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7.2.3平行线的性质
第七章 相交线与平行线
知识点 平行线的判定与性质
判定
(1)同位角相等，两直线平行；
(2)内错角相等，两直线平行；
(3)同旁内角互补，两直线平行．
性质
(1)两直线平行，同位角相等；
(2)两直线平行，内错角相等；
(3)两直线平行，同旁内角互补．
典例1　如图，∠1＝75°，∠2＝60°，∠3＝75°，求∠4的度数．
∴∠4＝60°．
∵∠2＝60°，
∴AB∥CD．∴∠4＝∠2．
∴∠1＝∠3．
解：∵∠1＝75°，∠3＝75°，
变式1　如图，∠AEC＝∠BFD，CE∥BF．试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
∴AB∥CD．
∴∠BFD＝∠B．
∵∠AEC＝∠BFD，
∵CE∥BF，∴∠B＝∠AEC．
解：AB∥CD．理由如下：
典例2　将一副三角板拼成如图所示的图形，其中B，C，E三点在同一条直线上，C，A，D三点在同一条直线上，∠DCE的平分线CF交DE于点F．
(1)试说明：CF∥AB；
(2)延长BA交ED于点G，试判断∠EGB与∠EFC的大小关系．
解：(1)依题意，得∠DCE＝∠ACB＝90°，∠B＝∠BAC＝45°．
∵CF是∠DCE的平分线，
∴∠FCE＝∠DCE＝45°．
∴∠FCE＝∠B．∴CF∥AB．
(2)∵CF∥AB，∴∠EGB＝∠EFC．
变式2　已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E．试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
∴AD∥BC．
∴∠2＝∠E．
∴∠1＝∠CFE＝∠E．
∵∠CFE＝∠E，
∵AB∥CD，∴∠1＝∠CFE．
∵AE平分∠BAD，∴∠1＝∠2．
解：AD∥BC．理由如下：
典例3　如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2．试探究AB与DG有何位置关系，并说明理由．
∴AB∥DG．
又∠1＝∠2，∴∠BAD＝∠2．
∴∠1＝∠BAD．
∴EF∥AD．
∴∠ADB＝∠EFB＝90°．
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
解：AB∥DG．理由如下：
变式3　如图，已知∠A＝∠C，AD⊥BE，BC⊥BE，点E，D，C在同一条直线上．
(1)判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
(2)若∠ABC＝125°，则∠BEC的度数为　 　．
∴AB∥CD．
∵∠A＝∠C，∴∠ADE＝∠A．
∴AD∥BC．∴∠ADE＝∠C．
∴∠EFD＝∠EBC＝90° ．
∵AD⊥BE，BC⊥BE，
(1)解：AB∥CD．理由如下：
　35° 　
答图
F
1．如图，AB∥CD，∠D＝∠B．试说明∠E＝∠F．
∴∠E＝∠F．
∴DE∥BF．
∴∠D＝∠DCF．
又∠D＝∠B，
∴∠B＝∠DCF．
解：∵AB∥CD，
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2．如图，已知∠A＝∠EDF，∠C＝∠F，试说明BC∥EF．
∴BC∥EF．
∴∠CGF＝∠F．
又∠C＝∠F，
∴∠C＝∠CGF．
∴AC∥DF．
解：∵∠A＝∠EDF，
3．如图，在三角形ABC中，D是AC上一点，过D作DE∥BC交AB于点E，F是BC上一点，连接DF．若∠1＝∠AED．
(1)试说明DF∥AB；
(2)若∠1＝50°，DF平分∠CDE，求∠ADE的度数．
解：(1)∵DE∥BC，∴∠AED＝∠B．
又∠1＝∠AED，∴∠B＝∠1．∴DF∥AB．
(2)∵DE∥BC，∴∠EDF＝∠1＝50°．
∵DF平分∠CDE，∴∠CDF＝∠EDF＝50°．
∴∠EDC＝∠EDF＋∠CDF＝50°＋50°＝100°．
∴∠ADE＝180°－∠EDC＝80°．
4．如图，MN，EF表示两面互相平行的镜子，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经过镜面EF反射后的光线为CD，此时∠3＝∠4．试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
∴∠ABC＝∠BCD．∴AB∥CD．
又∠1＋∠ABC＋∠2＝180°，∠3＋∠BCD＋∠4＝180°，
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4．
又∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4．
∵MN∥EF，∴∠2＝∠3．
解：AB∥CD．理由如下：
5．如图，AB∥CD，点M，N分别在AB，CD上，点P，Q分别在∠AMN，∠DNM的内部，连接MP，PQ，QN，NQ平分∠MND．
(1)若∠AMN＝60°，求∠DNQ的大小；
(2)若∠P＝∠Q，试说明MP平分∠AMN．
解：(1)∵AB∥CD，∠AMN＝60°，∴∠MND＝∠AMN＝60°．
∵NQ平分∠MND，∴∠DNQ＝∠MND＝30°．
(2)∵∠P＝∠Q，∴PM∥NQ．∴∠MNQ＝∠PMN．
∵NQ平分∠MND．∴∠PMN＝∠MNQ＝∠MND．
∵AB∥CD，∴∠MND＝∠AMN．
∴∠PMN＝∠AMN．∴MP平分∠AMN
1．如图，∠1＝∠2，∠A＝70°，则∠ADC＝　 　°．
　110　
基础小练
2．如图，直线a，b被c，d所截，且c⊥a，c⊥b，∠1＝57°，则∠2的度数为( )
A．120° B．123°
C．130° D．147°
B
3．直线a，b，c，d的位置如图所示，已知∠1＝58°，∠2＝58°，∠3＝70°，求∠4的度数．
答图
解：如图，∵∠1＝58°，∠2＝58°，
∴∠1＝∠2．∴a∥b．
∴∠5＝∠3＝70°．
∴∠4＝180°－∠5＝110°．
1．如图，已知∠1＝∠2，∠B＝35°，则∠3的度数为( )
A．35° B．45° C．40° D．45°
A
基础提升
2．如图，已知∠A＝∠ADE，若∠EDC＝∠C，则∠C＝( )
A．80° B．90° C．100° D．110°
A
3．如图，已知a⊥c，b⊥c，若∠1＝65°，则∠2等于（ ）
A．65° B．90°
C．25° D．70°
A
4．如图，DE∥BC，∠DEF＝∠B，试说明：∠A＝∠CEF．
解：∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠EFC．
又∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠EFC．
∴AB∥EF．
∴∠A＝∠CEF．
5．如图，已知DE∥BC，GF⊥AB于点F，∠1＝∠2，试说明：AB⊥CD．
解：∵DE∥BC， ∴∠2＝∠DCB．
又∠1＝∠2，
∴∠DCB＝∠1． ∴FG∥DC．
∵GF⊥AB，
∴∠CDB＝∠GFB＝90°．
∴AB⊥CD．
(1)试说明：DH∥EC；
解：(1)∵∠1＋∠DHE＝180°，
∠1＋∠2＝180°，
∴∠DHE＝∠2．
∴DH∥EC．
6．如图，已知三角形ABC中，D，E，F三点分别在AB，AC，BC三边上，过点D的直线与线段EF相交于点H，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠C．
(2)若∠4＝32°，求∠EFC的度数．
(2)由(1)得DH∥EC，
∴∠3＝∠AED．
又∠3＝∠C，
∴∠AED＝∠C．
∴DE∥BC．
∴∠EFC＝∠4＝32°.
6．如图，已知三角形ABC中，D，E，F三点分别在AB，AC，BC三边上，过点D的直线与线段EF相交于点H，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠C．
7．如图，∠1＋∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF．试说明：
(1)AD∥BC；
解：(1)∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠CDB＝180°，
∴∠1＝∠CDB．∴AB∥CD．
∴∠A＝∠ADF．
又∠A＝∠C，
∴∠ADF＝∠C．
∴AD∥BC．
(2) BC平分∠DBE．
(2)由(1)得AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADB＝∠CBD，∠FDB＝∠EBD．
∵DA平分∠FDB，
∴∠FDB＝2∠ADB．
∴∠EBD＝2∠CBD，即BC平分∠DBE．
7．如图，∠1＋∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF．试说明：

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