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2026年普通高等学校招生全国统一考试
数学模拟测试（五）
本试卷共150分 考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数为纯虚数，则（ ）
A. B. 0 C. 1 D.
2. 若全集，则（ ）
A B. C. D.
3. 如图所示，每个小菱形的边长均为1，向量与的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（ ）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 6
5. 甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：两人同时从自己的袋子中随机取出一个球，若取出的球同色，则甲获胜，反之则乙获胜．已知甲的袋子中有3个黑球和3个红球，乙的袋子中有3个黑球和2个红球，则乙获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图所示，在正三棱柱中，，D，E分别为线段，的中点，点F在上，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 将双曲线绕原点O逆时针旋转后，得到函数图象，已知直线是函数图象的一条渐近线，，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
8. 已知函数的定义域为，若，且，则（ ）
A. 0 B. 1 C. 10 D. 20
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，O为坐标原点，则（ ）
A. B.
C. D. 点F到直线OM的距离为
10. 已知直线与函数图象中相邻两支曲线的交点的横坐标分别为，且，则（ ）
A.
B. 函数的定义域为
C. 点是函数的图象的一个对称中心
D. 函数与函数的图象在上的交点个数为4
11. 一封闭圆锥容器（容器厚度忽略不计）的轴截面是边长为10的等边三角形，一个半径为的小球在该容器内自由运动，则（ ）
A. 该圆锥的侧面积为
B. 小球的球心到圆锥顶点的距离的最小值为2
C. 小球在圆锥内部移动时，球心之间的最大距离为4
D. 小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12 已知函数，则______．
13. 已知数列的前n项和为，，，则______．
14. 若恒成立，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某果树种植基地为了调研A品种橘子树的结果情况，随机采摘了100个橘子，称重后得到的数据分成六组，分别为，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图．
（1）估算样本的中位数；
（2）已知上的平均重量是65克，方差是6，上的平均重量为75克，方差是3，求两组重量的总方差．
16. 如图所示，在正四棱柱中，为的中点，．
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的正弦值．
17. 已知等差数列的前n项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和；
（3）证明：．
18. 在平面直角坐标系中，已知点，直线AP与BP相交于点P，且两直线的斜率之积为．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）直线与动点P的轨迹交于C，D两点，求弦长；
（3）若动点P的轨迹为闭合曲线，点，动点P的轨迹上存在不关于x轴对称的两点M，N，使得恰好被x轴平分，求面积的取值范围．
19. 已知函数．
（1）讨论函数在区间内极值点的个数．
（2）设函数，若函数存在两个不同的零点，且．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：．

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