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10.5分式方程 同步练习
一、单选题
1．下列各式中是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．若分式的值为0，那的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．小雅同学在学校阅览室借了一本《昆虫记》，共250页，管理员要求在两周内归还，当她读了这本书的时，发现每天要多读5页才能在借期内读完，问：已经读完的部分她每天读多少页？如果设已经读完的部分每天读x页，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图是小明解分式方程的过程，则下列判断正确的是（ ）
解：方程两边同时乘， 得，…………第一步 即，……………第二步 解得，………………………第三步 经检查，原方程的解是．……第四步
A．从第一步开始出现错误 B．从第二步开始出现错误
C．从第三步开始出现错误 D．从第四步开始出现错误
6．为推进垃圾分类，推动绿色发展，某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类，用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元，若设甲型机器人每台x万元．根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若关于的分式方程无解，则的值为（）
A．3 B． C．1 D．
8．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
9．小明的爸爸买了某银行的低风险理财产品（该理财产品分两次取回），本金为10000元，1年后返还5110元，2年后返还5250元，设此理财产品的收益率为，根据题意，为求解，以下列出的方程中正确的是（ ）
A．；
B．；
C．；
D．．
10．若分式方程有增根，则a的值是（ ）
A． B．0 C．0或 D．0或2
二、填空题
11．下列关于的方程：；；；；；中，_____是整式方程，_____是分式方程．（填序号）
12．解分式方程时，去分母后得_____________．
13．若是关于的分式方程的解，则的值是_____．
14．若与互为倒数，则x的值为__________．
15．定义一种新运算，当时，．若，则______．
16．若关于的分式方程的解为，我们就说这个方程是和解方程．比如：就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，则___________．
17．按照解分式方程的一般步骤解关于的分式方程，出现增根，那么的值为_______．
18．已知，，下列结论：
①；②若，则；③无论为何实数值，始终有；④若关于的方程无解，则．其中正确的有_____（请填写序号）．
19．若实数使关于的不等式组有整数解且至多有个整数解，且使关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和为___________．
20．已知，且，则x的值为________．
三、解答题
21．解分式方程：
(1)； (2)．
22．甲、乙两组学生从学校出发，去距学校的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发后，乙组学生骑自行车开始出发，骑自行车速度是步行速度的倍，结果两组学生同时到达敬老院．步行与骑自行车的速度各是多少？
23．某商场销售、两种商品，售出1件种商品比售出1件种商品所得利润多100元，售出种商品获利30000元的件数和售出种商品获利20000元的件数相同．
(1)求每件种商品和每件种商品售出后所得利润分别为多少元；
(2)由于需求量大，、两种商品很快售完，商场决定再一次购进、两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于7400元，求商场最多购进多少件商品？
24．（1）【观察】；；
【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明．
（2）【拓展】
①利用你发现的规律计算：；
②利用上述规律解答：若的值为，求n的值．
25．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和雅式”，这个常数称为关于的“和雅值”．
如分式，，，则是的“和雅式”，关于的“和雅值”为．
(1)已知分式，，判断是否为的“和雅式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“和雅值”；
(2)已知分式，，是的“和雅式”，且关于的“和雅值”是，求的值；
(3)已知分式，，是的“和雅式”，且关于的“和雅值”是，为整数，且“和雅式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和．
试卷第2页，共4页
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B D B A D B D C
1．D
【详解】解：A、不是方程，故本选项不符合题意；
B、是整式方程，不是分式方程，故本选项不符合题意；
C、是整式方程，不是分式方程，故本选项不符合题意；
D、是分式方程，故本选项符合题意；
故选：D．
2．D
【详解】解：分式的值为0，
，即，解得，
故选：D．
3．B
【详解】解：，即，
方程两边同时乘以得：．
故选B．
4．D
【详解】解：设已经读完的部分每天读x页，则
（页），
由题意得：，
即，
故选：D．
5．B
【详解】解：方程两边同时乘，
得，
即，
解得，
经检查，原方程的解是．
∴错误步骤为第二步，
故选B．
6．A
【详解】解：设甲型机器人每台x万元，则乙型机器人每台(140－x)万元，依题意得：
．
故选：A．
7．D
【详解】解：，
方程两边同乘以，得
，
整理得
x+m-1=3x-6，
∴，
解得
．
∵关于的分式方程无解，
∴，即，
令，
解得．
故选：D．
8．B
【详解】解：，
，
，
关于的分式方程的解为正数，
且，即，
且，
且，
故选：．
9．D
【详解】解：∵ 返还金额5110元和5250元分别发生在1年后和2年后，其现值需用折现，
∴ 1年后返还的现值为，2年后返还的现值为，现值之和应等于本金10000元，
∴ ，
故选：D．
10．C
【详解】解：方程两边都乘，得，
∵原方程有增根，
∴最简公分母，
∴增根是或，
当时，方程化为：，
解得：；
当时，方程化为，即，
解得或．
故选C．
11． ②③④⑥ ①⑤
【详解】解：对于方程①：分母中含有未知数x，因此是分式方程；
对于方程②：分母为常数2和5，不含有未知数，因此是整式方程；
对于方程③：分母中的b为常数，不是未知数，因此是整式方程；
对于方程④：分母为常数2和3，不含有未知数，因此是整式方程；
对于方程⑤：分母中含有未知数x，因此是分式方程；
对于方程⑥：分母为常数2、5和3，不含有未知数，因此是整式方程．
故答案为：②③④⑥；①⑤
12．
【详解】解：，
去分母得：．
故答案为：．
13．2
【详解】解：将代入方程，
得，
即，
解得，
故答案为：．
14．
【详解】若与互为倒数，
则，
去分母：
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：．
15．4或
【详解】解：由题意可知：当时，则，
解得：，
经检验当时，，且
∴是原方程的解；
当时，则，
解得：，
经检验当时，，且
∴是原方程的解；
故答案为4或．
16．
【详解】由题意知，是分式方程的解，
∴将代入分式方程中得，，
解得，，
故答案为：．
17．2
【详解】解：去分母得：，
将增根代入得：，
解得：，
故答案为：．
18．①②③
【详解】解：对于结论①，，成立；
对于结论②，当，时，，故，成立；
对于结论③，，故，成立；
对于结论④，方程即，
，
，
，当时，解整式方程得，此为原分式方程的增根，故原方程无解，
当时，原分式方程无解，
当或时，分式方程无解，故结论④错误，
故答案为：①②③．
19．
【详解】解：不等式组有整数解，
解不等式组得，
有整数解至多有个整数解，
，
解得：
解分式方程得：，
，
，
，
解得：，
解为非负数，
，
解得：且，
且，
是整数，
为或，
，
故答案：．
20．
【详解】解：由，得，，
∴，
，
∴化简为
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
经检验，是原分式方程的解．
故答案为：．
21．
【详解】（1）分式两边都乘得：
解得：
检验：把代入得，
∴是增根，
∴分式方程无解；
（2）分式两边都乘得：
解得：
检验：把代入得，
∴分式方程的解为；
22．；
【详解】解：设步行速度为，则自行车的速度为，
∴，
解得，，
检验，当时，原分式方程有意义，
∴步行速度为，
∴，
∴自行车的速度为．
23．(1)每件A种商品售出后获得的利润为300元，每件B种商品售出后获得的利润为200元
(2)商场最多购进28件B商品
【详解】（1）解：设每件B种商品售出后获得的利润为元，则每件A种商品售出后获得的利润为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：每件A种商品售出后获得的利润为300元，每件B种商品售出后获得的利润为200元．
（2）解：设购进种商品件，则购进种商品件，
由题意得：，
解得：，
答：商场最多购进28件B商品．
24．
【详解】（1）解：第n个等式为：；
证明如下：
．
（2）解：①
．
②∵
，
∴，
解得，
经检验是分式方程的解，
的值为25．
25．
【详解】（1）解：不是的“和雅式”；
理由：
，
不是的“和雅式”；
（2）由题意得：，
，
，
，
解得：，，
；
（3）由题意得：，
，
，
为整数，为整数，
的值为：或，
的值为：，，，，
，
所以所有符合条件的的值之和为．

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