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北师大版（2024）八年级下册 第六章 平行四边形 单元测试
一、单选题
1．如图，已知，若四边形ABCD为平行四边形，则的度数为( )
A. B. C. D.
2．如图，在中，点D，E分别是AB，AC的中点，若，，则DE的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3．如图，在四边形ABCD中，，要使四边形ABCD成为平行四边形，可以添加的条件是( )
A. B. C. D.
4．如图，在中，，的平分线交AD于点E，连接CE.若，则的度数为( )
A. B. C. D.
5．如图，在中，，对角线AC与BD相交于点O.若，则的周长为( )
A.20 B.21 C.22 D.23
6．如图，在平行四边形ABCD中，，分别是BD，CD的中点，连接EF，则( )
A.2 B.3 C.8 D.无法确定
7．如图，P是内一点，且，，则阴影部分的面积为( )
A.4 B.4.5 C.5 D.无法计算
8．如图，点P是的对角线上一点，连接，，设的面积为，的面积为，则与的大小关系( )
A. B. C. D.无法确定
9．如图，的对角线AC，BD相交于点O，EF，GH过点O，且点E，H在边AB上，点G，F在边CD上，则阴影部分的面积与的面积的比值是( )
A. B. C. D.
10．如图，在中，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且，若，，则AC的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，过点O作交AD于点E.若，，，则AC的长为( )
A. B.6 C.8 D.
12．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，，于点E，于点F，DE，BF相交于点H，延长BF交AD的延长线于点G，下列结论：①；
②；
③；
④；
⑤中，正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
13．如图，a，b是两条平行线，则甲、乙两个平行四边形的面积关系是_____________.（填“<”“>”或“=”）
14．如图，在中，，，，D、E分别是、的中点，连接，则的长为_____________.
15．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，M为边的中点.若，则的长为_____________.
16．如图，在平行四边形中，点M为边上任意一点，点E，点F分别是，的中点，若，则的长为_____________.
17．如图，在中，，，.动点M，N分别在边AB，AD上，且，以MN为边作等边，使点P始终在的内部或边上.当的面积最大时，DN的长为_____________.
三、解答题
18．如图，的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线AC所在的直线上，且，连接DE，BE，BF，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形.
19．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是CA，AC延长线上的点，且，.
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形ABCD为平行四边形，你添加的条件是______________________；
（2）添加了条件后，证明四边形ABCD为平行四边形.
20．如图，在中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.
（1）求证：；
（2）连接DE，若，求证：.
21．如图，在中，AE平分，于点E，点F是BC的中点，连接EF.
（1）如图（1），BE的延长线与AC边相交于点D，求证：；
（2）如图（2），，，求线段EF的长.
22．如图，是等边三角形，点D是边BC上的任意一点（不与点B，C重合），以AD为边作等边，过点C作交AB于点F，连接EF.
（1）若点D是BC边的中点，如图（1），求证：.
（2）若点D是BC边上的任意一点，如图（2），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：，.四边形ABCD为平行四边形，.故选A.
2．答案：D
解析：因为点D，E分别是AB，AC的中点，所以DE是的中位线，所以.
3．答案：C
解析：因为，所以.又，所以四边形ABCD是平行四边形.
4．答案：C
解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以，，，所以.因为，所以.因为BE是的平分线，所以.因为，所以，所以.
5．答案：B
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，，，，的周长为.
6．答案：B
解析：∵在平行四边形ABCD中，，.，F分别是BD，CD的中点，是的中位线，.故选B.
7．答案：A
解析：，，.故选A.
8．答案：C
解析：根据的性质，点B和点D到的距离相等，设为h
故答案选：C
9．答案：C
解析：∵四边形ABCD为平行四边形，∴易得和关于点O中心对称，，，∴阴影部分的面积与的面积的比值是，故选C.
10．答案：D
解析：因为点D，E分别是AB，AC的中点，所以DE是的中位线，所以，所以.在中，点E是AC的中点，所以，所以.
11．答案：A
解析：如图，连接EC.在平行四边形ABCD中，，，垂直平分AC.，，，.，，，是直角三角形，且，，.故选A.
12．答案：C
解析：，，是等腰直角三角形，.，，，，.，，故②正确.在和中，，.不一定是DE的中点，不一定成立，故①错误.∵四边形ABCD为平行四边形，，，，，故③正确.，，，，故④错误.，，，，.，，故⑤正确.综上，正确的结论有②③⑤，共3个.故选C.
13．答案：=
解析：
14．答案：3
解析：∵D、E分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴.
故答案为：3.
15．答案：8
解析：∵四边形为平行四边形，对角线与交于点O，
∴点O是中点，
∵M是中点，
∴是的中位线，
∵，
∴.
16．答案：3
解析：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E，点F分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：3.
17．答案：5
解析：如图，在中，，，，则.∵是等边三角形，，.作直线AP交BC于E，交MN于F.，，，，AP垂直平分MN，，.，是等边三角形，则点P在AE上运动.易知，的面积为，则MP最大时，的面积最大.根据题意可得当点P与点E重合时，MP最大，即的面积最大，此时易得，，.故答案为5.
18．答案：证明见解析
解析：证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以，.
又，
所以，
即，
所以四边形BEDF是平行四边形.
19．答案：（1）（答案不唯一）
（2）证明见解析
解析：（1）（答案不唯一）
（2）证明：因为，所以.
在和中，
所以（边角边），
所以，，
所以，
所以，
所以四边形ABCD为平行四边形.
20．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）四边形ABCD是平行四边形，，.为BC中点，.在与中，，.
（2），，，.，，.
21．答案：（1）证明见解析
（2）2
解析：（1）平分，.，.在和中，
，，.
，是的中位线，.
（2）如图，分别延长BE，AC交于点H.同（1）可证明，，.，，是的中位
线，.
22．答案：（1）证明见解析
（2）成立.证明见解析
解析：（1）是等边三角形，D是BC边的中点，
，，
，.
是等边三角形，，，.
，.
，，，
在和中，
.，，，
又，四边形EDCF是平行四边形，.
（2）成立.证明如下：
，.，，.
在和中，
，.
，.又，四边形EDCF是平行四边形，.

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