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3.1.1 变量与函数
第3章 一次函数
1.通过生活中的实例，理解常量和变量的概念，让学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量；
2.初步掌握函数的概念，能判断两个变量间的关系是否可以看成是函数.
日常生活中能看见很多物体处在不停的运动变化之中,如何来研究这些运动变化并寻找规律呢
数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化，今天就让我们一起来探索学习.
情境1：如图是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的气温曲线.
(1)这一天中，4时的气温是_____℃，14时的气温是_____℃.
(2)哪一个是主动变化的量？哪一个是随之变化的量
10
20
时间t 气温T
知识点1：变量与常量
(3)对于这一天内的任意一个时刻 t，都有确定的温度 T 吗？这个温度值唯一吗？
对于时刻 t 的每一个值，气温 T 都有唯一确定的值
情境2：研究者研究声音在空气中传播度速度（简称声速）与气温之间的关系时，通过实验得到了几组气温x与声速y对应的数值：
x/℃ -10 -5 0 5 10 15 20
y/(m/s) 325.36 328.36 331.36 334.36 337.36 340.36 343.36
(1)找出气温为-10，0，5时的声速.
325.36 331.36 334.36
(2)当气温x变化时，声速y变化吗？
变化
(3)当表格中给出的每一个气温x，声速y的值确定吗？有几个？
对于气温x的每一个值，声速y都有唯一确定的值
情境3：某型无人机以120 km/h的速度做匀速飞行，则其飞行的路程y(km)与飞行时间x(h)之间的关系式为y=120x.
(1)当飞行时间为2h、5h时，飞行的路程分别是多少？
当x=2时，y=120240.
当x=5时，y=120600.
(2)路程y和时间x，哪个可以自由变化？哪个随之确定？
时间x 路程y
对于时间 x 的每一个值，通过表达式都能得到路程 y 的唯一确定的值
(3)对于任意一个时间x，你都能算出一个确定的 y值吗？
问题：在情境1-3中，哪些量是变化的？哪些量是不变的？
变化的量: 情境1中的时间 t 和气温 T；
情境2中的气温 x 和声速 y；
情境3中的飞行时间 x 和飞行路程 y .
不变的量: 情境3中无人机匀速飞行的速度120 km/h .
上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？如何定义？
在某一变化过程中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量（或常数）.
思考:变量和常量是绝对的吗？用字母表示的一定是变量吗？
不是.常量和变量是对某一变化过程来说的，不是绝对的而是相对的.
不一定. 在一个变化过程中，分辨一个量是常量还是变量，要看这个量是保持不变的，还是可以取不同数值的，字母不一定是变量，如在一个匀速运动过程中的速度v就是一个常量.
议一议
如图， ABC底边BC（BC=a）上的高是h.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积S会发生变化吗？若发生变化，则在变化过程中，哪些是常量？哪些是变量？
解：会发生变化.
在变化过程中，高h是常量，底边长a和面积S都是变量，并且面积S随底边长a的变化而变化.
A
B
C
C
C
C
做一做
请举出两个含有相关变量的实例，并指出其中的常量与变量.
(1)某汽车以 60 km/h的速度匀速行驶，行驶的路程 s (km)与行驶的时间 t (h).
变量：时间 t 、路程 s.
常量：速度60 km/h.
(2)某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千克橘子的总价为m元.
变量：数量 a 、总价 m.
常量：单价 5元／千克.
y=120x，x≥0.
知识点2：函数的概念
(1)上述每个情境中，有几个变量？
(2)这些变量是怎样变化的？
(3)当一个变量取一个确定的值时，对应的另一个变量的取值是否唯一确定？
都有两个变量.
在两个变量中，一个变量随着另一个变量变化而变化.
是唯一确定.
在情境1-3中，有什么共同的特点？回答问题与同学交流讨论.
我们把具有这些特点的模型称为函数，如何给它下一个定义呢？
一般地，如果变量 y 随着变量 x 而变化，并且对于 x 的每一个取值，y 都有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数，记作y = f (x).其中， x 叫作自变量， y 叫作因变量.
对于自变量 x 的每一个取值 a，因变量 y 的对应值称为函数值，记作 f (a).
注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.
对应
y就是x的函数
一个x值
唯一一个y值
可用图象、列表、关系式来表示
思考：在情境1-3中，哪个量是自变量？哪个量是因变量？
情境（1）中，气温T是时间t的函数，其中t是自变量，T是因变量.
情境（2）中，声速y是气温x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
情境（3）中，飞行路程y是飞行时间x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
自变量t的取值范围:0≤t≤24
在考虑两个变量间的函数关系时，还要注意自变量的取值范围.
自变量x的取值范围:x≥0
自变量x的取值范围:x为实数
下列各组给出了两个变量x和y，判断y是不是x的函数.
(1)y：正方形的周长；x：这个正方形的边长.
(2)y：矩形的面积；x：这个矩形的宽.
(3)y：一个正数的平方根；x：这个正数.
(4)y：一个正数的算术平方根；x：这个正数.
解：(1)(4)中，y是x的函数；(2)(3)中，y不是x的函数.
对于x的每一个取值，y总有唯一的值与它对应，y才是x的函数.
变量与函数
常量与变量
函数
常量：取值固定不变的量
变量：取值会发生变化的量
概念
自变量的取值范围
函数值
1.指出下列事件变化过程中的常量与变量.
(1) 某水果店苹果的单价为 6 元／千克，买 x 千克苹果的总价为 y 元，其中常量是 ，变量是 ；
(2) 圆的周长 C 与半径 r 之间的关系式是 C ＝ 2πr，
其中常量是 ，变量是 ；
(3) 三角形的一边长 5 cm，它的面积 S (cm2) 与这边上的高 h (cm) 的关系式 中，其中常量是 ，变量是 .
6
x，y
2，π
C， r
S，h
π 是一个确定的数，是常量.
2.如图所示的图象中,表示y是x的函数的个数是（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：观察图象（1）（2）中，对于任意一个 x 的值， y 都有唯一确定的值与之对应，所以满足题意；而图象（3）（4）中，对可取范围内 x 的值， y与之对应的值不都是唯一的，所以不满足题意.
B
3. 下列说法不正确的是( ).
B
A. 长方形的长一定时，其面积是宽 的函数
B. 圆的面积公式中， 和 都是自变量
C. 高速公路上匀速行驶的汽车，其行驶的路程 是行驶的时间 的函数
D. 等腰三角形的周长一定时，腰长是底边长 的函数
4.一辆汽车油箱内有油50升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设
油箱内剩余油量为（升），行驶路程为（千米），则随 的变化而变化.
（1）用含的代数式表示油箱内剩余油量 .
解:.
(2)当时， ;
当时,可得，解得 .
（2）这辆汽车行驶350千米时，剩油多少升？汽车剩油8升时，行驶了多少千米？
(x≥0).

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