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2026广东省深圳市中考数学自编模拟训练试卷（解析版）
考试时间90分钟，满分100分．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．的倒数是（　 　）
A． B． C． D．2026
【答案】B
【分析】本题考查倒数的定义．根据“乘积为1的两个数互为倒数”这一概念计算即可求解．
【详解】解：的倒数是，
故选：B．
2．如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，
下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
【答案】A
【分析】本题考查三视图，根据几何体，确定其三视图，进行判断即可．
【详解】解：圆锥的主视图和左视图相同且均为三角形，俯视图为圆；
故选：A．
3．下列运算正确的是（　 　）
A．a5﹣a3＝a2 B．a6÷a2＝a3
C．(﹣2a)3＝﹣8a3 D．2a﹣2＝
【答案】C
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则和负指数幂的性质分别计算判断即可．
【详解】解：A、a5﹣a3，不是同类项不能合并，故此选项错误；
B、a6÷a2＝a4，故此选项错误；
C、(﹣2a)3＝﹣8a3，故此选项正确；
D、2a﹣2＝，故此选项错误；
故选C．
如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，
已知直线与相交于点，，则的大小为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质．根据三角形的外角的性质得出，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角
（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．
机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（　 　）
A．40cm B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：连接，过B作于D，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即机器狗正常状态下的高度为，
故选：D．
一个不透明的盒子里有红、黄、蓝三个小球，它们只有颜色不同，先摸一个小球，记录下颜色后放回，
摇匀后再摸一次，并记录摸出小球的颜色，则至少有一次摸到红色小球的概率是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查的是利用列表法或画树状图法求概率，熟练应用列表法或画树状图法是解题的关键；
先画出树状图，根据树状图得出所有等可能的结果，然后得出至少有一次摸到红色小球的情况数，再利用概率公式，即可解答．
【详解】解：画树状图如图所示：
通过树状图可以清晰看到，总共有种等可能的结果，，
至少有一次摸到红色小球的情况有：（红，红）、（红，黄）、（红，蓝）、（黄，红）、（蓝，红），共5种．
∴至少有一次摸到红色小球的概率是．
故选：D．
《九章算术·方程》有一道题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，
乙得甲太半而钱亦五十．问：甲、乙各持钱几何？设甲持钱两，乙持钱两，
可列方程组为（　 　）（注释：乙半：乙的一半钱，甲太半：甲的三分之二钱）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．设甲持钱两，乙持钱两，根据题意列方程组即可．
【详解】解：设甲持钱两，乙持钱两，
由题意得：，
故选：A．
8．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，
它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．
连结并延长交于点．若，则长为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质，由大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，在中使用勾股定理可求出，过点M作于点N，由为等腰直角三角形可证得也为等腰直角三角形，设，则，由，可解得．进而可得．
【详解】解：由图可知，，
∵大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，
∴，
设，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：（舍去）．
过点M作于点N，如图所示．
∵四边形为正方形，为对角线，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形．
设，则，
∴，
解得：，
∴．
故选：A．
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意，设另一个根为，则由根与系数的关系得到，解得，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
【详解】解：一元二次方程有一个根为2，
设另一个根为，
，解得，
故答案为：．
如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，
则的值是 ．

【答案】－1
【分析】如图，过点A作，点C作，垂足分别为G，F，可证，得比例线段，由，得线段长度，，代入比例线段求解．
【详解】如图，过点A作，点C作，垂足分别为G，F

由题意知，，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴
故答案为：
11．方程的解为 .
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键．
先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根．
【详解】解：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
所以，原方程的解为，
故答案为：．
如图，在反比例函数y=的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点B，
在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，
，则关于的解为___________．
【答案】
【详解】解：连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，如图所示，
∵由直线AB与反比例函数y=的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO=BO．
又∵AC=BC，
∴CO⊥AB．
∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，
∴∠AOE=∠COF，
又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，
∴△AOE∽△COF，
∴ ，
∵tan∠CAB==2，
∴CF=2AE，OF=2OE．
又∵AE OE=，CF OF=|k|，
∴k=±6．
∵点C在第二象限，
∴k=-6，
∴关于x的方程x2-5x+k=0可化为x2-5x-6=0，解得x1=-1，x2=6．
故答案为：x1=-1，x2=6．
如图，是的直径，，点在线段上运动，过点的弦，
将位于右边的部分沿翻折，弧交直线于点，当的长为正整数时，
则的长为_________
【答案】2或
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：为直径，为弦，
，
当的长为正整数时，或2，
当时，即为直径，
将沿翻折交直线于点F，此时与点重合，
故；
当时，且在点在线段之间，
如图，连接，
此时，
，
，
，
，
；
当时，且点在线段之间，连接，
同理可得，
，
综上，可得线段的长为或或2，
故答案为：2或
解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，
第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14 ．计算：．
【答案】3
【分析】利用特殊角三角函数值、零指数幂、绝对值、二次根式的性质、负整数指数幂进行计算即可．
【详解】解：原式．
15．解一元一次不等式组，并在数轴上表示．
解：由不等式①得：__________，
由不等式②得：__________，
在数轴上表示为：
所以，原不等式组的解集为__________．
【答案】；；；见解析
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集，
【详解】解：，
解不等式①，得：
解不等式②，得：
在数轴上表示如下：
所以不等式组的解集为：，
故答案为：；；
某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．
问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：
A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图．
请根据图中信息，解答下列问题：
本次抽样调查人数是_____，请补全条形统计图；
扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_____，选项“较多”对应的圆心角是_____度；
若该校共2400名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？
【答案】(1)200，图见解析
(2)；108
(3)“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有840名
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的应用，计算扇形统计图中的占比和圆心角，用样本估算总体，掌握好相关知识是关键．
（1）用“偶尔”的人数除以占比求得抽样调查的人数，作差求出“较多”的人数，然后补全条形统计图即可；
（2）用“较少”的人数除以抽样调查的人数求出占比，同样方法算出“较多”的占比，再乘以得出“较多”对应的圆心角；
（3）计算出“一直”在样本中的占比，再乘以全校学生数即可．
【详解】（1）解：对比两个统计图可知，“偶尔”的人数为人，占比，
∴本次抽查的人数为（人），
∴“较多”的人数为（人），
补全条形统计图，如图所示：
（2）解：“较少”的百分比为，
∴，
“较多”对应的圆心角的度数为；
（3）解：（人）．
答：“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有840名．
某商场计划购进甲、乙两种商品，已知一件甲种商品的进价与一件乙种商品的进价的和为20元，
用50元购进甲种商品的件数与用150元购进乙种商品的件数相同．
求每件甲种、乙种商品的进价分别是多少元？
商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其中甲种商品的件数少于乙种商品的件数，
商场决定此次进货的总资金不超过1100元，已知甲种商品的售价为12元，乙种商品售价为25元，
试问该商场如何进货利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)每件甲种商品的进价是元，每件乙种商品的进价是元
(2)该商场进货甲种商品10件，乙种商品70件，利润最大，最大利润是770元
【分析】（1）设每件甲种商品的进价元，则每件乙种商品的进价为元，根据“用50元购进甲种商品的件数与用150元购进乙种商品的件数相同”列出方程，即可求解，
（2）总购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据“进货的总资金不超过1100元”求出的范围，列出总利润关于进货量的一次函数关系式，即可求解，
本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是：找出方程中的等量关系．
【详解】（1）解：设每件甲种商品的进价元，则每件乙种商品的进价为元，
根据题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，
所以，
故答案为：每件甲种商品的进价是元，每件乙种商品的进价是元，
（2）解：总利润为元，购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
根据题意得：，，
∴，
∵比例系数，
∴随着的增大而减小，
∴当时，由最大利润（元），，
故答案为：该商场进货甲种商品10件，乙种商品70件，利润最大，最大利润是770元．
如图，在圆内接四边形中，延长交于点E，在上方作，
使点F在线段上，且，连结．
若，B为的中点，求的度数．
连结，当时．
① 求证：四边形是平行四边形．
② 若，求证：．
【答案】(1)
(2)①见解析；②见解析
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质、圆周角定理是解题的关键．
（1）根据弧、弦之间的关系和圆内接四边形的性质进行解答即可；
（2）①证明，，即可证明结论；
②过点B作交圆于点P，连结，证明，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，
∵B为的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）①如图，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
②如图2，过点B作交圆于点P，连结，
则，，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
19．［综合探究］
运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．
图1是一片美丽的心形叶片，
图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象
的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标；
【探究二】研究心形叶片的宽度：
如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，
抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．
求叶片此处的宽度；
【探究三】探究幼苗叶片的长度
小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线
都可以看作是二次函数图象的一部分；
如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．
已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度．
【答案】（1），顶点的坐标为；（2）；（3）
【分析】（1）把原点代入解析式，求得值，将抛物线化成顶点式即可确定顶点坐标；
（2）先求出点的坐标为，再求出的解析式为：．然后求出点的坐标为，最后求出结果即可；
（3）作抛物线的对称轴于点，则，设点的横坐标为，得出，根据点在抛物线上，列出方程，得出点的坐标为，最后求出即可．
【详解】解：（1）抛物线经过原点，
．
解得：．
抛物线的解析式为：．
顶点的坐标为；
（2）取，，
解得：，，
点的坐标为，
心形叶片的对称轴是直线，点，是叶片上的一对对称点，
设的解析式为：．
经过点，
．
解得：．
的解析式为：．
，
解得：
点的坐标为．
．
．
（3）作抛物线的对称轴于点，则，
直线与水平线的夹角为，
．
设点的横坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
．
顶点的坐标为，
点的纵坐标为．
点在抛物线上，
．
解得：．
点的坐标为．
．
20．综合应用
【问题发现】
如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，
过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：；
【类比探究】
如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，
两条垂线交于点F，且，连接，求的值；
【拓展延伸】
如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，
连接，．若，则当是直角三角形时，求的长．
【答案】
（1）证明过程见解析；
（2）的值为；
（3）的长为或．
【分析】（1）由正方形性质，结合同角的余角相等，证明，从而可证得结论；
（2）由矩形的性质，结合同角的余角相等，可得，，可得，证明，对应边成比例，即可得的值；
（3）由（2）结合已知可得，利用得到，利用直角三角形性质得到， ，进而得到，由是直角三角形，可得，设，则，按照点在线段上和点在延长线上，分类讨论，结合勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴的值为．
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，为的中点，
∴，，
∴，
由是直角三角形，可得，
∴，
∴，
∴，
设，则，
当在线段上时，，
∵，
∴，
∴
∴或（不合题意，舍去），
当在延长线上时，
，，，
，
，
，
，
（不合题意，舍去）或，
综上所述，的长为或．
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2026广东省深圳市中考数学自编模拟训练试卷
考试时间90分钟，满分100分．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．的倒数是（　 　）
A． B． C． D．2026
2．如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，
下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
3．下列运算正确的是（　 　）
A．a5﹣a3＝a2 B．a6÷a2＝a3
C．(﹣2a)3＝﹣8a3 D．2a﹣2＝
如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，
已知直线与相交于点，，则的大小为（　 　）
A． B． C． D．
最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角
（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．
机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（　 　）
A．40cm B． C． D．
一个不透明的盒子里有红、黄、蓝三个小球，它们只有颜色不同，先摸一个小球，记录下颜色后放回，
摇匀后再摸一次，并记录摸出小球的颜色，则至少有一次摸到红色小球的概率是（　 　）
A． B． C． D．
《九章算术·方程》有一道题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，
乙得甲太半而钱亦五十．问：甲、乙各持钱几何？设甲持钱两，乙持钱两，
可列方程组为（　 　）（注释：乙半：乙的一半钱，甲太半：甲的三分之二钱）
A． B．
C． D．
8．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，
它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．
连结并延长交于点．若，则长为（　 　）
A． B． C． D．
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为 ．
如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，
则的值是 ．

11．方程的解为 .
如图，在反比例函数y=的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点B，
在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，
，则关于的解为___________．
如图，是的直径，，点在线段上运动，过点的弦，
将位于右边的部分沿翻折，弧交直线于点，当的长为正整数时，
则的长为_________
解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，
第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14 ．计算：．
15．解一元一次不等式组，并在数轴上表示．
解：由不等式①得：__________，
由不等式②得：__________，
在数轴上表示为：
所以，原不等式组的解集为__________．
某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．
问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：
A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图．
请根据图中信息，解答下列问题：
本次抽样调查人数是_____，请补全条形统计图；
扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_____，选项“较多”对应的圆心角是_____度；
若该校共2400名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？
某商场计划购进甲、乙两种商品，已知一件甲种商品的进价与一件乙种商品的进价的和为20元，
用50元购进甲种商品的件数与用150元购进乙种商品的件数相同．
求每件甲种、乙种商品的进价分别是多少元？
商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其中甲种商品的件数少于乙种商品的件数，
商场决定此次进货的总资金不超过1100元，已知甲种商品的售价为12元，乙种商品售价为25元，
试问该商场如何进货利润最大？最大利润是多少？
如图，在圆内接四边形中，延长交于点E，在上方作，
使点F在线段上，且，连结．
若，B为的中点，求的度数．
连结，当时．
① 求证：四边形是平行四边形．
② 若，求证：．
19．［综合探究］
运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．
图1是一片美丽的心形叶片，
图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象
的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标；
【探究二】研究心形叶片的宽度：
如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，
抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．
求叶片此处的宽度；
【探究三】探究幼苗叶片的长度
小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线
都可以看作是二次函数图象的一部分；
如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．
已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度．
20．综合应用
【问题发现】
如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，
过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：；
【类比探究】
如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，
两条垂线交于点F，且，连接，求的值；
【拓展延伸】
如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，
连接，．若，则当是直角三角形时，求的长．
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