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平度市2026年高考模拟检测（一）
数学试题
2026．03
本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，请将答题卡上交.
一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设复数满足，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
3. 已知是等差数列的前项和，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知非零向量，，则“”是“向量”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A. B. C. D.
6. 若个数据的平均值为，方差为，现加入数据和，则这个数据的方差为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆上有两个动点满足，为线段的中点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ）
A B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图所示，在正方体中，O为DB中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线与直线所成角为 B. 平面
C. M、O、三点共线 D. 直线与平面所成角的为
10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于两点，，，则（ ）
A. B.
C. 的离心率为 D. 直线的斜率为
11. 记的内角所对边分别为，点为的中点，，，延长到点，使点为线段的中点，则（ ）
A.
B. 周长的取值范围为
C. 的最大值为
D. 的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 二项式展开式中项的系数为__________．
13. 若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数_____.
14. 在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知抛物线，点为的焦点，是上任意不重合的两点，当直线过点且垂直轴时，.
（1）求的方程；
（2）若直线过点且面积为，求的方程.
16. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
17. 已知三棱锥（如图一）平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：
（1）证明：平面平面；
（2）若点M在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
18. 三个人利用手机软件依次进行拼手气抢红包活动，红包的总金额数为个单位.第一个人抢到的金额数为1到个单位且等可能（记第一个人抢完后剩余的金额数为），第二个人在剩余的个金额数中抢到1到个单位且等可能，第三个人抢到剩余的所有金额数，并且每个人抢到的金额数均为整数个单位.三个人都抢完后，获得金额数最高的人称为手气王（若有多人金额数相同且最高，则先抢到最高金额数的人称为手气王）.
（1）若，则第一个人抢到的金额数可能为个单位且等可能.
（i）求第一个人抢到金额数的分布列与期望；
（ii）求第一个人获得手气王的概率；
（2）在三个人抢到的金额数为的一个排列的条件下，求第一个人获得手气王的概率.
19. 在密码学领域，欧拉函数是非常重要，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设是两个正整数，若的最大公约数是1，则称互素.对于任意正整数，欧拉函数是不超过且与互素的正整数的个数，记.
（1）求，和；
（2）RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥.具体而言：
①准备两个不同的、足够大的素数；②计算，欧拉函数；
③求正整数，使得除以的余数是1；
④其中称为公钥，称为私钥.
已知计算机工程师在某RSA算法中公布的公钥是.若满足题意的正整数从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，若数列满足，求的前项和.

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