资源简介

3.5 一次函数与二元一次方程的关系
第3章 一次函数
1.体会一次函数与二元一次方程的关系,感悟数学知识之间的内在联系；
2.会用一次函数的图象解决二元一次方程的求解问题.
2x+y-9=0叫作什么呢？
一次函数
二元一次方程
思考：这是怎么回事？为什么这两位同学的回答不一样呢？
议一议
问题1：（4，1）与（1，7）是二元一次方程2x+y-9=0的解吗？方程还有其他解吗？如果有，再说出几个.
问题2：给定一个二元一次方程2x+y-9=0，若把方程中的未知数y用含未知数x的代数式表示，如何将其看作一次函数的表达式吗？你有什么发现？
是，（4，1）与（1，7）都能使方程2x+y-9=0左右两边相等
有，我们知道二元一次方程有无数个解，
如：（-1，11），（0，9）.
2x+y-9=0
y=-2x+9
转化
二元一次方程
一次函数
转化
问题3：（1）若点P（a，b)在一次函数y=-2x+9的图象上，则 是二元一次方程2x+y-9=0的解吗？
∵点P（a，b)在一次函数y=-2x+9的图象上，∴b=-2a+9，∴2a+b-9=0，
∴ 是方程2x+y-9=0的一组解.
（2）若 是二元一次方程2x+y-9=0的一组解，则坐标为（a，b)的点是否在一次函数y=-2x+9的图象上？
?
∵ 是二元一次方程2x+y-9=0的一组解，
∴2a+b-9=0，∴b=-2a+9，∴点P（a，b)在一次函数y=-2x+9的图象上.
你能想到什么结论？
一次函数与二元一次方程：
一般地，一次函数 y=kx+b 图象上任意一点的坐标都是二元一次方程 kx-y+b=0 的一个解，以二元一次方程 kx-y+b=0 的解为坐标的点都在一次函数 y=kx+b 的图象上.
一次函数 y=kx+b的图象上点的坐标
二元一次方程 kx-y+b=0 的解
从形到数
从数到形
例1 在平面直角坐标系中，画出二元一次方程-2x+3y-6=0表示的直线.
分析:二元一次方程-2x+3y-6=0表示的直线是一次函数y =23x+2的图象.
?
解：由-2x+3y-6=0可得一次函数y =23x+2，
?
从而当x=0时，y=2，当x=3时，y=4.
在平面直角坐标系中，描出 A（0，2），B（3，4）两点，过这两点作直线，如图所示.
这条直线是一次函数y =23x+2的图象，从而它是二元一次方程-2x+3y-6=0表示的直线.
?
一次函数y = kx + b的图象就是二元一次方程kx - y + b = 0表示的直线；
二元一次方程kx-y+b=0表示的直线就是一次函数y = kx + b的图象.
例2 如图 ，在平面直角坐标系中，已知一条直线经过P（0，- 2），Q（-4，5）两点，哪个二元一次方程表示这条直线？
解：设直线 PQ 是一次函数y=kx+b（k，b 为常数，k ≠ 0）的图象.
因为点P（0，-2）和点Q（-4，5）都在该函数的图象上，所以
b=-2，
-4k+b=5，
解得 k=?74，b=-2.
?
因此，直线PQ是一次函数y=?74x-2的图象，从而它是二元一次方程?74x+ y+2=0表示的直线.
?
思考 关于x，y的二元一次方程kx-y+b=0（k ≠ 0）所表示的直线与x轴的交点坐标是什么？
x轴上的点的坐标有什么特征？
x轴上的点的纵坐标为0.
解：令y=0，则kx+b=0,
解得x=?????????,
?
所以与x轴的交点坐标是(?????????,0).
?
关于 x，y 的二元一次方程 kx - y + b = 0（k ≠ 0）所表示的直线与x 轴的交点坐标为(?????????,0).
?
一次函数与一元一次方程：
一般地，一次函数 y=kx+b(k≠0) 的图象与 x 轴的交点的横坐标是一元一次方程 kx+b=0 的解. 任何一个一元一次方程 kx+b=0 的解，就是一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交点的横坐标.
求一元一次方程
kx + b = 0 的解
从“函数值”看
一次函数 y = kx+b
中 y = 0 时的 x 值
从“函数图象”看
直线 y = kx + b与
x 轴交点的横坐标
一次函数与二元一次方程的关系
一元一次方程的解，即对应一次函数的值为 0 时相应的自变量的值，也是一次函数的图象与 x 轴交点的横坐标
二元一次方程的解与相应一次函数图象上点的坐标一一对应
1.方程2x+12=0的解是直线y=2x+12( ).
A.与y轴交点的横坐标
B.与y轴交点的纵坐标
C.与x轴交点的横坐标
D.与x轴交点的纵坐标
C
方法点拨：直线 y＝kx＋b 与 x 轴交点的横坐标就是方程 kx＋b＝0 的解，反之亦然．
C
2.下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 x－2y＝2 的解是（ ）
3.在平面直角坐标系中，画出二元一次方程5x+3y-9=0表示的直线.
解：由5x+3y-9=0可得一次函数y=?53x+3，
?
从而当x=0时，y=3，当x=3时，y=-2.
在平面直角坐标系中，描出 A（0，3），B（3，-2）两点，过这两点作直线，如图所示.
这条直线是一次函数y =-53x+3的图象，从而它是二元一次方程5x+3y-9=0表示的直线.
?
·
y =-53x+3
?
4.在平面直角坐标系中，已知一条直线经过 P（0，- 5），Q（4，- 2）两点，哪个二元一次方程表示这条直线？
解：设直线 PQ 是一次函数y=kx+b（k，b 为常数，k ≠ 0）的图象.
因为点P（0，-5）和点Q（4，-2）都在该函数的图象上，
所以
b=-5，
4k+b=-2.
解得 k=34，b=-5.
?
因此，直线PQ是一次函数y=34x-5的图象，从而它是二元一次方程34x-y-5=0表示的直线.

展开更多......

收起↑