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6.2.4　组合数的性质及应用
1．若－＝，则n等于(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
2．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须都在内，那么不同选法共有(　　)
A．26种 B．84种
C．35种 D．21种
3．某校为了解学生参加体育运动的情况，用分层随机抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部共抽取60名学生．已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　)
A．种 B．种
C．种 D．种
4．从7名同学(其中4男3女)中选出4名参加环保知识竞赛，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同选法的种数为(　　)
A．25 B．28
C．31 D．34
5．(多选)男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生的人数可能是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
6．(多选)已知n，m∈N*，n≥m，下面等式不恒成立的有(　　)
A．＝ B．＝
C．＋＝ D．＋＝
7．(多选)某班有50名学生，其中正、副班长各1人，现选派5人参加一项活动，要求正、副班长至少有1人参加．下面计算选派方法数正确的有(　　)
A．＋ B．－
C． D．－
8．计算：＋＋＋＋＝____．
9．某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员(5男3女)，并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有____种．
10． 如图是由5个正方形拼成的图案，从图中小正方形的11个顶点中任取3个顶点为一组，可以构成的三角形个数为____．
11．在一次数学竞赛中，某校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，各有多少种不同的选法？
(1) 任意选5人；
(2) 甲、乙、丙3人必须参加；
(3) 甲、乙、丙3人不能参加；
(4) 甲、乙、丙3人只能有1人参加．
12．现有5本书和3名同学，将书全部分给这3名同学．
(1) 若5本书完全相同，每名同学至少有一本书，共有多少种分法？
(2) 若5本书都不相同，共有多少种分法？
(3) 若5本书都不相同，每名同学至少有一本书，共有多少种分法？
13． 由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架，一只蚂蚁从点P出发，沿木棍爬行到点Q的最短路径有(　　)
A．15种 B．30种
C．48种 D．60种
14．埃及金字塔是人类历史上一个奇迹，它的神奇远远超过了人类的想象．在埃及金字塔内发现一组神秘的数字142 857，因为 142 857×2＝285 714，142 857×3＝428 571，142 857×4＝571 428，…，所以这组数字又叫“走马灯数”．该组数字还有如下发现： 142＋857＝999，285＋714＝999，428＋571＝999，…，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x， 剩下的三个数字构成另一个三位数y，x＋y＝999，将所有可能的三位数x按从小到大的顺序依次排列，则第12个三位数x为(　　)
A．214 B．215
C．248 D．284
6.2.4　组合数的性质及应用
1．若－＝，则n等于(　C　)
A．12 B．13
C．14 D．15
【解析】 ＝＋＝，所以n＋1＝7＋8，所以n＝14．
2．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须都在内，那么不同选法共有(　C　)
A．26种 B．84种
C．35种 D．21种
【解析】 从7名队员中选出3人有＝＝35种选法．
3．某校为了解学生参加体育运动的情况，用分层随机抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部共抽取60名学生．已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　D　)
A．种 B．种
C．种 D．种
【解析】 根据分层随机抽样的定义知初中部共抽取60×＝40人，高中部共抽取60×＝20人，根据组合公式和分步计数原理，则不同的抽样结果共有种．
4．从7名同学(其中4男3女)中选出4名参加环保知识竞赛，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同选法的种数为(　D　)
A．25 B．28
C．31 D．34
【解析】 从7名同学选出4名同学共有＝35种情况，其中选出的4人都是男生时，有1种情况，故即有男生又有女生的选法种数为35－1＝34．
5．(多选)男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生的人数可能是(　BC　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 设女生有n人，则男生有(8－n)人，由题意得＝30，即·n＝30，将选项中的值分别代入验证，得n＝2和n＝3满足方程，n＝1和n＝4不满足方程．
6．(多选)已知n，m∈N*，n≥m，下面等式不恒成立的有(　ACD　)
A．＝ B．＝
C．＋＝ D．＋＝
【解析】 由组合数的定义可知＝，A错误；由排列数的定义可知＝，B正确；由组合数的性质可知＋＝，则C、D均错误．
7．(多选)某班有50名学生，其中正、副班长各1人，现选派5人参加一项活动，要求正、副班长至少有1人参加．下面计算选派方法数正确的有(　ABD　)
A．＋ B．－
C． D．－
【解析】 对于A，正、副班长有1人参加的方法数有种；正、副班长有2人参加的方法数有种，故总的方法数有＋种，故A正确．对于B，50人抽取5人，总的方法数为，其中没有正、副班长的方法数为，所以所求方法数有－种，故B正确．对于C和D，正、副班长中任抽取一个，然后在剩余49人中抽取4个，方法数有种，减去重复的包括正、副班长的情况种，所以方法数有－种，故D正确，C不正确．
8．计算：＋＋＋＋＝__35__．
【解析】 ＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝＝＝35．
9．某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员(5男3女)，并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有__180__种．
【解析】 分两类：第一类，一组3人，另一组5人，有(－1)·＝110种分配方案；第二类，两组均为4人，有＝70种分配方案，所以共有N＝110＋70＝180种不同的分配方案．
10． 如图是由5个正方形拼成的图案，从图中小正方形的11个顶点中任取3个顶点为一组，可以构成的三角形个数为__150__．
【解析】 从11个顶点中任取3个，有＝165种取法，而其中不能组成三角形即取出的三点共线的情况有：三点都在三条水平边上，有＋2＝9种；三点都在三条竖直边上，有3种；三点在正方形的对角线方向上，有3种，则不能组成三角形即取出的三点共线的情况有9＋3＋3＝15种．所以可以构成三角形的个数为165－15＝150．
11．在一次数学竞赛中，某校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，各有多少种不同的选法？
(1) 任意选5人；
(2) 甲、乙、丙3人必须参加；
(3) 甲、乙、丙3人不能参加；
(4) 甲、乙、丙3人只能有1人参加．
【解答】 (1) 从中任取5人是组合问题，共有＝792种不同的选法．
(2) 甲、乙、丙3人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有＝36种不同的选法．
(3) 甲、乙、丙3人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有＝126种不同的选法．
(4) 甲、乙、丙3人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有＝3种选法；再从另外9人中选4人，有种选法，故共有＝378种不同的选法．
12．现有5本书和3名同学，将书全部分给这3名同学．
(1) 若5本书完全相同，每名同学至少有一本书，共有多少种分法？
(2) 若5本书都不相同，共有多少种分法？
(3) 若5本书都不相同，每名同学至少有一本书，共有多少种分法？
【解答】 (1) 若5本书完全相同，将5本书排成一排，中间有4个空位，在4个空位中任选2个插入挡板，有＝6种情况，即有6种不同的分法．
(2) 若5本书都不相同，每本书可以分给3人中任意1人，都有3种分法，则5本不同的书有35＝243种分法．
(3) 分两步进行分析：
①将5本书分成三组，若分成1、1、3的三组，有＝10种分组方法；若分成1、2、2的三组，有＝15种分组方法，共有10＋15＝25种分组方法．
②将分好的三组全排列，对应3名学生，有＝6种情况，则有25×6＝150种分法．
13． 由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架，一只蚂蚁从点P出发，沿木棍爬行到点Q的最短路径有(　D　)
A．15种 B．30种
C．48种 D．60种
【解析】 根据题意，一只蚂蚁从点P出发，沿木棍爬行到点Q，要使得爬行的距离最短，则需要向右爬3格，向前爬2格，向上爬1格，共计6步，则爬行的路径共有＝60种不同的路径．
14．埃及金字塔是人类历史上一个奇迹，它的神奇远远超过了人类的想象．在埃及金字塔内发现一组神秘的数字142 857，因为 142 857×2＝285 714，142 857×3＝428 571，142 857×4＝571 428，…，所以这组数字又叫“走马灯数”．该组数字还有如下发现： 142＋857＝999，285＋714＝999，428＋571＝999，…，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x， 剩下的三个数字构成另一个三位数y，x＋y＝999，将所有可能的三位数x按从小到大的顺序依次排列，则第12个三位数x为(　C　)
A．214 B．215
C．248 D．284
【解析】 因为1，4，7，2，8，5这六个数中，1＋8＝9，2＋7＝9，4＋5＝9，共3组，要使六个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x，剩下的三个数字构成另一个三位数 y，且x＋y＝999，所以 x 从小到大排列为：124，125，142，147，152，157，174，175，214，215，241，248，…，故第12个三位数x为248．
15． 十进制计数法与二进制计数法有如下转换规律：若十进制计数法下的n(n∈N*)满足：n＝a0×2k＋a1×2k－1＋a2×2k－2＋…＋ak×20，a0＝1，ai∈｛0，1｝，i＝1，2，3，…，k，则其在二进制计数法下可记为(k∈N)．例如：1在二进制中表示为(1)2，2表示为(10)2，3表示为(11)2，4表示为(100)2，7表示为(111)2．记f(n)为a1，a2，…，ak中0的个数，如f(2)＝1，f(4)＝2，f(7)＝0，则从1到255这些自然数的二进制表示中，f(n)＝2的个数为__56__．
【解析】 20≤n≤255＜28＝(100 000 000)2，要使f(n)＝2，则n是2~7位二进制数，又恰好有两个0，所以有＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＝＝＝56个满足题意的n的值．

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