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3.4 用待定系数法确定一次函数的表达式
第3章 一次函数
1.掌握用待定系数法确定一次函数表达式的方法步骤；
2.能熟练地用待定系数法确定一次函数的表达式；
3.能建立一次函数模型并解决简单实际问题.
2.如何画一次函数图象
一次函数
y=kx+b(k≠0）
取两点
(x1，y1)
(x2，y2)
画出函数图象
一条直线
1.写出一次函数与正比例函数的一般表达式.
y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)
y=kx(k为常数，且k≠0)
思考：已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，怎样求它的表达式？
探究
如图，已知一次函数的图象经过P（0，- 1），Q（1，1）两点. 怎样确定这个一次函数的表达式呢？
问题1： 一次函数 y = kx + b，要求出该一次函数的表达式，关键是需要确定哪几个量的值？
问题2： 求一次函数 y = kx + b中的k,b，需要几个方程？需要几个已知条件？
确定k，b的值.
两个二元一次方程组成方程组
两个点的坐标（两个条件）
已知一次函数的图象经过P（0，- 1），Q（1，1）两点. 怎样确定这个一次函数的表达式呢？
解这个方程组，得
所以这个一次函数的表达式为y=2x-1.
解：设一次函数的表达式为y=kx+b,
设
代
解
写
求一次函数的表达式有哪些步骤呢？
k·0 + b = -1，
k + b = 1.
k = 2，
b = -1.
将这两点坐标代入该式中，得
通过先设定函数表达式（确定函数模型），再根据条件确定表达式中的未知系数（即待定的系数），从而求出函数表达式的方法称为待定系数法.
待定系数法：
议一议：要确定正比例函数的表达式需要几个条件？与同学交流你的想法.
注意：首先应观察图象,确定它是正比例函数的图象,还是一次函数的图象
函数解析式y=kx+b(k≠0)
选取
解出
满足条件的两点(x1,y1)与(x2,y2)
一次函数的图象直线l
画出
选取
从数到形
从形到数
体现了“数形结合”的数学思想
思考：函数解析式和函数图象如何相互转化呢？
例1 世界上大多数国家（包括我国）都采用摄氏温标预报天气，而美国仍然采用华氏温标. 已知两种温标计量值的对应关系如下表所示，尝试用函数表达它们的对应关系.
请问能不能运用待定系数法求它们的对应关系？为什么？
那你怎样判断它们的关系是一次函数？
能，因为它们是一次函数.
因变量随自变量的变化是均匀的.
自变量每增加10，因变量都是增加18.
因此，华氏温度与摄氏温度的函数表达式为y=32.
解：由上表可知，摄氏温度每增加 10 ℃，华氏温度都增加 18 ℉，于是它们之间的关系可用一次函数关系式表示.
因此可以设所求函数表达式为y = kx + b（k，b为常数，k ≠ 0）.
由已知条件，得
解这个方程组，得k＝，b=32，
b=32，
10k+b=50.
例2 某种收割机的油箱可储油40 L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y（L）与工作时间x（h）之间为一次函数关系，函数图象如图所示.
（1） 求y关于x的函数表达式；
（2） 一箱油可供收割机工作几小时？
分析: (1)观察图象可知，有两点P(2，30)，Q(6，10)在一次函数图象上，故可用待定系数法求函数表达式；(2)当余油量为零时，对应的时间即为一箱油可供拖拉机工作的时间.
解： (1)设一次函数的表达式为y = kx + b（k，b为常数，k ≠ 0）
由于点 P（2，30），Q（6，10）都在一次函数图象上，将这两点的坐标代入表达式，得
2k+b=30，
6k+b=10.
解得 k=-5，b=40.
所以 y=-5x+40.
（2）当剩余油量为0，即y = 0时， -5x + 40 = 0，
解得x = 8. 所以一箱油可供收割机工作8 h.
思考：待定系数法求一次函数表达式的一般步骤有哪些？
待定系数法求一次函数表达式的一般步骤:
1. 设出含字母系数的一次函数表达式：y = kx + b；
2. 将已知条件代入上述表达式中，得到关于 k，b 的二元一次方程组；
3. 解这个二元一次方程组，得 k，b 的值；
4. 写出一次函数的表达式.
设：设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0)；
代：把图象上的点(x1,y1),(x2,y2)代入一次函
数的表达式，组成二元一次方程组；
解：求解二元一次方程组得k,b的值；
写：把k,b的值代入一次函数的表达式.
用待定系数法确定一次函数的表达式
1. 已知一次函数 y = kx + 5 的图象经过点(-1，2)，则k =_____.
3
2.已知一次函数y=kx+b的图像与直线y=2x+1平行，且经过点(1,-3)，则该一次函数的表达式为（　　）
A．y=2x-5 B．y=2x+5
C．y=-2x-1 D．y=-2x+1
A
k相同
3.为鼓励青少年参与科技创新，某市举办了“科创”比赛．活动小组统计了宣传天数x（天）和报名参赛的人数y（人），得到如下几组对应数据：
x/天 1 3 5 7 9
y/人 12 20 28 36 44
由表中数据可知，y与x的函数关系式为（ ）
A．y=8x+4 B．y=4x+8
C．y=3x+9 D．y=2x+10
B
4. 已知y是x的一次函数，且当x取4，6时，y的值分别为9和-1.
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)将所得函数的图象平移，使它过点(5，-3)，求平移后图象的表达式，并指出平移的方向和距离.
解：(1)设该一次函数为y=kx+b，则
4k + b = 9，
6k + b =-1.
解得 k=-5，b=29.
因此 y与x的函数表达式为y=-5x+29.
(2)设平移后图象的表达式为y=-5x+29+b，将点(5，-3)代入得-5×5+29+b=-3，
解得 b=-7.
因此平移后图象的表达式为y=-5x+22.
它是由直线y=-5x+29向下平移7个单位长度得到的.

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