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2025—2026学年九年级数学中考一轮专题复习四：分式方程专题训练
1．解下列分式方程：
(1)
(2)
2．解下列方程：
(1)；
(2)．
3．解下列方程：
(1)
(2)
4．已知关于x的方程．
(1)若，解这个分式方程；
(2)若原分式方程有增根，求m的值．
5．解下列分式方程：
(1)
(2)
6．探索并解决问题．
【计算】
请你计算下列算式，观察并归纳其中的规律：
（1） ；
（2） ；
（3）
（4）
【归纳】
- ．
这个结果与上面的计算有什么联系吗？
【应用】
（1）计算：
；
（2）解分式方程：
7．解方程：
(1)
(2)
8．解下列分式方程：
(1)．
(2)．
9．已知分式方程，由于印刷问题，数“▲”看不清楚．
(1)若“▲”表示的数为，求分式方程的解；
(2)若原分式方程无解，试求出原分式方程中“▲”表示的数．
10．已知关于的分式方程．
(1)若方程的增根为，求的值；
(2)若方程有增根，求的值；
(3)若方程无解，求的值．
11．已知关于x的分式方程．
(1)当分式方程有增根时，求m的值．
(2)当分式方程的解为正数时，求m的取值范围．
12．已知关于的方程．
(1)若，求出方程的解；
(2)若方程无解，求的值．
13．已知关于x的分式方程．
(1)若该分式方程无解，则m的值是多少？
(2)该分式方程的解大于1，求m的取值范围．
14．按要求解答下列各题：
(1)若关于的方程的解是正数，求的取值范围；
(2)关于的方程解是负数，求的取值范围；
(3)已知关于的方程有增根，求的值；
(4)若关于的分式方程无解，求的值．
15．定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．
例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”．
(1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由；
(2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”．若分式的值为正整数，求正整数的值．
(3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且，若关于的方程无解，直接写出的值．
参考答案
1．【详解】（1）解：，
去分母得，
解得，
经检验：是原方程的解，
所以，分式方程的解为：；
（2）解：，
去分母得，
解得，
经检验，当时，，
所以，是增根，
因此原分式方程无解．
2．【详解】（1）解：方程两边同乘，得，
解这个方程，得．
检验：当时，，
故是增根，原分式方程无解．
（2）解：方程两边同乘，得，
解这个方程，得．
检验：当时，．
故原分式方程的解为．
3．【详解】（1）解：
去分母得到，，
解得，
经检验，是分式方程的解；
（2）解：
，
解得，
经检验，是增根，
∴原分式方程无解
4．【详解】（1）解：将代入方程，
得，
解得，
经检验：当时，，
∴是原方程的根．
（2）解：，
解得，
∴，
∵原分式方程有增根，
∴，
当时，，解得，
当时，，解得，
∴m的值为2，．
5．【详解】（1）解：
方程两边都乘，得，
解得．
检验：当时，．
∴是原方程的解．
（2）解：
方程两边都乘，得，
解得．
检验：当时，．
∴是原方程的解．
6．【详解】解：【计算】（1）；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式；
【归纳】原式；
这个结果与上面的计算是有联系的，上面计算中的每个分数可以拆分为形如这个结果的两个分数的差；
【应用】（1）原式．．．
；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验，是原方程的解，
∴．
7．【详解】（1）解：
去分母得：，
解得：，
检验：当时，原式，
所以原方程无解；
（2）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
所以原方程的解为．
8．【详解】（1）解：方程两边都乘，
得，
解得．
检验：当时，
是分式方程的增根，
即原分式方程无解．
（2）解：方程两边都乘，
得，
解得．
检验：当时，
是分式方程的增根，
即原分式方程无解．
9．【详解】（1）解：当“▲”时，原方程为
将方程变形为
方程两边同时乘以得
移项得
合并同类项得
解得
检验：当时，
所以是原分式方程的解．
（2）解：设“▲”表示的数为，
原方程为
将方程变形为
方程两边同时乘以得
整理得
原分式方程无解
分两种情况讨论
情况一：整式方程无解，此情况不存在．
情况二：整式方程的解是原分式方程的增根，原分式方程的增根满足，
即
将代入
得
解得
所以“▲”表示的数是．
10．【详解】（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
方程整理，得．
∵是原分式方程的增根，
∴，
解得．
（2）解：，
方程整理，得．
因为原分式方程有增根，所以或，
解得或．
∵不可能是整式方程的根，
∴原分式方程的增根为，所以，
解得．
（3）解：，
方程整理，得．
①当时，整式方程无解，
此时；
②当时，要使原方程无解，则或．
由（2），得．
综上所述，或．
11．【详解】（1）解：去分母得：，
因为分式方程有增根，得到，即，
将代入整式方程得，，
即，
解得，；
（2）解：由（1）知 ：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项，，
化系数为1，解得，
根据分式方程的解为正数，得到，且1，
解得：且．
12．【详解】（1）解：当时，原方程可化为，，
即，
两边同乘得，，
化简，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解；
（2）解：去分母得，
整理得，
当时，整式方程无解，即时，原方程无解；
当时，，解得；
当时，，解得，
即或时，整式方程的解为2或1，此时分式方程无解，
综上所述，的值为或2或．
13．【详解】（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵该分式方程无解，
，
，
∴，
解得：．
（2）解：根据解析（1）得：，
∵该分式方程的解大于1且，
∴且，
解得：且．
14．【详解】（1）解：
，
该分式方程的解为正数，
，且，
解得且；
（2）解：
，
方程有解，且解为负数，
，且，
且；
（3）解：
，
该方程有增根，
或或．
的值为或或；
（4）解：
，
分式方程无解，
或，
或．
15．【详解】（1）解：
是正整数
与是互为“和整分式”，“和整数值”
（2）解：，
与互为“和整分式”，
（）
的值为正整数，为正整数
为的负约数
或
解得或
是正整数
舍去
答：正整数的值为1．
（3）解：由（2）知
两边乘得
整理得
关于的方程无解
分两种情况
情况一： 解得，此时方程，无解
情况二：方程有增根，增根为
将代入
得
解得
综上，的值为或．
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