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3.3 一次函数的图象
课时1 正比例函数的图象与性质
第3章 一次函数
1.理解画函数图象的一般步骤和正比例函数图象的画法；
2.掌握正比例函数的图象和性质，能运用正比例函数的图象、性质和数形结合法解决一些简单的问题.
回顾上节课的内容，说说一次函数与正比例函数的概念及其联系？
形如y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的函数，则称y是x的一次函数，其中x为自变量，y为因变量.
特别地，b=0，y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数.
怎样画正比例函数的图象？
如何画正比例函数y = 2x的图象？
图象是坐标系中由点构成的，所以我们必须找到点，也就是点的坐标.
列表：在自变量的取值范围内，取自变量x的一些值，计算出相应的函数值，列成表格.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y
…
-6
-4
-2
0
2
4
6
…
(-3,-6)
(-2,-4)
(-1,-2)
(1,2)
(2,4)
(3,6)
(0,0)
…
探究
y=2x
从图中可以看出y=2x是一条直线.
描点：建立平面直角坐标系，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出这些点.
连线：观察描出的这些点的分布，猜测函数的图象，然后用平滑的线连接各点.
函数y=2x的图象是什么？
一般地，正比例函数y = kx的图象是一条经过原点O的直线.
思考 正比例函数图象有什么简单的画法吗？依据是什么？
只需要再描出图象上的一个点，两点确定一条直线.
画函数图象的一般步骤:
①列表
②描点
③连线
取自变量 x 的一些值，计算出相应的函数值，列成表格.
建立平面直角坐标系，以自变量值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出这些点.
用一条线将平面直角坐标系中的各点连接.
注意：画正比例函数的图象只需要再描出图象上的一个点，然后过这点和原点就可以确定这条直线.(两点确定一条直线)
例1 画出正比例函数y =-2x的图象.
正比例函数y = kx的图象是一条经过原点O的直线
画出正比例函数y =-2x的图象
根据两点确定一条直线，只需要一个点
怎样画出正比例函数y =-2x的图象呢？
①列表
②描点
③连线
y = -2x
解：函数y =-2x的图象经过原点O.
当x = 1 时，y = -2.
在平面直角坐标系中描出点 A（1，2），
例1 画出正比例函数y =-2x的图象.
过原点和点A作直线，则这条直线是 y = -2x 的图象，如图所示.
问题1：观察y = 2x，y =-2x 的图象，它们的图象分别经过哪些象限？当自变量 x 的取值由小变大时，对应的函数值y如何变化？
y = 2x的图象经过第一、三象限，对应的函数值y由小变大.
y = -2x的图象经过第二、四象限，对应的函数值y由大变小.
y = -2x
问题2：一般地，对于正比例函数y = kx，其图象应该经过哪些象限？函数值随自变量如何变化？
k > 0，经过第一、三象限且从左向右上升，即函数值 y 随x取值的增大而增大.
k < 0，经过第二、四象限且从左向右下降，即函数值 y 随x取值的增大而减小.
y = -2x
k的符号 图象 图象经过象限 图象变化趋势 y与x的关系
从左向右图象呈 _________趋势
y随着x的增大而______
从左向右图象呈_________趋势
y随着x的增大而_____
正比例函数的图象与性质
k<0
一、三
上升
增大
二、四
下降
减小
k>0
例2 某国家森林公园的一个旅游景点的电梯运行时，以 3 m/s的速度匀速上升，运行总高度为300 m.
（1） 求电梯运行高度h（m）随运行时间t（ s）而变化的函数表达式；
（2） 画出这个函数的图象.
解：(1)由路程=速度×时间，可知h=3t，0≤t≤100.
(2)当t=0时，h=0；当t=100时，h=300，在平面直角坐标系中描出两点O(0，0)，A(100,300). 过这两点作线段OA，线段OA即函数h=3t(0≤t≤100)的图象.
在有限路程内做匀速运动（速度保持不变）的物体，路程与时间的函数图象一般是一条线段.
注意自变量的取值范围
k＞0
k＜0
x
y
x
y
第一、三象限
第二、四象限
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
图象必经过（0，0）和（1，k）这两个点
正比例函数y=kx(k是常数，k≠0) 的图象和性质
k的正负性
y=kx(k是常数，
k≠0)的图象
直线y=kx经过
的象限
性质
图象必经过的点
1.在平面直角坐标系中，正比例函数y =kx（k＜0）的图象的大致位置只可能是（　　）
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A
B
C
D
A
3. 函数 y = -7x 的图象经过第_________象限，经过点_______与点（1，____），y 随 x 的增大而_______.
二、四
（0，0）
-7
减小
2.函数y=x的图象是一条经过原点及点（2，____）的直线，这条直线经过第__________象限，当x增大时，y随之_______.
3
一、三
增大
4. 已知矩形的一边长6 cm，另一边长x cm，面积为y cm2.
（1）求y随x而变化的函数表达式；
（2）画出该函数的图象；
（3）当x = 3，4，5时，y分别是多少？
解： (1)y=6x(x＞0).
-1
-1
1 2 3
O
7
6
5
4
3
2
1
y
x
1
(2)当x=1时， y=6.
在平面直角坐标系中，描出点A(1，6)，连接OA并延长，可知函数y=6x(x＞0)的图象是直线y=6x在第一象限的部分.
(3)当x=3时，y=6×3=18；当x=4时，y=6×4=24;
当x=5时，y=6×5=30.

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