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2026年春季学期寒假素养提升反馈调查
暨2026年普通高等学校招生全国统一考试第二次模拟考试
高三数学
一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.
1. 设复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要
3. 已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取2项，其中抽到有理项的个数为1，这个事件记为事件A，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
5. 已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆，点是直线上的点，则（ ）
A. 圆上有两个点到直线的距离为2
B. 圆上不存在点到直线的距离为2
C. 从点向圆引切线，切线长的最小值为
D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是
7. 已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，则实数的大小关系为（ ）
A B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件A表示“第一枚掷出的点数为偶数”，事件B表示“第二枚掷出的点数为奇数”，事件C表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件D表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则下列说法中正确的有（ ）
A. A与B是相互独立事件 B. A与B是互斥事件
C. 与C是对立事件 D.
10. 对于函数和，则下列说法正确的有（ ）
A. 与有相同的最小正周期
B. 与有相同的最小值
C. 与的图象有相同的对称轴
D. 与的图象有相同的对称中心
11. 在直三棱柱中，，点是棱上一点，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 四棱锥的体积为6
C. 直三棱柱外接球的表面积为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 数列满足(，且)，，对于任意有恒成立，则取值范围是___________.
13. 已知函数的定义域为，，，且，当时，，则不等式的解集为__________.
14. 若椭圆上存在一点，使得到其左、右焦点的距离之比为4:1，则的离心率的取值范围为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．其中15题13分，16 ~17题各15分，18~19题各17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等比数列满足，且是与的等差中项．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
16. 2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的一种）.
方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）；
方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠；其余情况无优惠.
（1）已知顾客选择抽奖方案2，若他第一次摸出球为红球，求他能够享受优惠的概率；
（2）已知顾客恰好消费了500元，
（i）若他选择抽奖方案1，求顾客所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）；
（ii）试从顾客所获得优惠金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理.
17. 如图，在梯形ABCD中，，过点作于点．将沿翻折到的位置，使得平面平面ABED.已知四棱锥的体积为8．
（1）证明：．
（2）求平面PAD与平面PAB的夹角的余弦值．
18. 已知抛物线，过点作直线与抛物线相交于两点，为坐标原点.
（1）证明：；
（2）若存在异于点的定点，使得恒成立，请求出点的坐标，并求出面积的最小值.
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，且．证明：
（i）在区间存在唯一的极值点；
（ii）对于（i）中的．

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