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第四章 万有引力定律及航天
第2节 万有引力定律的应用
在初中，我们已经知道物体的质量可以用天平来测量，生活中物体的质量常用电子秤或台秤来称量。对于地球，我们怎样“称量”它的质量呢？
天平 or 杆秤
如果有人说他能称出地球的质量，你信吗？
我可以
如图以地球表面物体为研究对象，物体m在纬度为θ的位置，万有引力指向地心,它可分解为两个分力：m随地球自转围绕地轴运动
的向心力Fn和重力G。
Fn
G
θ
m
F引
实际上随地球自转的物体向心力远小于重力，在忽略自转的影响下万有引力大小近似等于重力大小。
一、天体质量的计算
方法一：重力加速度法(g、R）
若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即
????????=????????????????2
?
地面的重力加速度 g 和地球半径 R 在卡文迪什之前就已知道，一旦测得引力常量 G，就可以算出地球的质量M 。因此，卡文迪什被称为“第一个称出地球质量的人”。
????=g????2????
?
思考：我们能用“称量”地球质量的方法“称量”太阳吗？
问题：前面测量地球质量，但是如果要测太阳的质量，我们又无法在太阳表面做落体运动，还有没有其他办法呀？
八大行星围绕太阳运动，太阳为中心天体。
思考：行星做圆周运动的向心力是什么？
（2）万有引力充当向心力 F引=Fn
基本思路
（1）简化模型：将行星绕太阳的运动看成是匀速圆周运动。
（3）依据万有引力定律和牛顿第二定律列出方程，从中解出太阳的质量。
r
M
m
F
r
m太
m
F
设 m太是太阳的质量，m 是某个行星的质量，r 是行星与太阳之间的距离。
解：万有引力充当向心力：
????????????太????2=????????2????
?
行星运动的角速度 ω 不能直接测出，但可测出它的周期 T。
把 ω 和 T 的关系
????=2????????
?
代入上式得到:
????????????太????2=????(2????????)2????
?
m太=4????2????3????????2
?
得：
v、r法:若知道地球绕太阳的公转线速度v和轨道半径r，能否估算太阳的质量？
????????????????2=????????2????
?
????=????2????????
?
?
?
ω、r法:若知道地球绕太阳的公转角速度ω和轨道半径r，能否估算太阳的质量？
T、r法:若知道地球绕太阳的公转线速度v和公转周期T，能否估算太阳的质量？
????????????????2=????????2????
?
????=????2????3????
?
?
?
????????????????2=????(2????????)2????
?
?
?
????=4????2????3????????2
?
地球质量m
太阳质量M
方法二：环绕法
二、人造卫星上天
v
人造卫星
在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中，牛顿设想抛出速度很大时，物体就不会落回地面。
思考：当物体速度非常大时，物体会怎样运动？
牛顿的设想
【方法一】万有引力提供物体作圆周运动的向心力
【方法二】在地面附近，重力提供物体作圆周运动的向心力
那么，抛出速度为多大时，物体将不会落回地面而绕着地球表面运动呢？(已知Ｇ=6.67×10-11Nm2/kg2，地球质量M=5.98×1024kg，地球半径R=6400km，地球表面重力加速度g=9.8m/s2 )
②第一宇宙速度是使人造卫星能绕地球做匀速圆周运动的最小发射速度；
③第一宇宙速度也是人造卫星绕地球做匀速圆周运动时的最大运行速度（ ）；也就是紧贴地面的运行速度。
1.第一宇宙速度（环绕速度）
①第一宇宙速度的大小：v=7.9km/s;
（1）大小：v2＝11.2 km/s
（2）物理意义：
卫星逃离地球引力的束缚，成为绕太阳运动 的人造行星或飞到其他行星上去所必需的最小发射速度。
（3）别称：逃逸速度
2.第二宇宙速度
轨迹就不是圆，而是椭圆
（1）大小：v3＝16.7 km/s
（2）物理意义：
卫星脱离太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度。
（3）别称：脱离速度
3.第三宇宙速度
三个宇宙速度的对比
数值
意义
第一宇宙速度
7.9km/s
(1)卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度(2)人造卫星的最小地面发射速度
第二宇宙速度
11.2km/s
使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度
第三宇宙速度
16.7km/s
使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度
1.人造地球卫星轨道的分类
人造卫星
（1）赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面上，卫星始终处于赤道上方。
（2）极地轨道：卫星轨道平面与赤道平面垂直，卫星通过两极上空。
（3）一般轨道：卫星轨道和赤道成一定的角度。
（4）近地轨道：卫星轨道在地球表面附近。
2.人造卫星的轨道：
（1）卫星绕地球运行的轨道可以是椭圆，也可以是圆轨道；
（2）卫星绕地球做椭圆轨道运动时，地心是椭圆的一个焦点，其周期和长半轴满足开普勒第三定律；
（3）卫星绕地球做圆轨道运行时，由于地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，地心必然是卫星运行轨道的圆心。
★“高轨低速大周期”
3.人造地球卫星的运行规律
a
b
c
????????????????2=????????????=????????2????=????????2????=????4????2????2
?
GM
r2
????????=
?
????=
?
????=
?
GM
4π2r3
????=
?
4.人造地球卫星的分类
（1）近地卫星：
指卫星轨道半径近似等于地球半径，即贴近地表。
（2）同步卫星的“六个一定”
①轨道平面一定：赤道平面
②周期与角速度一定：T=24h
⑤运转方向一定:自西向东
③轨道半径一定: r=6.6R
④速度大小一定: v=3.08km/s
⑥向心加速度的大小一定:
知识点三：预测未知天体
1781年，英国天文学家威廉·赫歇尔用望远镜发现了太阳系的第七颗行星——天王星；
1821年，天文学家们发现天王星的实际轨道与由万有引力定律计算出的理论轨道存在较大误差。
亚当斯与勒维烈预测在天王星附近还有一颗行星。
天王星
？
海王星
海王星的发现
通过万有引力定律成功地预测未知的星体，不仅巩固了万有引力定律的地位，也充分展示了科学理论的预见性。
海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的不一致。于是几位学者用亚当斯和勒维耶列的方法预言另一颗行星的存在。
在预言提出之后，1930 年 3 月14 日，汤博发现了这颗行星 —— 冥王星。
实际轨道
理论轨道
1.土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为1.2×106km.已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，则土星的质量约为(　　)
A． 5×1017kg
B． 5×1026kg
C． 7×1033kg
D． 4×1036kg
B
2.(多选) 已知下列哪组数据，可以算出地球的质量M(引力常量G已知)(　 　)
A． 月球绕地球运动的周期T1及月球到地球中心的距离R1
B． 地球绕太阳运行的周期T2及地球到太阳中心的距离R2
C． 人造地球卫星在地面附近的运行速度v3和运行周期T3
D． 地球绕太阳运行的速度v4及地球到太阳中心的距离R4
AC
3.（多选）下列关于三种宇宙速度的说法正确的是（　　）
A．第一宇宙速度7.9 km/s是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度
B．第一宇宙速度v1=7.9 km/s，第二宇宙速度v2=11.2km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2
C．第二宇宙速度是使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的小行星的最小发射速度
D．我国发射的“天问一号”火星探测器，其发射速度大于第三宇宙速度
AC
4.如图所示，是同一轨道平面内的三颗人造地球卫星，下列说法正确的是(　　)
A.线速度vA＜vB＜vC
B.根据万有引力定律，可知FA＞FB＞FC
C.角速度ωA＞ωB＞ωC
D.向心加速度aA＜aB＜aC
C
5.木星的卫星之一叫艾奥，它上面的珞珈火山喷出的岩块初速度为18 m/s时，上升高度可达90 m。已知艾奥的半径为R＝1 800 km，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，忽略艾奥的自转及岩块运动过程中受到稀薄气体的阻力，求：
(1)艾奥的质量；
(2)艾奥的第一宇宙速度。
万有引力的应用
天体质量的测量
宇宙速度
重力加速度法
环绕法
人造卫星上天
预测未知天体
人造卫星
v2=11.2km/s
v1=7.9km/s
v3=16.7km/s

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