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2026 年“大梦杯”青少年数学水平检测
测试时间 2026 年 3 月 29 日 9∶00－11∶00 满分 150 分
一 二 三
题 号 总 分
1～5 6～10 11 12 13 14
得 分
评卷人
复查人
答题时注意：
1．用圆珠笔或钢笔作答；不使用计算器；
2．解答书写时不要超过装订线；
3．草稿纸不上交.
一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分．每道小题均给出了代号为
A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的
代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分）
1．已知 A，B为反比例函数 y 3 图象上两点，若 A，B在第一象限，且
x
OA OB 2（O为坐标原点），则 AOB的大小为（ ）
A．30 B． 45 C．60 D．75
2．在平面直角坐标系 xOy中，已知一次函数 y= kx+b的图像过点 (3，4)，
与 x轴正半轴相交于点 A，与 y轴正半轴相交于点 B，则当△OAB的面积取最
小值时， k的值为（ ）
A 4 B 3 4 3． ． C． D．
3 4 3 4
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3．如图，直线EF与△ ABC的三条边 BC，CA，AB所在的直线分别交于
点D，E，F ，若 DBF = CED，AB 10，BF 6，
AE 8， BD 4，则CD （ ）
A．8 B．16 C．18 D． 20
（第 3 题图）
4．已知b，c为整数，关于 x的方程 x2 bx c 0有两个无理数根 x1，x2．若
c 0，则 x1 x2 的最小值为（ ）
A． 2 5 B． 5 C． 2 7 D． 7
5．沈括（1031-1095，《梦溪笔谈》作者）是我国十一世纪的科学巨匠，其
数学成就不仅在当时独树一帜，更在世界数学史上留下了深远印记．他以实际
问题为出发点，将数学从抽象计算推向应用创新，开创了高阶数列与几何近似
计算的新领域．2021 年，国际天文学联合会（IAU）正式批准将嫦娥五号着陆区
附近的一座陨石坑命名为“沈括”，标志着这位古代科学家的精神在现代科技中
得以延续．
当时，沈括提出了连续相邻整数平方和的公式，用现代符号表示为：对任
意正整数 n，有12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) ．
6
1 2 3 n n(n 1)请利用上述等式以及等式： ，解决下列问题：
2
对正整数 n，设 an表示与 n最接近的整数（如 a1 1，a2 1，a3 2），则
a1 a2 a3 a100 （ ）
A．670 B．680 C．870 D．880
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二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）
a b 6 0
6．若实数 a，b，c满足 ，则2 a b c ．
ab c 4c 13 0
7．若整数 x使得 x2 26x 20是一个完全平方数，则所有这样的 x的和
为 ．
8．如图，O是半圆的圆心， AB是半圆的直径，点C在线段 AO上，点 P，
Q在半圆周上．若 PA PC，QC QO， APC CQO ，则 ．
（第 8 题图）
9．已知 n次多项式 a xn a xn 1n n 1 a1x a0的系数 a0，a1，…，an 1，an
均为非负整数，且 an 0．记 y anx
n an 1x
n 1 a1x a0，若 x 1时，y 8；
x 9时， y 752；则 x 10时， y ．
10 ． 若 实 数 x1 ， x2 ， x3 满 足 x1 x2 x3 1 ， 则
x1 x1 x2 x1 x2 x3 的最小值为 ．
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三、解答题（共 4 题，每小题 20 分，共 80 分）
11．（1）证明：存在无穷多正整数对 (a，b)，使得b a 2 a 1 1，且b，
b 1，b 2，…， 2b a中没有完全平方数．
（2）是否存在正整数对 (a，b)，使得b a 3 a 1 1，且b，b 1，b 2，…，
2b a中没有完全平方数？若存在，求出所有符合条件的正整数对 (a，b)；若不
存在，请说明理由．
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12． 如图，D为△PEF的内心，且点D在△ABC的BC边上．点 E，F 分
别在△ABC的边 AC，AB的延长线上，且 BF BD，CE CD，M 是△PEF外
接圆上弧EF的中点．
（1）证明：点M 到直线 AB的距离等于点M 到直线BC的距离；
（2）证明： A，E，F ， P四点共圆．
（第 12 题图）
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13．（1）是否存在整数 a1， a2 ， a3，使得关于 x的方程
x2 2(a a a )2 x (a4 a41 2 3 1 2 a
4
3 1) 0
有整数根？若存在，请举出一组符合条件的整数a1， a2 ， a3，并说明理由；若
不存在，请说明理由．
（2）是否存在整数 a1， a2 ，…， a6，使得关于 x的方程
x2 2(a1 a2 a )
2 x (a4 4 46 1 a2 a6 1) 0
有整数根？若存在，请举出一组符合条件的整数 a1，a2 ，…，a6，并说明理由；
若不存在，请说明理由．
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14． 在一个10 10的方格表的每一个小方格中填写1，2，3，…，11这11
个数字之一．称一个小方格是“好的小方格”，如果它所在行和所在列的19个
小方格中，1， 2，3，…，11这11个数字都至少出现一次．求“好的小方格”
的个数的最大可能值．
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稿 纸
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