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6.2.3　组合与组合数
1．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有(　　)
A．种 B．种
C．种 D．30种
2．由1，2，3，4构成的集合，其中含有3个元素的子集的个数是(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
3．从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参加数学建模比赛，则不同的选法种数是(　　)
A．12 B．18
C．35 D．36
4．现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有2个黑球的取法种数是(　　)
A．90 B．115
C．210 D．385
5．(多选)下列问题属于组合问题的是(　　)
A．从4名志愿者中选出2人参加志愿服务工作
B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C．从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式
D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员
6．(多选)学校要从甲、乙、丙、丁、戊5人中选出3人参加市级培训，下列说法正确的是(　　)
A．任意选3人，共有10种不同选法
B．甲必须参加，共有6种不同选法
C．甲不能参加，共有6种不同选法
D．甲、乙都参加，共有2种不同选法
7．(多选)下列等式中正确的有(　　)
A．＝ B．2 000！·＝2 024
C．＝ D．＋m＝
8．计算：＋＝____．
9．从6名同学中选出4名参加一个座谈会，要求小张、小王2名同学中至多有1名参加，则不同选法有____种．
10．一个口袋内有3个不同的红球、4个不同的白球，从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有____种．
11．(1) 计算：(＋)÷；
(2) 已知－＝，求．
12．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1) 现要从中选出2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2) 现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
13．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．第一阶段小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；第二阶段半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；第三阶段决赛：两个胜队参加决赛，决出胜负．问：全部赛程共需比赛多少场？
6.2.3　组合与组合数
1．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有(　B　)
A．种 B．种
C．种 D．30种
2．由1，2，3，4构成的集合，其中含有3个元素的子集的个数是(　B　)
A．5 B．4
C．3 D．2
3．从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参加数学建模比赛，则不同的选法种数是(　B　)
A．12 B．18
C．35 D．36
4．现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有2个黑球的取法种数是(　B　)
A．90 B．115
C．210 D．385
【解析】 依题意，根据取法可分为三类：2个黑球，有＝90(种)；3个黑球，有＝24(种)；4个黑球，有＝1(种)．根据分类加法计数原理可得，至少有2个黑球的取法种数是90＋24＋1＝115．
5．(多选)下列问题属于组合问题的是(　AC　)
A．从4名志愿者中选出2人参加志愿服务工作
B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C．从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式
D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员
6．(多选)学校要从甲、乙、丙、丁、戊5人中选出3人参加市级培训，下列说法正确的是(　AB　)
A．任意选3人，共有10种不同选法
B．甲必须参加，共有6种不同选法
C．甲不能参加，共有6种不同选法
D．甲、乙都参加，共有2种不同选法
【解析】 对于A，从5人中任取3人是组合问题，根据枚举法，共有甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊，共10种不同选法，故A正确．对于B，甲必须参加，则只需要从另外4人中选2人，是组合问题，共有乙丙，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊，丁戊，共6种不同选法，故B正确．对于C，甲不能参加，则只需从另外的4人中选3人，是组合问题，共有乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊，共4种不同选法，故C错误．对于D，甲、乙都参加，则只需要从另外3人中选2人，是组合问题，共有丙丁，丙戊，丁戊，3种不同选法，故D错误．
7．(多选)下列等式中正确的有(　ABD　)
A．＝ B．2 000！·＝2 024
C．＝ D．＋m＝
【解析】 对于A，＝，＝＝，所以＝，故A正确；对于B，2 000！·＝＝＝2 024，故B正确；对于C，左边＝，右边＝＝，左边≠右边，故C错误；对于D，左边＋m＝＋＝＋＝＝，右边＝，左边＝右边，故D正确．
8．计算：＋＝__31__．
【解析】 由题意知解得≤n≤．又n∈Z，所以n＝6，所以＋＝＋＝＋＝31．
9．从6名同学中选出4名参加一个座谈会，要求小张、小王2名同学中至多有1名参加，则不同选法有__9__种．
【解析】 由题知小张、小王2名同学中没有人参加或有1人参加．第一类，2人都不参加，则需其余4人都参加，有1种方选法．第二类，2人中有1人参加，则需其余4人中选3人参加，将4人记为A，B，C，D，则有ABC，ABD，ACD，BCD，则共有2×4＝8种选法．根据分类加法计数原理知，不同的选法种数为1＋8＝9．
10．一个口袋内有3个不同的红球、4个不同的白球，从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有__13__种．
【解析】 从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法：红球3个，红球2个和白球1个．当取红球3个时，取法有1种；当取红球2个和白球1个时，取法有3×4＝12种．根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有1＋12＝13种．
11．(1) 计算：(＋)÷；
(2) 已知－＝，求．
【解答】 (1) 原式＝(＋)÷＝÷＝÷＝＝．
(2) 由－＝得－＝，所以1－＝，即n2－23n＋42＝0，解得n＝2或n＝21．又0≤n≤5，所以n＝2，所以＝＝28．
12．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1) 现要从中选出2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2) 现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
【解答】 (1) 从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即＝＝45．
(2) 从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选法有种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法＝＝90(种)．
13．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．第一阶段小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；第二阶段半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；第三阶段决赛：两个胜队参加决赛，决出胜负．问：全部赛程共需比赛多少场？
【解答】 ①小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2＝30(场)．②半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，所以半决赛共要比赛2×2＝4(场)．③决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．

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