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3.2 一次函数
第3章 一次函数
1.理解一次函数、正比例函数的概念及关系，并能判断出它们；
2.能分析简单问题中的数量关系建立一次函数模型，并由此解决简单问题.
如果设青蛙的数量为x，y分别表示青蛙嘴的数量，眼睛的数量，腿的数量，你能列出相应的函数解析式吗？
y=x
y=2x
y=4x
思考：你还能举出一些类似的例子吗？
思考
情境1 一列“复兴号”高铁自上海站出发，运行 40 km 到达A 地后，便以 350 km/h 的速度匀速行驶 . 如果从离开 A 地后开始计时，请用表达式表示该列车离开 A 地的距离 y（km）与时间 x（h）之间的函数关系.
距离=速度×时间
y = 350x
情境2 下图是弹簧秤称重示意图 . 某弹簧秤能称不超过 10 kg 的物体，弹簧的原长为 10 cm，每挂 1 kg物体，弹簧伸长0. 5 cm. 挂上重物后弹簧的长度为 y（cm），所挂物体的质量为 x（kg）. 请用表达式表示该弹簧秤的弹簧长度y与所挂物体质量x（不超过能称重的范围）之间的函数关系.
弹簧长度 = 原长 + 弹簧伸长量
y = 10 + 0. 5x.
（提示：情境中存在怎样的等量关系）
y = 350x
y = 10 + 0. 5x
自变量的系数是不等于0的常量
自变量的次数都是1
问题1：等式的右边是什么代数式？
问题2：含有自变量的项的系数和次数分别有什么特点？你有什么发现
它们的右边都是关于自变量x的一次式.
整式
观察前面两个情境中的函数关系式，请回答下列问题：
一次函数的概念：
形如y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的函数.
一次函数y=kx+b(k≠0) 的结构特征：
(1)k ≠ 0；
(2)自变量x的次数是1；
(3)常数项b可以是任意实数 .
注意：一次函数 y = kx + b 的自变量的取值范围是全体实数.
正比例函数的概念：
特别地，当 b = 0 时，一次函数 y = kx（k 为常数，k ≠ 0）也叫作正比例函数.
一次函数
正比例函数
正比例函数是一种特殊的一次函数.
思考：正比例函数与一次函数的关系？
下列函数中,哪些是一次函数
(1) y =-3x+7
(2) y =6x2-3x
(3) y =8x
(4) y =1+9x
(5) y =
Ⅹ
√
因为不是整式
因为自变量的次数不是1
√
√
Ⅹ
1.判定一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零；
2.判定一个函数是正比例函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
自变量x 0 1 2 3 4 … 9 10
因变量y 10 10.5 11 11.5 12 … 14.5 15
在函数y=10+0.5x中，我们取一些自变量的值，并计算出对应的因变量的值如下：
自变量和因变量分别是怎样变化的？y随着x的变化而变化有什么特点？
自变量每增加1，因变量都是增加0.5.
因变量随自变量的变化是均匀的
一次函数的特征
观察与思考
例1 科学研究发现，一般情况下，海拔每升高 1 km，气温下降约 6 ℃. 某时刻，若甲地地面气温为20 ℃，设高出地面x km处的气温为y ℃.
（1） 求y随x变化而变化的函数表达式.
（提示：题中存在怎样的等量关系）
甲地高出地面x km处的气温 = 地面气温 - 下降的气温
解 :（1） 由于高出地面xkm处的气温随离地面高度的变化而变化，因此y是x的函数，它们之间的数量关系为甲地高出地面x km处的气温 = 地面气温 - 下降的气温，即y = 20 - 6x.
因变量随自变量的变化是均匀的
（2） 当y =-34时，即20 - 6x =-34， 解得x = 9.
答：此时飞机离地面的高度为9 km.
（2） 若有一架飞机飞过甲地上空，机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34 ℃，求飞机离地面的高度.(y = 20 - 6x)
例2 已知函数.
(1)若它是一次函数，求m的值；
解：(1) ∵是一次函数，
∴ m2－24＝1且m－5≠0，
∴ m＝±5且m≠5，
∴ m＝－5.
∴当m＝－5时，函数是一次函数．
(2)若它是正比例函数，求m的值．
(2)∵ 是一次函数，
∴ m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0，
∴ m＝±5且m≠5且m＝－1，
则这样的m不存在，
∴函数不可能为正比例函数．
【方法总结】函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.
当b＝0时，一次函数为正比例函数．
一次函数
y=kx+b（ k， b 是常数， k≠0）
一次函数的简单应用
当b=0时，y=kx+b(k≠0)是正比例函数
1.下列说法正确的是（ ）
A.y=kx+b是一次函数
B.一次函数是正比例函数
C.正比例函数是一次函数
D.不是正比例函数就一定不是一次函数
C
注意：正比例函数是一种特殊的一次函数.
2.下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
y = 7 - x，y = x2，y =-4x，y = ，y = 2x - 3.
解：y = 7 - x是一次函数；
y = x2不是一次函数，也不是正比例函数；
y =-4x是一次函数，也是正比例函数；
y = 不是一次函数，也不是正比例函数；
y = 2x - 3是一次函数．
3. 在函数 y = (m - 2)x + (m2 - 4) 中，当 m 时，y 是 x 的一次函数；当 m 时，y 是 x 的正比例函数.
≠ 2
= -2
解法指导:根据一次函数或正比例函数的定义确定表达式中字母的取值(范围)时，要先根据比例系数k≠0、自变量x的次数是1或b=0列不等式或方程，再求解.应用定义求字母值时，不要忽略比例系数k≠0这一条件 .
4.某住宅小区的住房物业服务费按住房面积收缴，每月1. 6元/m2 ；有车位的业主还要交车位物业服务费，每月30元. 设某个有车位的业主，其住房面积为x m2 ，每月应缴住房和车位物业服务费的总和为y元，求y与x之间的函数关系式，并求当y = 254时，x的值.
解 ：（1）y =1.6x+30.
（2）当y =254时，即1.6x+30 =254，
解得x =140.

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