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3.6 一次函数的应用
课时1 一次函数的应用
第3章 一次函数
1.能分析变量间的关系确定正比例函数或一次函数表达式；
2.能把实际问题抽象成一次函数模型，解决相关问题.
探究
伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，测量两指指尖间的最大距离，这个距离简称为指尖距.假设指尖距与身高具有如下关系：
指尖距 x/cm 19 20 21
身高 y/cm 151 160 169
+1
+1
+9
因变量随自变量的变化是均匀的.
身高y与指尖距x的关系可以尝试用一次函数模型来刻画.
+9
问题1：观察表格中的数据你发现了什么？得到了什么结论？
问题2：求身高y与指尖距x之间的函数表达式.
设身高y与指尖距x之间的一次函数表达式为y=kx+b(k，b为常数，k≠0).
将x=19，y=151与x=20，y=160代入上式，
得解得k=9，b=-20.于是y=9x-20.
将x=21，y=169代入上式，也符合.
故y=9x-20就是身高y与指尖距x之间的函数表达式.
问题3：若李华的指尖距为 22 cm，你能估计他的身高吗？
当x=22时，y=9×22-20=178.
因此，李华的身高大约是178 cm.
一次函数解决实际问题的基本步骤
待定系数法
（1）先判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系.
可以观察因变量是否随自变量均匀变化；根据自变量和因变量的对应值描出一系列点，观察图形的形状等等……
（2）求得函数解析式.
（3）利用函数解析式或其图象解决实际问题.
一般地，用一次函数解决实际问题的基本步骤是:
例1 已知甲、乙两地相距40 km，小徐8：00骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8 km/h；小李10：00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40 km/h.设小徐所用的时间为x h，小徐与甲地的距离为y1 km，小李离甲地的距离为y2 km.
（1）分别写出y1，y2与x之间的函数表达式；
解：（1）y1=8x，自变量x的取值范围是0≤x≤5.
由于小李比小徐晚出发2 h，因此小李所用时间为（x-2）h.
从而y2=40（x-2）,自变量x的取值范围是2≤x≤3.
注意其代表的意义
等量关系：距离=速度×时间
（2）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地.（y1=8x，y2=40(x-2)）
（2）将以上两个函数的图象画在同一个
平面直角坐标系中，如图所示.
过点M（0，40）作射线l与x轴平行，
它先与射线y2=40（x-2）相交，
这表明小李先到达乙地.
从图象中还能看出哪些信息？
小徐出发后约2.5小时，小李追上了小徐.
在同一平面坐标系中，若有多条直线，则我们要对每条直线进行处理，重在找出这些函数的交点坐标和每个图形的起始坐标.
(交点坐标的求法一般将两个函数的表达式联立在一起，组成方程组，方程组的解便是交点坐标).
一次函数的应用
建立一次函数模型解决实际问题
根据数据确定一次函数的表达式
1. l1反映了某公司的销售收入与销量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销量的关系，当该公司赢利(收入＞成本)时，销售量必须__________.
大于4
2.春节来临之际，某超市购进一批春联进行销售，经调查发现：在一段时间内，某种春联的日销售量y（副）与售价x（元/副）成一次函数关系，其部分对应值如表所示，请根据表中信息，解答下列问题：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当日销售量为66副时，求这种春联每副的售价为多少元？
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
把（12，60）和（15，54）代入得 解得
所以y与x之间的函数关系式为y=-2x+84 .
(2)当y=66时，-2x+84=66，解得x=9，即这种春联每副的售价为9元．
3.学生甲、乙两人跑步的路程s与所用时间t的函数关系图象表示如图(甲为实线，乙为虚线).根据图象判断：如果两人进行一百米赛跑，当甲跑到终点时，乙落后甲多少米？
解：根据图形可得：甲的速度是=8(米/秒)，
乙的速度是：=7(米/秒)，
∴根据题意得：100- ×7=12.5(米).
当甲跑到终点时，乙落后甲12.5米.
答：当甲跑到终点时，乙落后甲12.5米.

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