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高三数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点，若（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（ ）
A. 的虚部为 B. 对应的点在第二象限
C. D.
4. 已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（ ）
A. 4049 B. 4050 C. 4051 D. 4052
7. 定义在上奇函数满足：，当时，，则函数的零点的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 已知函数，将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　）
A. 若，则
B. 若，则或
C. 若点坐标为，则对应的点在第三象限
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
10. 已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D. 除以6所得的余数为5
11. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，，M为与的交点.若为线段上一动点，则（ ）
A.
B. 三棱锥的体积为定值
C. 的取值范围为
D. 以为球心，以为半径球与四边形的交线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等差数列的前项和为，若，则_____．
13. 写出一个同时具有下列性质①②的函数_____．
①；②当时，．
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交两条渐近线于点，交轴于点为坐标原点．若的面积是的面积的3倍，则_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）经过点且斜率为1的直线交于，两点，求．
16. 已知函数，且曲线在点处的切线斜率为．
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值．
17. 某市为争创“文明城市”，现对城市主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了300名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值，并计算这300名市民评分的平均数；
（2）用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望.
18. 已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线与交于M，N两点，且点为线段MN的中点，求的面积．
（3）若直线过点，且与交于A，B两点与轴交于点，满足，试探究与的关系.
19. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为和是上除顶点外的两个动点．
（1）若直线的斜率成等差数列，证明：直线过定点；
（2）若直线斜率成等比数列，求面积的最大值．

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