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2026届上海市高考数学二轮复习专项练习-05平面解析几何、空间向量与立体几何 填空题基础通关训练
一、填空题
1．直线的倾斜角为______．
2．在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________.
3．已知双曲线的左、右焦点分别为．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长至B使得．若的面积为，则a的值为__________．
4．直线m过点且法向量，则直线m的点法向式方程为______.
5．已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________.
6．已知，集合，（其中为虚数单位），若，且满足，则实数的取值范围是__________．
7．已知点为抛物线上一点，若点到的焦点的距离是到轴的距离的两倍，则点的横坐标是____________.
8．正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长_______.（精确到）

9．已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，过的直线与C相交于点A，D，与y轴交于点B，，，则C的离心率为______．
10．在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________．
11．已知双曲线，双曲线上右支上有任意两点、，满足恒成立，则的取值范围是________
12．已知圆C的一般方程为，则圆C的半径为____________
13．三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______.
14．舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具，如图，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处的铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动.当点在滑槽内作往复移动时，带动点绕转动，点也随之而运动.记点的运动轨迹为，点的运动轨迹为.若，，过上的点向作切线，则切线长的最大值为___________.

15．已知方程组有无穷解，则的值为________
16．已知空间向量都是单位向量，且与的夹角为，若为空间任意一点，且，满足，则的最大值为__________．
17．在棱柱中，底面为平行四边形，，，，设异面直线与的夹角为，则________．
18．已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________．
19．已知四棱台的侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，，则四棱台的体积为______.
20．陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图1），它的形状可视为一个26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2）． 已知该多面体的各条棱长均为1，则其体积为__________．
21．已知圆锥的底面直径和母线长都是2，则该圆锥的侧面积为__________．（结果保留）
22．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .
23．空间向量的单位向量的坐标是__________．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《2026届上海市高考数学二轮复习专项练习-05平面解析几何、空间向量与立体几何 填空题基础通关训练》参考答案
1．
【分析】由直线方程求斜率，根据斜率与倾斜角关系求倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，，
将直线转化为斜截式，可知直线的斜率为，
所以，
所以，
所以直线的倾斜角为．
故答案为：.
2．/0.6
【分析】根据点到直线的距离公式求解即可.
【详解】根据点到直线的距离公式可得.
故答案为：.
3．
【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，结合双曲线的标准方程，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
由，则，解得，且，
则，，
设，则，解得，
由题意可得直线的斜率，则方程为，
将代入上式，则，解得，
由题意可得，
易知.
故答案为：.
4．
【分析】根据直线所过的点及法向量写出点法式方程即可.
【详解】由题设，直线m的点法向式方程为.
故答案为：
5．
【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可.
【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上，
所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点，
因此有，
且两个椭圆的半焦距为，
因此该圆的方程为，
又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上，
所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上，
由，代入椭圆中，
得，又，故，
故答案为：
6．
【分析】根据已知分析出中对应的轨迹圆，结合交集结果知两圆有交点，利用圆与圆的相交关系列不等式求参数范围.
【详解】由，，
所以的轨迹是以为顶点的平行四边形及其内部，
则的轨迹是以为顶点的平行四边形及其内部，如下图所示，

对于集合中，则，结合集合的描述知，
即的轨迹是以的轨迹上的每一点为圆心，半径为1的圆的并集，
对于集合中，即的轨迹是以原点为圆心，半径为a的圆，
由，即中对应的轨迹有交点，则能成立，
由上图知，，即，
所以，可得，即.
故答案为：
7．
【分析】设，根据条件，利用抛物线的定义得，即可求解.
【详解】因为抛物线的焦点为，准线方程为，设，
由题有，解得，
故答案为：.
8．
【分析】利用给定条件求解圆的半径，再求周长即可.
【详解】如图，以为原点建系，易知，连接，

不妨设中点为，直线中垂线所在直线方程为，
化简得，所以圆心为，半径为，且经过点
即，化简得，
解得，
结合题意可得，故圆的周长为.
故答案为：
9．/
【分析】设，根据条件求各边的长及，再在中用余弦定理求得与的关系，即可得解．
【详解】设，因为，所以，，
由对称性可得，又，所以，
所以，，
又，所以，，又，
所以由余弦定理，
所以，的离心率，
故答案为：．
10．
【分析】设，根据题意，求得所在圆的圆心和半径；再根据数量投影的意义，数形结合即可求得结果.
【详解】根据题意不妨设，，，，
则，
由可得，由可得；
设，故在以为圆心，为半径的圆上；
在以为圆心，1为半径的圆上；
过作于，则即为在上的数量投影，如下所示：
因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长，
设，即，故，
因为此时为定长，且，
故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示：
在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故；
在△中，，，
故，因为,
故在直角三角形中，，则，即；
在四边形中，因为，故，
当且仅当时等号成立，从而.
综上所述：在方向上的数量投影的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是熟悉数量投影的几何意义；二是对两个运动的点，采用一定一动的处理策略，从而求解最大值.
11．
【分析】设点，可得出，分析得出，即可解得的取值范围.
【详解】设点，则，则或为锐角，
如下图所示：
设点为双曲线的渐近线在第一象限内的一点，
设点为双曲线的渐近线在第四象限内的一点，
由题意可知，，则，解得.
故答案为：.
12．
【分析】先求得圆的标准方程，从而求得圆的半径.
【详解】圆即，
所以圆的半径为.
故答案为：
13．3
【分析】利用双曲线的定义求解即可.
【详解】由双曲线的定义，
则.
故答案为：3
14．
【分析】以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，分别求出曲线和的方程，进而可求得结果.
【详解】以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示.
因为，所以点的运动轨迹是以为圆心，半径为1的圆，其方程为.
设点的坐标为，由于，易得，
由可得，设，
则，解得，
所以点的运动轨迹是椭圆，其方程为.
设上的点，则，
则切线长为，即切线长的最大值为.
故答案为：.

15．4
【分析】依题意可得直线与直线重合，即可得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为方程组有无穷解，所以直线与直线重合，所以且，解得；
故答案为：
16．
【分析】以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面为轴建立空间直角坐标系，由坐标表示得，画出可行域利用线性规划求解即可.
【详解】因为，所以平面，
以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面为轴建立如图所示坐标系，
因为都是单位向量，与的夹角即为，
所以，，，
设点，且，
则，，，，
所以由得，
平方得，
由可得，
所以或，
由及可得即，
综上满足的可行域如图所示，
令，则，
由可行域可得在点取得最大值，在点取得最小值，
由解得，，
所以，，
所以的最大值为 ，
故答案为：
17．
【分析】将用不共面的向量表示出来，从而得到，然后由公式计算夹角余弦值即可.
【详解】
，
，
，
底面ABCD为平行四边形，所以，
所以，
.
所以，
故异面直线与的夹角的余弦值为:，
故答案为：
18．
【分析】过作交底面圆锥于点，则为异面直线与所成角，结合余弦定理与余弦函数的性质即可得的取值范围，从而得所求最值.
【详解】
如图，过作交底面圆锥于点，连接，
因为，则为异面直线与所成角，
所以，
又，所以，即，
因为，函数在上单调递减，所以，
故异面直线与所成角的最小值为.
故答案为：.
19．/
【分析】过作于，利用勾股定理求出，再利用棱台的体积公式求解即可.
【详解】过作于，则，
因为平面，所以平面，
在中，，
可得，
从而棱台的高，
所以四棱台的体积为：
故答案为：.
20．///
【分析】该多面体可以看作为正方体截取一部分构成，把复杂的几何体转化为简单几何体构成即可.
【详解】
如图，该多面体可以看做由一个棱长为的正方体截去8个如①三棱柱和8个如②四棱锥和12个如③三棱柱构成，
①为底面为以两直角边为的等腰直角三角形，高为的直三棱柱，其体积为：
②为底面为以棱长为和1的矩形，高为的四棱锥其体积为：
③为底面为以两直角边为的等腰直角三角形，高为的直三棱柱，其体积为：
所求多面体体积为：
故答案为：.
21．
【分析】由圆锥的底面直径得出圆锥的底面半径，再利用母线长和底面半径结合侧面积公式求解．
【详解】圆锥的底面直径，
圆锥的底面半径，
又母线长，
．
故答案为：．
22．
【详解】由面积为的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为.所以底面半径为1.即可得到圆锥的高为.所以该圆锥的体积为.
23．
【分析】单位向量只需根据即可求出.
【详解】，，.
故答案为：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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