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北师大版（2024）八年级下册 第六章 平行四边形 单元测试
一、选择题
1.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F，G分别是AD，AE的中点，且FG=2 cm,则BC的长度是（　　）
A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
2.如图，平行四边形ABCD的顶点C在直线MN上．若∠1=50°，∠2=20°，则∠A的度数为（　　）
A.80° B.110° C.130° D.150°
3.如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是（　　）
A.∠B+∠C=180° B.AB=CD C.∠A=∠B D.AD=BC
4.如图，已知直线a∥b，点A，B，C在直线a上，点D，E，F在直线b上，AB＝EF＝2，若△CEF的面积为5，则△ABD的面积为(　　)
A.2 B.4 C.5 D.10
5.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥AB，垂足为点A，若AB＝4，AC＝6，则BD的长为(　　)
A.5 B.8 C.10 D.12
6.如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G等于（　　）
A.36° B.54° C.60° D.72°
7.苏州博物馆本馆是国内唯一一座由世界著名建筑大师贝聿铭亲自设计的博物馆，几何形构造的屋顶颇具特色，粉墙黛瓦的传统元素随处可见，现代主义建筑与苏州园林的有机结合，如同姑苏城里一幅旖旎烟雨交织而成的水墨画．图①中的屋顶设计是在传统飞檐翘角基础上演变而来，呈现出强烈的几何感和抽象性，图②中∠1=∠4=116°，∠2=∠3=90°，则下列判断中正确的是（　　）
A.∠5=42° B.∠5=52° C.∠5=62° D.∠5的度数无法确定
8.已知直线m∥n，点A在m上，点B，C，D在n上，且AB＝4 cm，AC＝5 cm，AD＝6 cm，则m与n之间的距离(　　)
A.等于5 cm B.等于6 cm C.等于4 cm D.小于或等于4 cm
9.如图，在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=90°，OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，则∠BOC等于（　　）
A.105° B.115° C.125° D.135°
10.如图，在 ABCD中，E为CD边上一点，且BE=BC，∠C=55°，∠EBD=25°，∠AEB的度数为（　　）
A.90° B.95° C.100° D.105°
11.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，DE垂直平分AC，交AC于点O，交AB于点E．若BE＝3，CD＝5，则AC的长为（　　）
A.5 B.8 C.4 D.4
12.如图， ABCD中，AB=22 cm,BC=8 cm,∠A=45°，动点E从A出发，以2 cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1 cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10 cm时点E的运动时间是（　　）
A.6 s B.6 s或10 s C.8 s D.8 s或12 s
二、填空题
13.如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为 .
14. ABCD的周长为40 cm，对角线AC,BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多4 cm，则AB＝________ cm，BC＝________ cm.
15.如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，∠1=72°，∠2=26°，则∠A= .
16.在等腰△ABC中，AC为腰，O为BC中点，OD∥AC交AB于点D，∠C=30°，则∠ADO的度数是 .
17.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，，CD＝3，那么∠C＝　 　 ．
三、解答题
18.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
19.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，点F为对角线BD上一点，且FB=2DF，连接DE，EF，EC，求S△DEF∶S△CED的值.
20.已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F.
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)如图，若∠1＝65°，求∠B的大小．
21.如图，已知点A，B，C，D在一条直线上，BF，CE相交于点O，AE＝DF，∠E＝∠F，OB＝OC.
(1)求证：△ACE≌△DBF；
(2)如果把△DBF沿AD翻折使点F落在点G处，连接BE和CG. 求证：四边形BGCE是平行四边形．
22.如图，在 ABCD中，AD=BD，∠ADC=105°，点E在AD上，∠EBA=60°.求的值.
北师大版（2024）八年级下册 第六章 平行四边形 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F，G分别是AD，AE的中点，且FG=2 cm,则BC的长度是（　　）
A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
【答案】C
【解析】如图，∵在△ADE中，F，G分别是AD，AE的中点，
∴DE=2FG=4 cm,
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=8 cm.
故选：C．
2.如图，平行四边形ABCD的顶点C在直线MN上．若∠1=50°，∠2=20°，则∠A的度数为（　　）
A.80° B.110° C.130° D.150°
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠BCD，
∵∠1=50°，∠2=20°，
∴∠BCD=180°-50°-20°=110°，
∴∠A=110°，
故选：B．
3.如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是（　　）
A.∠B+∠C=180° B.AB=CD C.∠A=∠B D.AD=BC
【答案】B
【解析】∵∠A+∠D=180°，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故选：B．
4.如图，已知直线a∥b，点A，B，C在直线a上，点D，E，F在直线b上，AB＝EF＝2，若△CEF的面积为5，则△ABD的面积为(　　)
A.2 B.4 C.5 D.10
【答案】C
【解析】∵直线a∥b，点A，B，C在直线a上，点D，E，F在直线b上，
∴点D到直线a的距离与点C到直线b的距离相等．
又∵AB＝EF＝2，
∴△CEF与△ABD是等底等高的两个三角形，
∴S△ABD＝S△CEF＝5.
故选C.
5.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥AB，垂足为点A，若AB＝4，AC＝6，则BD的长为(　　)
A.5 B.8 C.10 D.12
【答案】C
【解析】∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝CO＝AC＝3，
∵AB⊥AC，AB＝4，
∴BO＝＝5，
∴BD＝2BO＝10，
故选C.
6.如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G等于（　　）
A.36° B.54° C.60° D.72°
【答案】B
【解析】如图，
由正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，可得∠DPG=90°，
∴∠G+∠EDG=90°，
∵∠EDF==72°，DG平分正五边形的外角∠EDF，
∴∠EDG=∠EDF=36°，
∴∠G=90°-∠EDG=54°．
故选：B．
7.苏州博物馆本馆是国内唯一一座由世界著名建筑大师贝聿铭亲自设计的博物馆，几何形构造的屋顶颇具特色，粉墙黛瓦的传统元素随处可见，现代主义建筑与苏州园林的有机结合，如同姑苏城里一幅旖旎烟雨交织而成的水墨画．图①中的屋顶设计是在传统飞檐翘角基础上演变而来，呈现出强烈的几何感和抽象性，图②中∠1=∠4=116°，∠2=∠3=90°，则下列判断中正确的是（　　）
A.∠5=42° B.∠5=52° C.∠5=62° D.∠5的度数无法确定
【答案】B
【解析】由题意得五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，
∵∠1=∠4=116°，∠2=∠3=90°，
∴∠5=180°-（540°-116°-116°-90°-90°）=180°-128°=52°.
故选：B．
8.已知直线m∥n，点A在m上，点B，C，D在n上，且AB＝4 cm，AC＝5 cm，AD＝6 cm，则m与n之间的距离(　　)
A.等于5 cm B.等于6 cm C.等于4 cm D.小于或等于4 cm
【答案】D
【解析】∵直线m∥n，点A在m上，点B，C，D在n上，
且AB＝4 cm，AC＝5 cm，AD＝6 cm，
∴AB＜AC＜AD，
∴m与n之间的距离小于或等于4 cm.
故选D.
9.如图，在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=90°，OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，则∠BOC等于（　　）
A.105° B.115° C.125° D.135°
【答案】B
【解析】∵在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=90°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-90°-140°=130°，
∵OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD，
∴∠OBC+∠OCB=65°，
∴∠BOC=180°-65°=115°.
故选：B．
10.如图，在 ABCD中，E为CD边上一点，且BE=BC，∠C=55°，∠EBD=25°，∠AEB的度数为（　　）
A.90° B.95° C.100° D.105°
【答案】B
【解析】∵BE=BC，
∴∠BEC=∠C=55°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠C=55°，AB∥CD，AD=BC，
∴∠EBA=∠BEC=55°，BE=AD，
∴∠EBA=∠DAB，
在△EBA和△DAB中，
BE=AD，∠EBA=∠DAB，AB=BA，
∴△EBA≌△DAB（SAS），
∵∠EBD=25°，
∴∠ABD=∠EBA-∠EBD=55°-25°=30°，
∴∠BDA=180°-∠DAB-∠ABD=180°-55°-30°=95°，
∴∠AEB=∠BDA=95°，
故选：B．
11.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，DE垂直平分AC，交AC于点O，交AB于点E．若BE＝3，CD＝5，则AC的长为（　　）
A.5 B.8 C.4 D.4
【答案】D
【解析】
解：如图，连接CE，
∵DC∥AB，
∴∠ACD=∠EAC
∵DE垂直平分AC，
∴CO＝AO，∠DOE＝∠AOE=90°，
∴△COD≌△AOE（ASA）
∴AE＝DC＝5，
∴CE＝AE＝5，
∴BC4，
∴AC5，
故选：D．
12.如图， ABCD中，AB=22 cm,BC=8 cm,∠A=45°，动点E从A出发，以2 cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1 cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10 cm时点E的运动时间是（　　）
A.6 s B.6 s或10 s C.8 s D.8 s或12 s
【答案】C
【解析】在 ABCD中，CD=AB=22 cm,AD=BC=8 cm,
如图，当点F在点E右侧时，过点D作DG⊥AB于点G，
∵∠A=45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴AG=DG=AD=8，
过点F作FH⊥AB于点H，
得矩形DGHF，
∴FH = DG =8 cm,DF=GH，
∵EF=10 cm,
∴EH==6 cm,
由题意可知AE=2t cm,CF=t cm,
∴GE=AE=AG=（2t-8）cm,DF=CD-CF=（22-t）cm,
∴GH=GE+EH=（2t-8）+6=（2t-2）cm,
∴2t-2=22-t,
解得t=8；
当点F在点E左侧时，
由题意可知AE=2t cm,CF=t cm,
∴GE=AE-AG=（2t-8）cm,DF=CD-CF=（22-t）cm,
∴GH=GE-EH=（2t-8）-6=（2t-14）cm,
∴2t-14=22-t,
解得t=12，
∵点E到达点B时，两点同时停止运动，
∴2t≤22，解得t≤11．
∴t=12不符合题意，舍去，
∴EF的长为10 cm时点E的运动时间是8 s,
故选：C．
二、填空题
13.如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为 .
【答案】30°
【解析】正六边形的一个内角的度数为=120°，正方形的一个内角的度数为90°，
由图可知∠1=120°-90°=30°.
故答案为：30°．
14. ABCD的周长为40 cm，对角线AC,BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多4 cm，则AB＝________ cm，BC＝________ cm.
【答案】12；8
【解析】∵平行四边形的周长为40 cm，
∴BC＋AB＝20 (cm)；
又∵△AOB的周长比△BOC的周长多4 cm，
∴AB－BC＝4 cm，
则AB＝12cm，BC＝8 cm.
15.如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，∠1=72°，∠2=26°，则∠A= .
【答案】23°
【解析】如图，延长BD，E相交于点A，
∵∠1=72°，∠2=26°，
根据翻折的性质，∠3=（180°-∠1）=×（180°-72°）=54°，
∠4=（180°-∠2）=×（180°-26°）=77°，
在△ADE中，∠A=∠DEC-∠ADE=∠4-∠3=77°-54°=23°．
故答案为：23°．
16.在等腰△ABC中，AC为腰，O为BC中点，OD∥AC交AB于点D，∠C=30°，则∠ADO的度数是 .
【答案】60°或105°
【解析】如图，当AB=AC时，
∵O为BC的中点，
∴AO⊥BC，
∵OD∥AC，∠C=30°，
∴∠DOB=∠C=∠B =30°，
∴∠ADO=∠B+∠DOB=60°；
如图，当AC=BC时，
∵O是BC的中点，OD∥AC，
∴D为AB的中点，∠DOB=∠C=30°，
∵∠B=∠CAB=×（180°-∠C）=×（180°-30°）=75°，
∴∠ADO=∠B+∠DOB=75°+30°=105°.
17.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，，CD＝3，那么∠C＝　 　 ．
【答案】
60°或120°．
【解析】
解：当∠C为锐角时，如图，过D作DF⊥BC，垂足为F，
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴DF＝AB，
∵CD＝3，
∴CF，
∴CD＝2CF，
∴∠CDF＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°；
当∠C为钝角时，如图，过C作CF⊥AD，垂足为F，
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴四边形ABCF是长方形，
∴CF＝AB，∠BCF＝90°，
∵CD＝3，
∴DF，
∴∠DCF＝30°，
∴∠BCD＝90°+30°＝120°．
综上，∠BCD＝60°或120°，
故答案为：60°或120°．
三、解答题
18.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，∴BE＝CD.
(2)解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝4，
∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝2，
∴BF＝＝＝2，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，
在△ADF和△ECF中，∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，AF＝EF，
∴△ADF≌△ECF(AAS)，
∴△ADF的面积＝△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝AE·BF＝×4×2＝4.
19.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，点F为对角线BD上一点，且FB=2DF，连接DE，EF，EC，求S△DEF∶S△CED的值.
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且△ADB ≌△CBD，
∴S△ABD=S△CBD=S平行四边形ABCD，
∵点E为AB边中点，
∴S△ADE=S△BDE=S平行四边形ABCD，
∵FB=2DF，
∴S△DEF=S△BDE=S平行四边形ABCD，
∵AB∥CD，
∴S△CDE=S△DBC=S平行四边形ABCD，
∴S△DEF∶S△CDE=S平行四边形ABCD∶S平行四边形ABCD=1∶6．
20.已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F.
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)如图，若∠1＝65°，求∠B的大小．
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠1＝∠BCE，∵AF∥CE，
∴∠BCE＝∠AFB，
∴∠1＝∠AFB，
在△ABF和△CDE中，∠B＝∠D，∠AFB＝∠1，AB＝CD，
∴△ABF≌△CDE(AAS).
(2)解：∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE＝∠1＝65°，
∴∠B＝∠D＝180°－2×65°＝50°.
21.如图，已知点A，B，C，D在一条直线上，BF，CE相交于点O，AE＝DF，∠E＝∠F，OB＝OC.
(1)求证：△ACE≌△DBF；
(2)如果把△DBF沿AD翻折使点F落在点G处，连接BE和CG. 求证：四边形BGCE是平行四边形．
【答案】证明：(1)∵OB＝OC，
∴∠ACE＝∠DBF，
在△ACE和△DBF中，
∠ACE＝∠DBF，∠E＝∠F，AE＝FD，
∴△ACE≌△DBF(AAS).
(2)如图所示，
∵∠ACE＝∠DBF，∠DBG＝∠DBF，
∴∠ACE＝∠DBG，
∴CE∥BG，
∵CE＝BF，BG＝BF，
∴CE＝BG，
∴四边形BGCE是平行四边形．
22.如图，在 ABCD中，AD=BD，∠ADC=105°，点E在AD上，∠EBA=60°.求的值.
【答案】解：如图，过点B作BH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=105°，
∴∠DAB=180°-105°=75°，
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠DAB=75°，
∴∠ADB=30°，
∵BH⊥AD，
∴BD=2BH，DH=BH，
∵∠EBA=60°，∠DAB=75°，
∴∠AEB=45°，
∴∠AEB=∠EBH=45°，
∴EH=BH，
∴DE=BH-BH=（-1）BH，
∵AB=＝＝()BH＝CD，
∴，
∴＝.

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