.(2025江苏苏州期末)下列命题中,属于真命题的是 ( )
A.同位角相等
B.若x2=y2,则x=y
C.同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行
D.任意三条线段组成的图形都是三角形
C
解析 A.两直线平行,同位角相等,故A不符合题意;B.若x2=y2,
则x=±y,故B不符合题意;C.命题是真命题,故C符合题意;D.三
角形是封闭图形,任意三条线段组成的图形不一定是三角形,
故D不符合题意.故选C.
4.(2025江苏南京秦淮外国语学校期末)下列命题:①如果AC=
BC,那么点C是线段AB的中点;②不相等的两个角一定不是对
顶角;③直角三角形的两个锐角互余;④内错角相等;⑤两点之
间,直线最短.其中是真命题的有_______.(填写序号)
　②③
解析　①当点C在线段AB上,且AC=BC时,点C是线段AB的中
点,故①是假命题,不符合题意;②是真命题,符合题意;③是真
命题,符合题意;④两直线平行,内错角相等,故④是假命题,不
符合题意;⑤两点之间,线段最短,故⑤是假命题,不符合题意.
故答案为②③.
5.【学科特色·教材变式P151习题T2】下列命题的条件是什
么 结论是什么 并判断命题的真假.
(1)如果∠A=∠B,∠B=∠C,那么∠A=∠C.
(2)同角的余角相等.
解析 (1)条件是∠A=∠B,∠B=∠C,结论是∠A=∠C,是真命题.
(2)条件是两个角是同角的余角,结论是这两个角相等,是真命
题.
　原命题、逆命题
6.(2025江苏徐州沛县期末)已知命题“如果a=b,那么-a=-b”,
则该命题的逆命题是 ( )
A.如果a=b,那么-a=-b
B.如果-a=-b,那么a=b
C.如果a=b,那么-a≠-b
D.如果-a≠-b,那么a=b
B
解析　命题“如果a=b,那么-a=-b”的逆命题是如果-a=-b,那
么a=b,故选B.
7.下列说法正确的是 ( )
A.命题一定有逆命题
B.真命题的逆命题一定是假命题
C.真命题的逆命题一定是真命题
D.假命题的逆命题一定是假命题
A
解析　命题一定有逆命题,故A选项说法正确.真命题的逆命
题不一定是假命题,也不一定是真命题,故B,C选项说法错误.
假命题的逆命题不一定是假命题,故D选项说法错误.故选A.
8.(2025江苏常州期末)命题“如果a=0或b=0,那么(a+b)2=a2+b2”
的逆命题是_____________________________.
　如果(a+b)2=a2+b2,那么a=0或b=0
解析　交换命题的条件和结论之后即可写出原命题的逆命题.
9.(2025江苏泰州泰兴期末)命题“对顶角相等”的逆命题是
_____________________________________________________
_______.
顶角)
　如果两个角相等,那么这两个角是对顶角(或相等的角是对
解析　命题“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶
角,那么这两个角相等”,所以逆命题是如果两个角相等,那么
这两个角是对顶角.(或相等的角是对顶角)
10.下列句子是命题吗 若是,把它改写成“如果……,那么……”的形式,并写出它的逆命题,同时判断原命题和逆命题的真假.
(1)一个角的补角比这个角的余角大多少度
(2)垂线段最短,对吗
(3)等角的补角相等.
(4)两条直线相交只有一个交点.
(5)同旁内角互补.
(6)邻补角的平分线互相垂直.
解析　对一件事情作出判断的句子是命题,因为(1)(2)是疑问
句,所以(1)(2)中的句子不是命题,(3)(4)(5)(6)中的句子是命题.
(3)改写:如果两个角相等,那么它们的补角相等,该命题是真命
题.逆命题:如果两个角的补角相等,那么这两个角相等,该命题
是真命题.
(4)改写:如果两条直线相交,那么它们只有一个交点,该命题是
真命题.逆命题:如果两条直线只有一个交点,那么这两条直线
相交,该命题是真命题.
(5)改写:如果两个角是同旁内角,那么它们互补,该命题是假命
题.逆命题:如果两个角互补,那么这两个角是同旁内角,该命题
是假命题.
(6)改写:如果两条射线是一组邻补角的平分线,那么它们互相
垂直,该命题是真命题.逆命题:如果两条射线垂直,那么这两条
射线是邻补角的平分线,该命题是假命题.

11.(2025江苏扬州期末,★☆☆)下列各命题的逆命题成立的
是 ( )
A.对顶角相等
B.两直线平行,内错角相等
C.如果a=b,那么a2=b2
D.如果a>0,b>0,那么ab>0
B
解析 A.逆命题为相等的角是对顶角,不成立,不符合题意;
B.逆命题为内错角相等,两直线平行,成立,符合题意;C.逆命题
为如果a2=b2,那么a=b,因为如果a2=b2,那么a和b相等或互为相
反数,所以逆命题不成立,不符合题意;D.逆命题为如果ab>0,
那么a>0,b>0,因为如果ab>0,那么a和b同为正数或同为负数,
所以逆命题不成立,不符合题意.故选B.
12.(2024江苏盐城射阳月考,★☆☆)写出下列命题的逆命题,
并判断此逆命题的真假.
(1)如果a>0,b<0,那么ab<0.
(2)两直线平行,同旁内角互补.
解析 (1)逆命题:如果ab<0,那么a>0,b<0,是假命题.
(2)逆命题:同旁内角互补,两直线平行,是真命题.
13.(2025上海宝山月考改编,★☆☆)判断下列语句是不是命
题,如果是,改写为“如果……,那么……”的形式,写出它的条
件和结论和逆命题,并判断原命题和逆命题是真命题还是假
命题;如果不是,请说明理由.
(1)美丽的中国.
(2)延长线段AB到点C,使BC=AB.
(3)整数是有理数.
解析 (1)(2)不是命题,理由:它们没有作出判断.
(3)是命题.
改写为“如果一个数是整数,那么这个数是有理数”.
条件为“一个数是整数”,结论为“这个数是有理数”.
这个命题是真命题.其逆命题为有理数是整数,为假命题.

14.【新课标·推理能力】【阅读材料】如果一个命题的条件
和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题互
为逆命题;如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的
条件的否定和结论的否定,那么这两个命题互为否命题;如果
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条
件的否定,那么这两个命题互为逆否命题.例如:命题“若a>0
且b>0,则ab>0”的逆命题为“若ab>0,则a>0且b>0”,否命题
为“若a≤0或b≤0,则ab≤0”,逆否命题为“若ab≤0,则a≤0
或b≤0”.
根据以上材料解决下面的问题:
【尝试运用】写出命题“若a,b都是奇数,则a+b是偶数”的
逆命题、否命题及逆否命题,并判断它们的真假.
解析　逆命题:若a+b是偶数,则a,b都是奇数.该命题为假命题.
否命题:若a,b不都是奇数,则a+b不是偶数.该命题为假命题.
逆否命题:若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数.该命题为真命题.(共13张PPT)
第12章　定义 命题 证明
12.4　定理
第3课时　反证法
　反证法
1.(2025江苏无锡锡山期中)用反证法证明,若|a|<5,则a2<25时,
应假设 ( )
A.|a|≥5　　　 B.|a|>5
C.a2≥25　　　 D.a2>25
C
解析　反证法的步骤中,第一步是假设结论不成立,
∴应假设a2≥25.故选C.
2.(2025江苏镇江期末)用反证法证明命题“三角形中至少有
一个内角小于或等于60°”时,应假设____________________
__________.
都大于60°
　三角形中每一个内角
解析　假设结论不成立,即假设三角形中每一个内角都大于
60°.
　平行线的性质定理
3.(2024四川巴中中考)如图,直线m∥n,一块含有30°角的直角
三角尺按如图所示的方式放置.若∠1=40°,则∠2的大小为
( )

A
A.70°　　　 B.60° C.50°　　　 D.40°
解析　如图,过A作直线p∥直线n,

∴∠3=∠1=40°.∵m∥n,p∥n,∴m∥p,
∴∠2=∠BAC=30°+∠3=30°+40°=70°.
故选A.
　反例
4.(2025江苏常州期末)若要说明命题“如果|a|=|b|,那么a=b”
是假命题,则可以举反例为 ( )
A.a=0,b=0　　　 B.a=1,b=-1
C.a=2,b=2　　　 D.a=2,b=-1
B
解析　反例应为满足|a|=|b|,但不满足a=b的一对a,b的值.选项
B中a=1,b=-1符合,故选B.
5.下列选项中能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个
反例是 ( )

A
解析　选项A中两个角都是30°,这两个角相等,且这两个角不
是对顶角,可以说明“相等的角是对顶角”是假命题,故选A.
6.(2025江苏南京联合体期末)为说明“对于任何数a,a2>a”是
假命题,举一个反例,a的值可以是________________.
(答案不唯一)
解析　当a= 时,a2= = , < ,即a2数a,a2>a”是假命题,
故答案为 (答案不唯一).

7.(2025江苏无锡梁溪一模,★☆☆)用反证法证明“在直角三
角形中,至少有一个锐角不小于45°”时,应假设这个直角三角
形中 ( )
A.有一个锐角小于45°　　　 B.两个锐角都小于45°
C.两个锐角都大于45°　　　 D.有一个锐角大于45°
B
解析　“至少有一个锐角不小于45°”的反面是两个锐角都
小于45°.故选B.
8.(2025江苏无锡新吴期末,★★☆)请用反证法证明:已知:|a|>
a,求证:a<0.
证明　假设a≥0,当a≥0时,|a|=a,
这与已知|a|>a相矛盾,
∴假设不成立,∴a<0.
9.(★★☆)如图1,已知AC∥BD,点P是直线AC,BD间的一点,连
接AB,AP,BP,过点P作直线MN∥AC.
(1)MN与BD的位置关系是什么 请说明理由.
(2)试说明:∠APB=∠PBD+∠PAC.
(3)如图2,AC∥BD,当点P在直线AC上方时,(2)中的三个角的
数量关系是否成立 如果成立,试说明理由;如果不成立,试探
索它们存在的关系,并说明理由.
解析 (1)MN∥BD.理由如下:
∵AC∥BD,MN∥AC,
∴MN∥BD.
(2)∵AC∥MN,MN∥BD,
∴∠PBD=∠1,∠PAC=∠2,
∴∠APB=∠1+∠2=∠PBD+∠PAC.
(3)不成立.它们的关系是∠APB=∠PBD-∠PAC.
理由:如图,过点P作PQ∥AC.

∵AC∥BD,∴PQ∥AC∥BD,
∴∠PAC=∠APQ,∠PBD=∠BPQ,
∴∠APB=∠BPQ-∠APQ=∠PBD-∠PAC.(共29张PPT)
第12章　自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(每题5分,共40分)
1.(2025江苏无锡梁溪期末)用反证法证明“一个三角形中最
多有一个钝角”时,应先假设在三角形中 ( )
A.有一个钝角　　　 B.有两个钝角
C.有三个钝角　　　 D.有不止一个钝角
D
解析　先假设结论不成立,即假设在三角形中有不止一个钝
角,故选D.
2.下列语句中,属于定义的是 ( )
A.直线AB和CD垂直吗
B.过线段AB的中点C作AB的垂线
C.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴
D.同旁内角互补,两直线平行
C
解析 A选项是疑问句,不是定义;B选项是祈使句,不是定义;
C选项对数轴概念作出明确规定,是定义;D选项不是定义.故
选C.
3.下列语句中不是命题的是 ( )
A.锐角小于钝角
B.作AC的垂直平分线
C.对顶角不相等
D.三角形的内角和等于180°
B
解析　作AC的垂直平分线不是陈述句,不是命题.故选B.
4.(2025江苏扬州江都期末)下列命题中是真命题的是 ( )
A.相等的角是对顶角
B.垂线段最短
C.若a,b满足|a|=|b|,则a=b
D.同旁内角互补
B
解析 A.相等的角不一定是对顶角,原命题是假命题,不符合
题意;B.垂线段最短,原命题是真命题,符合题意;C.若a,b满足|a|
=|b|,则a=±b,原命题是假命题,不符合题意;D.两直线平行,同旁
内角互补,原命题是假命题,不符合题意.故选B.
5.给出下列命题:①能被3整除的数也能被6整除;②等式两边
同时除以同一个数,结果仍是等式;③x=2是一元一次方程x-2=
0的根;④两点之间,线段最短.其中可以作为定理的有 ( )
A.1个　　　 B.2个　　　 C.3个　　　 D.4个
A
解析　能被3整除的数不一定能被6整除,故①是假命题,不能
作为定理;等式两边同时除以同一个不为0的数,结果仍是等
式,故②是假命题,不能作为定理;x=2是一元一次方程x-2=0的
根,是真命题,但不是基本的、重要的,不能作为定理;两点之
间,线段最短,是基本的、重要的真命题,可以作为定理,故可以
作为定理的有④,共1个.故选A.
6.(2025四川凉山州中考)如图,DF∥AB,∠BAC=120°,∠ACE=
100°,则∠CED= ( )

A.30°　　　 B.40°　　　 C.60°　　　 D.80°
B
解析　如图,延长AC交直线DF于点G,
∵DF∥AB,∠BAC=120°,
∴∠AGE=180°-120°=60°,
∵∠ACE=∠AGE+∠CED=100°,
∴∠CED=100°-60°=40°.故选B.
7.(2025江苏南通启东月考)一天,李明和爸爸一起到建筑工地,
看见了一个如图所示的人字架,爸爸说:“李明,我考考你!这
个人字架中的∠3=110°,你能求出∠1比∠2大多少吗 ”请你
帮李明计算一下,正确的答案是 ( )

C
A.50°　　　 B.60° C.70°　　　 D.80°
解析　如图,∵∠3=110°,∴∠4=180°-∠3=70°,
∴∠1-∠2=∠4=70°.故选C.

8.【跨物理·光的反射】(2025江苏宿迁泗阳一模)如图1,点B是
正八边形的边AF上一点,一束光线从点B发出,经过两次反射
后到达边AG上的点E处,若∠ABC=65°,则∠AED的度数为(提
示:入射光线、反射光线和反射平面所成的夹角相等,如图2所
示,∠1=∠2) ( )

A
A.70°　　　 B.65°
C.55°　　　 D.60°
解析　如图,在五边形AGHCB中,∠ABC+∠A+∠G+∠H+
∠HCB=(5-2)×180°=540°,
在五边形CIJKD中,∠DCI+∠I+∠J+∠K+∠KDC=
(5-2)×180°=540°,
∵正八边形每一个内角均为180°- =135°,
∴∠I=∠J=∠K=∠A=∠G=∠H=∠L=∠F=135°,
由入射光线、反射光线和反射平面所成的夹角相等得∠DCI
=∠HCB,
∴∠KDC=∠ABC=65°,∴∠LDE=∠KDC=65°,
∴在五边形DLFAE中,∠AED=(5-2)×180°-3×135°-65°=
70°.故选A.
二、填空题(每题6分,共18分)
9.(2025江苏南京秦淮期末)写出命题“互为倒数的两个数乘
积为1”的逆命题:_____________________________________
___________________________________.
为倒数(或乘积为1的两个数互为倒数)
　如果两个数的乘积为1,那么这两个数互
10.(2025北京中考)能说明命题“若a2>4b2,则a>2b”是假命题
的一组数a,b的值为a=____ ___,b=________________.
1(答案不唯一)
　-3(答案不唯一)
解析　当a=-3,b=1时,a2=9,4b2=4,a2>4b2,∵2b=2,∴a<2b,故原命
题是假命题.故答案为-3;1(答案不唯一).
11.(2025江苏南通海安月考)如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠C=
80°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,点E是AC上一点,且
∠ADE=∠B,则∠CDE=__________°.

30
解析　∵在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=80°,
∴∠B=180°-60°-80°=40°.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD= ∠BAC=30°,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°.
∵∠ADE=∠B=40°,∴∠CDE=30°.
三、解答题(共42分)
12.(8分)一个n边形的每个外角都相等,它的内角与相邻外角
的度数之比为7∶2.
(1)求这个n边形一个内角的度数.
(2)求这个n边形的内角和.
解析 (1)∵一个n边形的每个外角都相等,它的内角与相邻外
角的度数之比为7∶2,
∴一个内角的度数为180°× =140°,
∴该n边形的一个内角的度数为140°.
(2)该n边形一个外角为180°× =40°,
则n=360°÷40°=9,
∴这个n边形的内角和为(9-2)×180°=1 260°.
13.(2025江苏宿迁期末)(10分)如图,点F,D在△ABC的边BC上,
点E,G分别在AB,AC上.请你从三个选项:①∠1+∠2=180°,
②∠DGC=∠BAC,③EF∥AD中任选出两个作为条件,另一个
作为结论,组成一个真命题,并加以证明.
解析　条件:①∠1+∠2=180°,②∠DGC=∠BAC.
结论:③EF∥AD.
证明:∵∠DGC=∠BAC,∴DG∥AB,
∴∠BAD=∠1.
∵∠1+∠2=180°,∴∠2+∠BAD=180°,
∴EF∥AD.(答案不唯一)
14.【新考向·新定义题】(2025江苏无锡锡山期中)(12分)定
义:使a-b=ab-1成立的一对有理数a,b称为“共生有理数对”,
记作(a,b).例如:∵-2-1=-2×1-1,∴(-2,1)是“共生有理数对”.
(1)判断 是不是“共生有理数对”,并说明理由.
(2)若5是“共生有理数对”中的一个有理数,则这个“共生有
理数对”为_______.
(3)若(m,n)是“共生有理数对”,且m=n+2,求(-2)mn的值.
解析 (1) 不是“共生有理数对”.
理由:∵-6- =- ,-6× -1=-5,
∴-6- ≠-6× -1,
∴ 不是“共生有理数对”.
(2)设这个“共生有理数对”为(5,a)或(b,5).
当“共生有理数对”为(5,a)时,5-a=5a-1,
解得a=1,∴这个“共生有理数对”为(5,1);
当“共生有理数对”为(b,5)时,b-5=5b-1,
解得b=-1,∴这个“共生有理数对”为(-1,5).
故答案为(5,1)或(-1,5).
(3)∵(m,n)是“共生有理数对”,
∴m-n=mn-1.∵m=n+2,∴n+2-n=mn-1,
∴mn=3,∴(-2)mn=(-2)3=-8.
15.【新考向·结论探究题】(2025江苏徐州期末节选)(12分)已
知:AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD上,点O在直线AB,CD之
间,且∠EOF=90°.
(1)如图1,若∠AEO=150°,求∠OFD的度数.
(2)如图2,EG平分∠AEO,连接FG,若∠EGF=135°,∠GFO与
∠CFG相等吗 若相等,请证明你的结论;若不相等,请说明理由.
解析 (1)如图,过点O作OH∥AB,
∵AB∥CD,∴AB∥CD∥OH,
∴∠AEO+∠EOH=180°,∠OFD=∠HOF,
∵∠AEO=150°,∴∠EOH=30°,∵∠EOF=90°,
∴∠HOF=60°,∴∠OFD=60°.
(2)结论:∠GFO与∠CFG相等.
证明:延长EG交CD于Z,如图,

设∠AEZ=α,∵AB∥CD,∴∠EZF=α,
∵射线EG平分∠AEO,∴∠GEO=α,
∵∠EGF=135°,∴∠CFG=∠EGF-∠EZF=135°-α,
在四边形GEOF中,∠GFO=360°-∠GEO-∠EGF-∠EOF=360°
-α-135°-90°=135°-α,
∴∠CFG=∠GFO.(共14张PPT)
第12章　定义 命题 证明
12.1　定义
　定义
1.【学科特色·教材变式P146讨论】下面四个选项中,∠1与∠2是对顶角的是 ( )
　　　 　　　 　　　
C
解析　根据对顶角的定义知,选项C中∠1与∠2是对顶角.故
选C.
2.(2025江苏无锡锡山月考)下列语句中,是定义的是 ( )
A.点A到点B的距离是3 cm
B.两直线平行,同位角相等
C.直角都相等
D.两边相等的三角形是等腰三角形
D
解析　对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定
义,选项D中的语句具备定义的特征,选项A,B,C中的语句不具
备定义的特征.故选D.
3.下面给一些概念下的定义合适的是 ( )
A.四个角相等的四边形叫作正方形
B.含有两个未知数的方程叫作二元一次方程
C.求不等式解集的过程叫作解不等式
D.相等的角叫作对顶角
C
解析 A.四个角相等的四边形有可能是长方形,所以该定义
不合适;B.含有两个未知数,含未知数项的次数都是1的方程叫
作二元一次方程,所以该定义不合适;D.两条直线相交所成的
四个角中,有公共顶点没有公共边的两个角是对顶角,所以该
定义不合适;C.该定义合适,为解不等式的定义.故选C.
4.(2025广东深圳福田期中)若定义 表示(2xyz)3, 表
示-4adcb,则运算 × 的结果是_____________.
　-256m6n5
解析　由题意,得(2×2mn)3×(-4m3n2)
=64m3n3×(-4m3n2)
=-256m6n5.
5.写出不等式、一元一次不等式的定义,画出表示它们之间关
系的示意图.
解析　不等式:用不等号表示数量之间关系的式子叫作不等式.
一元一次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的
不等式叫作一元一次不等式.
它们之间的关系如图.

6.【新考向·代数推理】(2024河北中考,★★★)“铺地锦”是
我国古代一种乘法运算方法,可将多位数乘法运算转化为一
位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发,设计了如图1所示
的“表格算法”,图1表示132×23,运算结果为3 036.图2表示
一个三位数与一个两位数相乘,表格中部分数据被墨迹覆盖,
根据图2中现有数据进行推断,正确的是 ( )

A.“20”左边的数是16
B.“20”右边的“ ”表示5
C.运算结果小于6 000
D.运算结果可以表示为4 100a+1 025
答案　D
解析　设这个三位数与两位数分别为100x+10y+z和10m+n,由
题图2可得x,y,z,m,n均为大于或等于1且小于10的正整数,填入
“表格算法”,如图1,

由题意,得mz=20=4×5,nz=5=1×5,ny=2=1×2,nx=a,观察上述等
式可得z=5,m=4,n=1,y=2,
填入“表格算法”,并计算,如图2,

所以“20”左边的数是my=4×2=8,故A不正确;
“20”右边的“ ”表示4,故B不正确;
运算结果可以表示为1 000(4a+1)+a×100+2×10+5×1=4 100a
+1 025,故D正确;
当a>1时,运算结果大于6 000,故C不正确.故选D.

7.【新课标·运算能力】【学科特色·分类讨论思想】(2025江苏
扬州中学树人教育集团期末)定义:任意两个数a,b,按(a+1)(b+1)
运算得到一个新数c,称所得的新数c为a,b的“和积数”.
(1)若a=4,b=-2,求a,b的“和积数”c.
(2)若ab= ,a2+b2=8,求a,b的“和积数”c.
解析 (1)根据“和积数”的定义,得当a=4,b=-2时,c=(4+1)×
(-2+1)=-5.
(2)根据题意,得c=(a+1)(b+1)=ab+a+b+1.
∵ab= ,a2+b2=8,
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=8+1=9,∴a+b=3或a+b=-3.
当a+b=3时,c= +3+1= ;当a+b=-3时,c= -3+1=- .
综上所述,c的值为 或- .(共21张PPT)
第12章　定义 命题 证明
12.3　证明
　推理说明的必要性
1.下列选项中用到推理的是 ( )
A.根据a=10 cm,b=10 cm,得a=b
B.观察得到了五边形有五个内角
C.老师告诉了我们关于古长城的许多故事
D.由公理知道过两个点有且只有一条直线
A
解析　推理是一种思维形式,通过已知的判断推导出新的结
论.A选项,由a=10 cm,b=10 cm,得到a=b,故A符合题意;B,C选
项只是叙述事实,不是推理,故B,C不符合题意;D选项没有推
理过程,故D不符合题意.故选A.
2.【学科特色·教材变式P152讨论】先观察,再验证:
(1)图1中的实线是直的还是弯曲的
(2)图2中两条线段a与b哪一条更长
(3)图3中的直线AB与直线CD平行吗

解析　观察可能得出的结论:(1)题图1中的实线是弯曲的.
(2)题图2中a更长一些.(3)AB与CD不平行.(答案不唯一)
测量比较验证得(1)题图1中的实线是直的.(2)a与b一样长.
(3)AB与CD平行.
　证明
3.(2025江苏连云港海州期末)请根据条件进行推理,完成下面
的证明,并在括号内注明理由.
已知:如图,D是∠ABC的平分线上一点,DE∥BC交AB于点E.
求证:∠1=2∠2.
证明:∵DE∥BC,
∴∠1=_______(____________),
∠2=_______(____________),
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABC=_______( ),
∴∠1=2∠2.
解析　∵DE∥BC,
∴∠1=∠ABC(两直线平行,内错角相等),
∠2=∠DBC(两直线平行,同位角相等),
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠DBC(角平分线的定义),
∴∠1=2∠2.
故答案为∠ABC;两直线平行,内错角相等;∠DBC;两直线平
行,同位角相等;2∠DBC;角平分线的定义.
4.(2025江苏南京秦淮期末)证明:三个连续自然数中,前两个数
乘积与后两个数乘积的和一定为偶数.
证明　设这三个连续自然数分别为n-1,n,n+1(n≥1),
则(n-1)·n+n·(n+1)=n2-n+n2+n=2n2,
∴三个连续自然数中,前两个数乘积与后两个数乘积的和一
定为偶数.
5.(2025江苏宿迁宿城期末)阅读并完成下面的证明:
如图,AB∥CD,点F在线段CD上,线段AF的延长线与线段BC的
延长线相交于点E,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AD∥BE.

证明:∵AB∥CD(已知),
∴∠4=_______(___________),
∵∠3=∠4(已知),
∴∠3=_______(___________),
∵∠1=∠2(已知),
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF,即∠BAE=_______,
∴∠3=_______(等量代换),
∴AD∥BE(___________).
解析　∵AB∥CD(已知),
∴∠4=∠BAE(两直线平行,同位角相等),
∵∠3=∠4(已知),∴∠3=∠BAE(等量代换),
∵∠1=∠2(已知),∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF,
即∠BAE=∠CAD,∴∠3=∠CAD(等量代换),
∴AD∥BE(内错角相等,两直线平行).
故答案为∠BAE;两直线平行,同位角相等;∠BAE;等量代换;
∠CAD;∠CAD;内错角相等,两直线平行.

6.(2025江苏常州新北期末,★★☆)在探究“过直线外一点P
作已知直线a的平行线”的活动中,王玲同学通过如图所示的
折纸方式找到了符合要求的直线,在这个过程中她可能用到
的推理依据组合是 ( )
①平角的定义;②邻补角的定义;③折叠的性质;④同旁内角互
补,两直线平行;⑤两直线平行,内错角相等.
A.②④　　　 B.③⑤
C.①②⑤　　　 D.①③④
答案　D
解析　如图,第一次折纸,应用①平角的定义、③折叠的性质,
得∠BAP=∠EAP= ×180°=90°,
第二次折纸,应用①平角的定义、③折叠的性质,
得∠APD=∠FPD= ×180°=90°,
∴∠BAP+∠APD=180°,
∴BE∥CD,即b∥a,应用④同旁内角互补,两直线平行,故选D.
7.(2025江苏南通如皋期末,★★☆)如图,已知AC∥FE,∠1+∠2=
180°.
(1)求证:∠FAB=∠BDC.
(2)若AC平分∠FAD,EF⊥BE于点E,∠FAD=80°,求∠BCD的
度数.
解析 (1)证明:∵AC∥EF,∴∠1+∠FAC=180°.
又∵∠1+∠2=180°,∴∠FAC=∠2,∴FA∥CD,
∴∠FAB=∠BDC.
(2)∵AC平分∠FAD,
∴∠FAC=∠CAD= ∠FAD.由(1)知∠FAC=∠2,
∵∠FAD=80°,∴∠2= ×80°=40°.
∵EF⊥BE,AC∥EF,∴AC⊥BE,
∴∠ACB=90°,∴∠BCD=90°-∠2=50°.

8.【新课标·推理能力】【新考向·代数推理】(2025江苏宿迁
宿城期末)
【发现】
比任意一个奇数大5的数与此奇数的平方差能被5整除.
【验证】
(1)82-32=_________=_______×5.
(2)设奇数为2n+1,试说明:比2n+1大5的数与2n+1的平方差能
被5整除.
【延伸】
(3)请利用整数k说明“比任意一个整数大5的数与此整数的
平方差被10除的余数为5”.
解析 (1)82-32=(8+3)×(8-3)=11×5,
故答案为(8+3)×(8-3);11.
(2)(2n+1+5)2-(2n+1)2
=(2n+6+2n+1)(2n+6-2n-1)
=5(4n+7),
∵n为整数,
∴5(4n+7)是5的倍数,
即比2n+1大5的数与2n+1的平方差能被5整除.
(3)任意的整数为k,则比k大5的数为k+5,
(k+5)2-k2=(k+5+k)(k+5-k)
=10k+25
=10k+20+5
=10(k+2)+5,
∵k为整数,∴10(k+2)+5被10除的余数为5,
即比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10除的余数
为5.

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