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6.1.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1．甲盒中有3个不同的红球，乙盒中有5个不同的白球，某同学要在甲盒或乙盒中摸1个球，则不同的方法有(　　)
A．3种 B．5种
C．8种 D．15种
2．有3名同学打算参加“动漫乐园”“学生公司”“篮球之家”“相声社”4个社团．每名同学必须参加其中的一个社团，且只能参加一个社团，则不同的参加方法的种数为(　　)
A．64 B．81
C．24 D．72
3． 已知集合M＝｛－3，－2，－1，0，1，2，3，4｝，N＝｛－4，－3，－2，－1，1，2，3｝，从集合M中取一个元素作为点的横坐标，从集合N中取一个元素作为点的纵坐标，则该点在第二象限内的结果有(　　)
A．9种 B．12种
C．15种 D．16种
4．现有4只不同款式的钢笔和3本不同款式的笔记本，如果一只钢笔与一本笔记本配成一套学习工具包，则不同的配法种数为(　　)
A．7 B．12
C．64 D．81
5．(多选)已知集合A＝｛－1，2，3，4｝，m，n∈A，则对于方程＋＝1的说法正确的是(　　)
A．可表示3个不同的圆
B．可表示6个不同的椭圆
C．可表示3个不同的双曲线
D．表示焦点位于x轴上的椭圆有3个
6．(多选)现有四个班学生共34人，其中一、二、三、四班各有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组，则下列说法正确的是(　　)
A．选其中一人为负责人，有34种不同的选法
B．每班选一人任组长，有5 040种不同的选法
C．推选两人做中心发言，有506种不同的选法
D．推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有431种不同的选法
7．(多选)设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2，3，3，4条，只从一面上山，而从其他任意一面下山，不同的走法种数可能为(　ABC　)
A．20 B．27
C．32 D．30
8．如图，一只蚂蚁从A点出发，沿着图中的线段爬行，则A→O有____种不同的走法(不重复过一点)．
9．书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法种数为____，从第1，2，3层分别各取1本书，不同的取法种数为___．
10．某校高一年级有6个班，高二年级有7个班，高三年级有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有____种不同的选法；选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有____种不同的选法．
11．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．
(1) 从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2) 从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
12．在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋．现在从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
13．将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中．
(1) 求1号盒中无球的不同放法种数；
(2) 求1号盒中有球的不同放法种数．
14．若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)时各位数均不产生进位现象，则称n为“开心数”；若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)时产生进位现象，则称n为“伤心数”．例如：32是“开心数”，因为32＋33＋34不产生进位现象，而23是“伤心数”，因为23＋24＋25产生进位现象．那么，小于100的“伤心数”的个数为(　　)
A．9 B．88
C．24 D．12
6.1.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1．甲盒中有3个不同的红球，乙盒中有5个不同的白球，某同学要在甲盒或乙盒中摸1个球，则不同的方法有(　C　)
A．3种 B．5种
C．8种 D．15种
【解析】 分两类，在甲盒中摸球有3种方法，在乙盒中摸球有5种方法，则不同的方法有3＋5＝8(种)．
2．有3名同学打算参加“动漫乐园”“学生公司”“篮球之家”“相声社”4个社团．每名同学必须参加其中的一个社团，且只能参加一个社团，则不同的参加方法的种数为(　A　)
A．64 B．81
C．24 D．72
【解析】 因为每名同学都可以选择4个不同社团中的一个，即每名同学都有4种选择方案，所以不同的参加方法的种数为4×4×4＝64．
3． 已知集合M＝｛－3，－2，－1，0，1，2，3，4｝，N＝｛－4，－3，－2，－1，1，2，3｝，从集合M中取一个元素作为点的横坐标，从集合N中取一个元素作为点的纵坐标，则该点在第二象限内的结果有(　A　)
A．9种 B．12种
C．15种 D．16种
【解析】 确定点在第二象限，需要两步：确定该点的横坐标为负，有3种方法；确定该点的纵坐标为正，有3种方法，所以该点在第二象限内有3×3＝9(种)．
4．现有4只不同款式的钢笔和3本不同款式的笔记本，如果一只钢笔与一本笔记本配成一套学习工具包，则不同的配法种数为(　B　)
A．7 B．12
C．64 D．81
【解析】 要完成配套，分两步：第一步，选钢笔，从4只钢笔中任选一只，有4种不同的选法；第二步，选笔记本，从3本笔记本中任选一本，有3种不同的选法．故共有4×3＝12种不同的配法．
5．(多选)已知集合A＝｛－1，2，3，4｝，m，n∈A，则对于方程＋＝1的说法正确的是(　ABD　)
A．可表示3个不同的圆
B．可表示6个不同的椭圆
C．可表示3个不同的双曲线
D．表示焦点位于x轴上的椭圆有3个
【解析】 当m＝n＞0时，方程＋＝1表示圆，故有3个，故A正确；当m≠n且m＞0，n＞0时，方程＋＝1表示椭圆，焦点在x，y轴上的椭圆分别有3个，故有3×2＝6个，故B正确，D正确；当mn＜0时，方程＋＝1表示双曲线，故有3×1＋1×3＝6个，故C错误．
6．(多选)现有四个班学生共34人，其中一、二、三、四班各有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组，则下列说法正确的是(　ABD　)
A．选其中一人为负责人，有34种不同的选法
B．每班选一人任组长，有5 040种不同的选法
C．推选两人做中心发言，有506种不同的选法
D．推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有431种不同的选法
【解析】 对于A，分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以共有N＝7＋8＋9＋10＝34种不同的选法．对于B，分四步，第一、二、三、四步分别是从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有N＝7×8×9×10＝5 040种不同的选法．对于D，分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法，所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431种．对于C，从34人中任选2人，有561种不同选法．
7．(多选)设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2，3，3，4条，只从一面上山，而从其他任意一面下山，不同的走法种数可能为(　ABC　)
A．20 B．27
C．32 D．30
【解析】 东面上山的种数为2×(3＋3＋4)＝20，西面上山的种数为3×(2＋3＋4)＝27，南面上山的种数为3×(2＋3＋4)＝27，北面上山的种数为4×(2＋3＋3)＝32，故只从一面上山，而从其他任意一面下山的走法种数可能为20，27，32．
8．如图，一只蚂蚁从A点出发，沿着图中的线段爬行，则A→O有__5__种不同的走法(不重复过一点)．
【解析】 分三类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O共2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O共2种不同的走法．由分类加法计数原理可得，共有1＋2＋2＝5种不同的走法．
9．书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法种数为__15__，从第1，2，3层分别各取1本书，不同的取法种数为__120__．
【解析】 由分类加法计数原理知，从书架上任取1本书，不同的取法种数为4＋5＋6＝15．由分步乘法计数原理知，从1，2，3层分别各取1本书，不同的取法种数为4×5×6＝120．
10．某校高一年级有6个班，高二年级有7个班，高三年级有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有__336__种不同的选法；选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有__146__种不同的选法．
【解析】 三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，分三步：第一步，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第二步，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；第三步，从高三年级选1个班，有8种不同的选法，由分步乘法计数原理知，共有6×7×8＝336种不同的选法．选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，分三类，每类又分两步：第一类，从高一、高二两个年级中各选1个班，有6×7＝42种不同的选法；第二类，从高一、高三两个年级中各选1个班，有6×8＝48种不同的选法；第三类，从高二、高三两个年级中各选1个班，有7×8＝56种不同的选法，由分类加法计数原理知，共有42＋48＋56＝146种不同的选法．
11．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．
(1) 从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2) 从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
【解答】 从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
(1) 由分类加法计数原理知，任选1人去献血，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．
(2) 要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以由分步乘法计数原理知，共有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．
12．在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋．现在从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
【解答】 从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；
从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；
从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×2＝4种选法；
2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法．
所以共有6＋6＋4＋2＝18种不同的选法．
13．将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中．
(1) 求1号盒中无球的不同放法种数；
(2) 求1号盒中有球的不同放法种数．
【解答】 (1) 1号盒中无球即A，B，C三球只能放入2，3，4号盒子中，有33＝27种放法．
(2) 1号盒中有球可分三类：第一类是1号盒中有一个球，共有3×32＝27种放法；第二类是1号盒中有两个球，共有3×3＝9种放法；第三类是1号盒中有三个球，有1种放法．共有27＋9＋1＝37种放法．
14．若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)时各位数均不产生进位现象，则称n为“开心数”；若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)时产生进位现象，则称n为“伤心数”．例如：32是“开心数”，因为32＋33＋34不产生进位现象，而23是“伤心数”，因为23＋24＋25产生进位现象．那么，小于100的“伤心数”的个数为(　B　)
A．9 B．88
C．24 D．12
【解答】 根据题意，不产生进位的个位数的三个数有0，1，2；1，2，3；2，3，4，共3组，则符合条件的还有10，11，12；11，12，13；12，13，14；20，21，22；21，22，23；22，23，24；30，31，32；31，32，33；32，33，34，共9组，所以不产生进位的三个数共12组．则小于100的所有的“开心数”有0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，共12个，剩余为“伤心数”，所以“伤心数”的个数为100－12＝88．

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