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河南周口市2026届高考数学二模试卷
（全国一卷）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A B.
C. D.
2. 在的展开式中，的系数是（ ）
A. 15 B. C. 30 D.
3. 已知向量，满足，，，则（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
4. 样本数据4，16，5，27，6，30，11，21的第25百分位数为（ ）
A. 27 B. 24
C. 5 D.
5. 如图为函数的部分图象，，为图象与轴的两个交点坐标，则（ ）
A. B. 0 C. D.
6. 已知双曲线，，分别为左、右焦点，过且倾斜角为60°直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点．若，则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
7. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，该数列有这样一个规律：，称为卡西尼恒等式，根据卡西尼恒等式，（ ）
A. 1 B. -1 C. 2026 D. 2027
8. 已知函数，给出下列四个结论：
①存在无数个零点；
②在上有最大值；
③若，则；
④区间是的单调递减区间．
其中所有正确结论的序号为（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③④
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为复数，下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若是方程的两根，则
D. 若，则
10. 已知函数，则下列结论正确是（ ）
A. 若在上恰有三个零点，则
B. 若在上恰有三个零点，则
C. 若单调递增，则
D. 若向左平移后图象与图象关于对称，则
11. 在棱长为1的正方体中，点是正方形内（含边界）一动点，若点到平面的距离为，则（ ）
A. 点的轨迹长度等于
B. 平面
C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D. 异面直线与，所成角的余弦值的最小值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线的周围．令，求得经验回归方程为，则该模型的回归方程为________．
13. 已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为______.
14. 已知曲线：与轴交于，两点，点是上一个动点，给出下列四个结论：
①曲线关于x轴对称； ②曲线内存在面积为2的等腰三角形
③面积的最大值为1； ④存在2个点，满足．
其中，所有正确结论的序号为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求角B；
（2）当时，的面积为S，周长为L，求的取值范围.
16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，设，分别为，的中点.
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值大小.
17. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立．
（1）求智能客服的回答被采纳的概率；
（2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差；
（3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由，
18. 已知，为椭圆的左，右顶点，为上的一点，为双曲线上的一点（，两点不同于，两点），设直线，，，的斜率分别为，，，，且.
（1）设为坐标原点，证明：，，三点共线；
（2）设、的右焦点分别为、，、均在第一象限，直线与直线相交于点，.
（i）证明：；
（ii）证明：.
19. 已知函数，．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若，都成立，求的取值范围；
（3）若函数，证明有且仅有两个零点．

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