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3.6 一次函数的应用
课时2 一次函数的应用
第3章 一次函数
1.能根据已有数据，建立一次函数模型并作出合理预测；
2.通过函数图象获取信息，进一步训练学生的识图能力，培养学生的数形结合意识；
3.能利用函数图象解决实际问题，进一步发展学生的数学应用能力.
探究1
在第二、三、四届奥运会比赛中，男子撑竿跳高的纪录如下表所示：
问题1：观察表格中的数据你发现了什么？得到了什么结论？
+4
+4
+0.2
因变量随自变量的变化是均匀的.
男子撑竿跳高纪录与所在年份的关系可以尝试建立一次函数模型来刻画.
接近+0.2
问题2：如何求这个函数表达式呢？
待定系数法
用t表示从 1900 年起增加的年份，那么可以设奥运会男子撑竿跳高的纪录y（m）与t之间的一次函数表达式为y = kt+ b（k，b为常数，k ≠ 0）.
由于 t= 0（即 1900年）时，男子撑竿跳高的纪录为 3.3 m，t= 4（即 1904年）时，纪录为3. 5 m，因此
b = 3.3，
4k + b = 3.5,
解得 b=3.3，k=0.05.
所以 y=0.05t+3.3.
问题3：当t=8时，奥运会的男子撑竿跳高纪录符合这个函数表达式吗？当t=12时,男子撑竿跳高纪录是多少？符合表达式吗？
当t=8时，y=3.7，基本符合.当t=12时，y=3.9，经查询，1912年奥运会的男子撑竿跳高纪录为3.95m，也基本符合.
思考：用y=0.05t+3.3估计1988年奥运会的男子撑竿跳高纪录，你有什么发现？
当t= 88时，可得y= 0.05×88+ 3.3= 7.7.
经查询可知，1988 年奥运会的男子撑竿跳高纪录是 5.90 m，我们发现这个数据远低于7.7m.
用所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的.
1.分析数据，找出自变量和因变量，发现对应关系；
2.抽象出函数表达式；
3.验证并化简函数表达式，得出问题的变化规律.
通过建立函数模型，对变量的变化情况进行预测问题的解题步骤：
探究2
某市出租车的计费方法如图所示，x(km)表示出租车行驶的里程，y(元)表示打车的费用.
问题1：若某乘客的乘车里程为2.5 km，则他需要付的打车费是多少元
观察图象可知，当乘客的乘车里程x≤3时，打车的费用均为 8元，所以若某乘客的乘车里程为2.5 km，则他需要付的打车费是8元.
问题2：当x≥3时，求y与x之间的函数关系式.
问题3：若某乘客一次打车付费36元，求这位乘客的乘车里程.
当x≥3时,y与x之间的函数关系式为y=kx+b.
∵点(3，8)，(5，12)在该函数的图象上，
∴ 解得
∴当x≥3时，y与x之间的函数关系式为y=2x+2.
∵32元＞8元，∴当y=32时，32=2x+2，解得x=15.
所以这位乘客的乘车里程是15 km.
思考：上述问题中的函数由几段组成？你能写出该函数的函数关系式吗？
由两段组成，一条水平线段和一条射线.
分两段讨论：当0＜x≤3时，y=8；当x≥3时，y=2x+2.
所以
注意写出自变量的取值范围
1.分段函数要根据自变量的取值范围分段描述.
2.分段函数是一个函数而不是多个函数，求出的分段函数解析式必须写出自变量的取值范围.
例1 某地为保护环境，鼓励节约用电，实行阶梯电价制度，规定：每户居民每月用电量不超过 200 kW · h 时，按 0. 6 元/（kW · h）收费；若超过200 kW · h，则超出部分每1 kW · h加收0. 3元.
(1)写出某户居民某月应缴纳的电费 y(元)与用电量 x(kW · h)之间的函数表达式；
解：（1）当0≤x≤200时， y=0.6x；
当x＞200时，
y = 200×0.6+（x -200）×（0.6+0.3）= 0.9x-60.
y与x的函数表达式也可以合起来表示为
y =
0.9x-60 （x＞200）.
0.6x （0≤x≤200），
注意：写分段函数解析式时，自变量的取值范围写在相应函数解析式的后面.
找分界点，分类讨论
(2)画出这个函数的图象；
(3)小玲家3月份、4月份分别用电150 kW · h和220 kW · h，各应缴纳电费多少元？
y =
0.9x-60 （x＞200）.
0.6x （0≤x≤200），
(2)如图所示.
(3)当x=150时，y=0.6×150 = 90，故小玲家3月份应缴纳电费90元.
当x=220时，y= 0.9×220-60=138，故小玲家4月份应缴纳电费138元.
注意：函数图象由两个一次函数拼接在一起，我们要按照图象实行分段处理，每段看它适合哪种函数模型.
一次函数的应用
①通过建立一次函数模型，对变量的变化情况进行预测问题
②通过建立函数模型解决分段函数问题
1.一位母亲记录了儿子3~9岁的身高(单位：cm)，由此建立身高与年龄的模型为y=7.19x+73.93.则下列说法中正确的是( )
A.身高与年龄是一次函数关系
B.这个模型适合所有3~9岁的孩子
C.预测这个孩子10岁时，身高一定在145.83 cm以上
D.这个孩子在3~9岁之内，年龄每增加1岁，身高平均增加约7.19 cm
D
2.小王从家骑车到公园，她到公园的距离y(km)与骑行时间x(min)的关系如图所示.
(1)写出小王到公园的距离y(km)与骑行时间x(min)之间的函数关系式.
(2)小王从家到公园用了多长时间？
(3)出发8min后，小王离公园还有多远？
解：(1)设小王到公园的距离y(km)与骑行时间x(min)之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，将(0,15)，(10,10)代入，得b=15，10k+b=10，解得k=，所以该函数的关系式为 .
(2)将y=0代入，得x=30，即小王从家到公园用了30min.
(3)将x=8代入，得y=×8+15=11，即小王离公园还有11km.
3.一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻起开始的4 min 内只进水不出水，在随后的8 min 内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量 y(单位： L )与时间 x(单位： min)之间的关系如图，则第8 min时容器内的水量为多少？
解：当时，设y关于x的函数关系式为y=kx+b，
∵点(4,20)，(12,30)在该函数的图象上，∴ 解得
即当时，y关于x的函数关系式为.
当x=8时，y=×8+15=25. 即第8min时容器内的水量为25L.
4.王阿姨从甲地开车前往乙地，到达乙地后立即返回，她与甲地的距离y(km)与所用时间x(h)的函数关系如图所示.
(1)写出y(km)与x(h)的函数表达式；
6
10
y
x
O
360
解：(1)当0≤x≤6时，设y=kx，把(6，360)代入，得6k=360，
解得 k=60，所以y=60x(0≤x≤6).
当6≤x≤10时，设y=kx+b，
把(6，360)，(10，0)代入，得
解得 k=-90，b=900. 所以y=-90x+900(6≤x≤10).
6k+b = 360，
10k + b = 0,
(2)王阿姨开车所用时间为多少时，她与甲地的距离为180km？
(2)当y=180时，由y=60x，得60x=180，
解得x=3.
6
10
y
x
O
360
答：王阿姨与甲地的距离为180km时，她开车所用时间为3h或8h.
由y=-90x+900，得-90x+900=180，
解得x=8.

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