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北师大版（2024）八年级下册 第一章 三角形的证明 单元测试
一、选择题
1.如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（　　）
A.5米 B.6米 C.7米 D.8米
2.如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，则AD的长是（　　）
A.7 B.6 C.5 D.4
3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，且BC=6cm，则BD等于（　　）
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
4.如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP．他这样做的依据是（　　）
A.在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.测量垂直平分线上的点到这条线段的距离相等
5.如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是
（　　）
A. B. C. D.
6.如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点C，D，作直线CD交AB于点O，在直线CD上任取一点E(不与O重合)，连接EA，EB，则下列结论不一定成立的是(　　)
A.EA＝EB B.OA＝OB C.OA＝OE D.EO⊥AB
7.如图所示，AB是CD的垂直平分线，若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是(　　)
A.3.9 cm B.7.8 cm C.4 cm D.4.6 cm
8.如图，在单位长度为1的4×4的网格中，下列线段长为的是（　　）
A.AB B.AC C.AD D.AE
9.在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC的大小为（ ）
A.110° B.120° C.130° D.140°
10.如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE交于P，AQ⊥BE，垂足为Q，PD=2，PQ=6，则BE的长为（　　）
A.14 B.13 C.12 D.无法求出
11.如图所示，点A为∠MON的平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B，C两点，P为BC的中点，过P作BC的垂线交OA于点D．若∠MON=60°，则∠BDC等于（　　）
A.120° B.130° C.140° D.150°
12.如图，△ABC的角平分线CD，BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠DFB=∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是（　　）
A.③④ B.①②④ C.①② D.①②③④
二、填空题
13.命题：“如果a=b,那么a2=b2”的逆命题是 ，该命题是 命题（填真或假）．
14.已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法：
（1）AD平分∠EDF；
（2）△EBD≌△FCD；
（3）BD=CD；
（4）AD⊥BC．
正确的有 个．
15.在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 　 　尺．
16.如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D均在网格的格点上．
（1）判断∠BCD是否为直角：　 　.（填写“是”或“不是”）
（2）直接写出四边形ABCD的面积为 　 　．
（3）找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等．
17.在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点 P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为 ．
三、解答题
18.如图，∠B=∠ACD，∠ACB=∠D=90°，AC是△ABC和△ACD的公共边，所以就可以判定△ABC≌△ACD．你认为正确吗？为什么？
19.如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB，BC分别作等边△ABD和等边△BCE，求证：BD⊥CE．
20.如图，P是等边△ABC的AB边上一点，过P作PE⊥AC于E，在BC的延长线上截取CQ=AP，连接PQ交AC于点D．
（1）若∠Q=28°，求∠EPD的度数；
（2）求证：PD=QD．
21.已知△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，P是AC上一点，D是BC延长线上一点，且PB=PD，过D点作DE⊥AC，交AC延长线于点E，求AP与CE之间的数量关系．
22.如图，∠AOB＝90°，P是∠AOB的平分线上一点，以P为顶点作∠MPN＝90°，分别交OA，OB于点M，N.求证：PM＝PN.
北师大版（2024）八年级下册 第一章 三角形的证明 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（　　）
A.5米 B.6米 C.7米 D.8米
【答案】C
【解析】∵△ABC是直角三角形，BC＝3米，AB＝5米，
∴AC＝＝4（米），
∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AC+BC＝7米，
故选：C．
2.如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，则AD的长是（　　）
A.7 B.6 C.5 D.4
【答案】A
【解析】∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；又∵AE=CD，在△ABE和△CAD中，AB=CA，∠BAE=∠ACD，AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）；∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°﹣60°=30°；∵PQ=3，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=7．故选A．
3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，且BC=6cm，则BD等于（　　）
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
【答案】C
【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=BC=×6=3（cm）．故选C．
4.如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP．他这样做的依据是（　　）
A.在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.测量垂直平分线上的点到这条线段的距离相等
【答案】A
【解析】∵∠M=∠N=90°，BM=BN，
∴BP平分∠DPE，
∴∠DPB=∠EPB，∵DP∥BC，PE∥BD，
∴∠DPB=∠PBE，∠EPB=∠DBP，
∴∠DBP=∠PBE.
即BP平分∠ABC(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．)
5.如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是
（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，
∵AB＝6，AC＝8，
∴CD≤8，
∴当CD与AC重合时，CD最长为8，
此时，∠BAC＝90°，△ABC的面积最大，
∴BC＝＝10，
∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10，
故选：C．
6.如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点C，D，作直线CD交AB于点O，在直线CD上任取一点E(不与O重合)，连接EA，EB，则下列结论不一定成立的是(　　)
A.EA＝EB B.OA＝OB C.OA＝OE D.EO⊥AB
【答案】C
【解析】由作图可知，CD垂直平分AB，
∴EA＝EB，OA＝OB，EO⊥AB，
∴根据已知条件不能得到OA和OE的关系．
7.如图所示，AB是CD的垂直平分线，若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是(　　)
A.3.9 cm B.7.8 cm C.4 cm D.4.6 cm
【答案】B
8.如图，在单位长度为1的4×4的网格中，下列线段长为的是（　　）
A.AB B.AC C.AD D.AE
【答案】D
【解析】根据勾股定理得
AE＝＝，
AD＝＝2，
AC＝＝，
AB＝＝2，
故选：D．
9.在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC的大小为（ ）
A.110° B.120° C.130° D.140°
【答案】A
【解析】∵O到三角形三边距离相等，∴BO，CO都是三角形的角平分线，∴有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∴∠OBC+∠OCB=70°，∴∠BOC=180°-70°=110°．
10.如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE交于P，AQ⊥BE，垂足为Q，PD=2，PQ=6，则BE的长为（　　）
A.14 B.13 C.12 D.无法求出
【答案】A
【解析】∵AB=BC，∠ABD=∠C=60°，BD=CE，∴△ABD≌△BCE，∴BE=AD，∠APQ=∠ABP+∠PAB=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°，在Rt△APQ中，PQ=6，AP=2PQ=12，∴BE=AD=AP+PD=12+2=14．故选A．
11.如图所示，点A为∠MON的平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B，C两点，P为BC的中点，过P作BC的垂线交OA于点D．若∠MON=60°，则∠BDC等于（　　）
A.120° B.130° C.140° D.150°
【答案】A
【解析】已知P为BC的中点，DP⊥BC， ∴BD=CD，
过点D作DE⊥OM于点E，DF⊥ON于点F，则DE=DF，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，BD=CD，DE=DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴∠BDE=∠CDF，∠BDC=∠BDF+∠CDF，
∠EDF=∠BDF+∠BDE，∴∠BDC=∠EDF，
已知∠MON=60°，∴∠EDF=360°-90°-90°-∠MON=120°，
即∠BDC=120°．
12.如图，△ABC的角平分线CD，BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠DFB=∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是（　　）
A.③④ B.①②④ C.①② D.①②③④
【答案】C
【解析】①∵EG∥BC，
∴∠CEG=∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；
④无法证明CA平分∠BCG，故错误；
③∵∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠GCD，故正确；
②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC＝90°+ (∠ABC+∠ACB)＝135°，
∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，
∴∠DFB＝45°＝∠CGE，
∴∠CGE=2∠DFB，
∴∠DFB＝∠CGE，故正确．
∴正确的为：①②③，
故选：C．
二、填空题
13.命题：“如果a=b,那么a2=b2”的逆命题是 ，该命题是 命题（填真或假）．
【答案】如果a2=b2，那么a=b 假
14.已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法：
（1）AD平分∠EDF；
（2）△EBD≌△FCD；
（3）BD=CD；
（4）AD⊥BC．
正确的有 个．
【答案】4
【解析】∵△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，∴AD平分∠EAF，BD=CD，AD⊥BC，故（3）（4）正确，
∵BE=CF，∴△EBD≌△FCD，∴（2）正确，∴∠ADE=∠ADF，∴AD平分∠EDF，∴(1)正确．故答案为4．
15.在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 　 　尺．
【答案】4.55
【解析】设折断处离地面x尺，根据题意可得，
x2+32＝（10﹣x）2，
解得，x＝4.55，
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
16.如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D均在网格的格点上．
（1）判断∠BCD是否为直角：　 　.（填写“是”或“不是”）
（2）直接写出四边形ABCD的面积为 　 　．
（3）找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等．
【答案】解 （1）∵CD＝=，
BC＝＝，
BD＝＝4，
∴BD2≠BC2+CD2，
∴∠BCD≠90°，
∴∠BCD不是直角．
（2）四边形ABCD的面积＝5×5﹣×1×5﹣×2×5﹣×1×3﹣1×1﹣×1×2＝14．
（3）如图，四边形ABED即为所求（答案不唯一）．
17.在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点 P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为 ．
【答案】6或2 或4
【解析】如图1，
当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；
如图2，
当∠C=60°时，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC是等边三角形，∴CP=BC=6；
如图3，
当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°﹣30°=30°，
∴PC=PB，∵BC=6，∴AB=3，
∴PC=PB=2；
如图4：
当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°+30°=90°，∴PC=4．
三、解答题
18.如图，∠B=∠ACD，∠ACB=∠D=90°，AC是△ABC和△ACD的公共边，所以就可以判定△ABC≌△ACD．你认为正确吗？为什么？
【答案】解 不正确，因为AC不是△ABC和△ACD的对应边，
故不能判定△ABC≌△ACD．
19.如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB，BC分别作等边△ABD和等边△BCE，求证：BD⊥CE．
【答案】证明 ∵△BCE和△ABD是等边三角形，
∴∠ECB=∠ABD=60°，作BF∥CE交AC于F，
∴∠CBF=∠ECB=60°，∵∠ABC=90°，∴∠ABF=30°，
∴∠DBF=∠ABF+∠ABD=30°+60°=90°，∴BD⊥BF，∵BF∥CE，∴BD⊥CE．
20.如图，P是等边△ABC的AB边上一点，过P作PE⊥AC于E，在BC的延长线上截取CQ=AP，连接PQ交AC于点D．
（1）若∠Q=28°，求∠EPD的度数；
（2）求证：PD=QD．
【答案】（1）解 ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°，∵∠Q=28°，∴∠EDP=∠CDQ=∠ACB﹣∠Q=32°，∵PE⊥AC，∴∠PED=90°，∴∠EPD=90°﹣∠EDP=58°．
（2）证明 作PF∥BC交AC于F，如图所示，∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠FPD=∠CQD，∠PFD=∠QCD，∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，∴△APF是等边三角形，∴AP=AF=PF．∵CQ=AP，∴PF=CQ，在△PFD和△QCD中，∠FPD=∠CQD，PF=CQ，
∠PFD=∠QCD，∴△PFD≌△QCD（ASA），∴PD=QD．
21.已知△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，P是AC上一点，D是BC延长线上一点，且PB=PD，过D点作DE⊥AC，交AC延长线于点E，求AP与CE之间的数量关系．
【答案】解 如图，过P点作PF⊥AB于F，∵AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，∴∠DCE=60°，∵PB=PD，∴∠PBD=∠PDB，∵DE⊥AC，∴∠CDE=30°，∴CD=2CE，∠EPD=90°﹣∠PDE=90°﹣∠CDE﹣∠PDB=60°﹣∠PDB=60°﹣∠PBD=∠FBP，∴∠FBP=∠EPD，在△PBF和△DPE中，∠FBP=∠EPD，∠PFB=∠DEP=90°，BP=PD，∴△PBF≌△DPE（AAS），∴PF=DE，在△APF和△CDE中，∠A=∠ECD=60°，∠PFA=∠DEC=90°，PF=DE，∴△APF≌△CDE（AAS），∴AP=CD，∴AP=2CE．
22.如图，∠AOB＝90°，P是∠AOB的平分线上一点，以P为顶点作∠MPN＝90°，分别交OA，OB于点M，N.求证：PM＝PN.
【答案】证明 如图，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F.
∴∠PEM＝∠PFO＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∵OP平分∠AOB，
∴PE＝PF.
∵∠MPN＝90°，
∴∠FPN＋∠MPF＝90°，
∵∠EPM＋∠MPF＝90°，
∴∠EPM＝∠FPN.
在△PEM和△PFN中，
∴△PEM≌△PFN(ASA)．
∴PM＝PN.

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