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高三数学试题
本试卷共19题，满分150 分.考试用时120 分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数z满足 则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，，m，，，，，若该组数据的分位数是，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （ ）
A. B. 2 C. D.
5. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再将其横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知抛物线：的焦点为F，点D 为C 的准线上一点，线段DF与C 交于点E，若，，则（ ）
A. B. C. D. 1
7. 已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正数a，b满足 则 ab=（ ）
A 20 B. 21 C. 22 D. 23
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等比数列的公比为，前项和为,,.则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. 为周期函数 B. 的图象关于点对称
C. 当时 D.
11. 如图，正方体.中，，点O为侧面中心，M，N分别为棱的中点，动点Q在该正方体表面（底面以外）上，且平面平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面截该正方体所得截面的面积为
B. 点Q的轨迹长度为
C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D. 三棱锥的体积的最大值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则________.
13. 已知直线与函数的图象相切，则________.
14. 已知双曲线 左、右焦点分别为 ，点是上一点且位于第二象限， 的面积为，过原点O 且平行于的直线与和的平分线分别交于点，且 则双曲线的渐近线方程为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前n项和为，且，.
（1）求
（2）若，求数列的前n项和.
16. 某高科技制造企业致力于智能生产线研发与应用，以提升关键精密元件的产品质量.原有甲生产线采用传统自动化技术，而新投入使用的乙生产线引入了基于物联网和大数据分析的智能调控系统，实现了生产参数的实时优化.为评估技术创新对产品质量的影响，质检部门从甲、乙两条生产线生产的同种产品中各随机抽取100件进行检测，得到如下列联表：
优等品 非优等品 合计
甲生产线 65 35 100
乙生产线 90 10 100
合计 155 45 200
（1）根据小概率值的独立性检验，判断产品的质量是否与生产线有关.
（2）以样本估计总体，以频率估计概率，现从甲、乙两条生产线生产的此种产品中各随机抽取一定数量的产品混合在一起，其中甲、乙两条生产线的产品数量之比为2：3，若从混合产品中随机抽取3件，记这3件产品中优等品的个数为X，求X的分布列和数学期望.
附 其中.
17. 如图，三棱锥 中，
（1）证明:平面平面.
（2）设三棱锥外接球的球心为O.
（i）求球O 体积;
（ii）求直线 OB 与平面所成角的正弦值.
18. 已知椭圆的右顶点为，离心率为，过的左焦点的直线与交于异于点的，两点.
（1）求椭圆的方程.
（2）记直线的斜率为，直线与直线的斜率分别为，
（i）若，求；
（ii）若，求的面积.
19. 已知函数
（1）当 时，求的极值.
（2）已知.
（i）证明: ；
（ii）若 在 上恒成立，求实数t的取值范围.

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