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2026届高三年级第一次模拟考试质量监测试卷
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
3.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
5.本试题共5页，满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 某校为了解学生的体育锻炼情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自体育锻炼所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的锻炼时间为（ ）
A. 0.5h B. 1h C. 1.5h D. 2h
4. 若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（ ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
5. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线右支上的动点，过作平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数定义域为，若对于定义域内给定的任意 ，，都有，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分
9. 下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 直线是函数图象的一条对称轴
B. 在区间上单调递增
C. 图象可通过的图象上所有点向右平移个单位长度得到
D. 若，且，则
10. 已知单位向量，，满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 在上投影向量为
11. 如图，在几何体中，底面是边长为1的正方形，棱底面，，且，则下列表述一定正确的是（ ）
A. 平面
B. 几何体外接球表面积
C. 几何体的体积是
D. 当时，几何体一定有内切球
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在点处的切线方程为______.
13. 已知内角A，B，C所对边分别为a，b，c，该三角形外接圆半径为，面积为.若，，则______.
14. 抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于A，B两点（其中点位于第一象限），，是线段的中点，且点纵坐标为2，则________.
四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
16. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为棱，，的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）过作平面的平行平面，平面将直三棱柱截成两部分，其中较大部分体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
17. 已知椭圆：的长轴长为4，左、右顶点分别为，，经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）求四边形面积的最大值；
18. 某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验次；②混合检验，将其且)份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．
（2）现取其中且)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为．
①记E()为随机变量的数学期望．若运用概率统计的知识，求出关于的函数关系式，并写出定义域；
②若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值．
参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094．
19. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若函数有两个极值点，
①求的取值范围；
②证明：.

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