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2026届第一次模拟考试
命题人：陈宇轩 审题人：黄泽宇
一、单选题（每小题5分，共40分）
1 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. “a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 函数的部分图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知抛物线的焦点为，是上的动点，点，则的最小值为（ ）
A 841 B. 2026 C. 2027 D. 4111
6. 在中，，，则的最短边与最长边之比为（ ）
A. B. C. D.
7. 等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
8. 已知正实数a，b满足和，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的面积为
C D.
10. 定义在上的函数对任意实数均满足，且当时，，．则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 函数为偶函数
C. 上单调递减，在上单调递增
D. 不等式解集为
11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别是，，直线l：与两条渐近线交于A，B两点，若，则C的离心率可能是（ ）
A. 2 B. C. D.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 某工厂抽检一批零件，共120个，其中90个零件的合格率为90%，30个零件的合格率为80%，则这120个零件的合格率是______．
13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______．
14. 已知数列满足，且，则_____.
四、解答题（本题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分)
15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，.
（1）证明：；
（2）若，求内角A的大小.
16. 设函数．
（1）求的单调区间；
（2）若存在极值点，且存在，使得，证明：．附
17. 如图所示，在三棱柱中，，且满足平面平面.
（1）证明：；
（2）设点是棱上一点，当直线与平面所成的角最大时，求的值.
18. 已知函数，．
（1）求在内的单调性；
（2）若存在，使得，求实数a的取值范围；
（3）设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由．
19. 为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p ，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%．
（1）若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
（2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望）
（ⅰ）求关于p的函数表达式；
（ⅱ）证明：在内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数）

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