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第八章实数单元测试卷二
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．面积为2的正方形的边长是（ ）．
A．1 B． C． D．4
3．，则的算术平方根为（ ）
A． B． C． D．
4．若，是两个连续的整数且，则（ ）
A． B． C． D．
5．在实数，，0，，，，，，，（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．在下列结论中，正确的是（ ）
A． B．是的一个平方根 C．一定没有平方根 D．的立方根是4
7．若、满足，则的平方根是（ ）
A． B． C． D．
8．根据以下表格里的数据：
则（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法，正确的是（ ）
A．与数轴上一一对应的数是有理数 B．数轴上的点可以表示所有的实数
C．带根号的数都是无理数 D．不带根号的数都是无理数
10．定义：对任意实数，表示不超过的最大整数，如，，.对数字65进行如下运算：①；②；③，这样对数字65运算3次后的值就为1，像这样对一个正整数总可以经过若干次运算后值为1，则数字255经过（ ）次运算后的结果为1.
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．的绝对值是 ．的算术平方根是 ，的立方根是
12． ， ．
13．若的整数部分是a，则小数部分为
14．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ．
15．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ．
三、解答题（共8小题，合计75分）
16．计算：
(1) (2)
17．把下列各数填在相应的大括号内：
，，0，，，，，(1和3之间的2逐次加1个)．
整数：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}；
分数：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}；
无理数：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}．
18．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）．
，，0，，，
19．已知一个数m的两个不相等的平方根分别为和．
（1）求a的值； （2）求这个数m．
20．已知5+的小数部分是a，整数部分是m，5﹣的小数部分是b，整数部分是n，求的值．
21．已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是3．
(1)直接写出： ， ；
(2)求的平方根；
(3)若的整数部分是，小数部分是，求的值．
22．巴特尔制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．
(1)求长方形信封的长和宽；
(2)巴特尔能将贺卡不折叠就放入此信封吗 请通过计算给出判断．
23．观察下列等式，并回答下列问题：
①；②；③；④；
(1)请写出第⑤个等式：_______；计算_______．
(2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）．
(3)比较与1的大小．
试卷第1页，共3页
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《第八章实数单元测试卷二》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A C A B B A B A
1．解：A、，故该选项是错误的；B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；D、，故该选项是正确的；故选：D
2．解：∵正方形的面积为2，∴正方形的边长为．故选：B．
3．解：，，解得，，
的算术平方根为．故选：．
4．解：∵，∴，
∵，是两个连续的整数且，∴，，∴．故选：C．
5．解：，，
∴无理数有：，，（相邻两个1之间的0依次增加1个），共3个．
故选：A．
6．解：选项A，∵，算术平方根结果非负，∴A错误；
选项B，∵，∴是的一个平方根，∴B正确；
选项C，∵当时，，有平方根，∴C错误；
选项D，∵，而的立方根为，∴D错误；
故选：B．
解：由题意得，m-1=0，n-15=0，解得，m=1，n=15，则=4,4的平方根的±2，
故选B．
8．解：∵，∴，故选：A．
9．解：A、与数轴上一一对应的数是实数，故本选项不符合题意；
B、数轴上的点可以表示所有的实数，本选项符合题意；
C、带根号，但是有理数，故本选项不符合题意；
D、是不带根号的数，但是有理数，故本选项不符合题意；
故选：B．
10．A
11． 解：的绝对值是，的算术平方根是，
∵，∴的立方根是．故答案为：，，2．
12．解：，，故答案为：，
13．解：∵9＜10＜16，∴3＜＜4，
∵的整数部分是a，∴a=3，∴小数部分-a
14．解：若1次运算输出的值是时，，，解得：或；
若2次运算输出的值是时，，，解答：或；
若3次运算输出的值是时，，，解答：或；
，且取负整数，或，故答案为：或．
15．解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大，
设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ，
设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为，
验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2．
故答案为：256．
16．（1）解：∵ ，
∴原式．
（2）解：∵，
∴原式．
17．解：
整数：{，0，，…}；
分数：；
无理数：{(1和3之间的2逐次加1个) … }．
18．解：，，
用“”连接为：．
19．（1）数m的两个不相等的平方根为和，，，解得；
（2）∵，，，的值是36．
20．解：∵
∴
21．（1）解：∵且的立方根是它本身，，
∵的算术平方根是3，∴，，
故答案为：1，3．
（2），，的平方根为．
（3），，
，，的整数部分为1，小数部分为，，
则的值为．
22．（1）解：设长方形信封的长为，宽为，
由题意得，∴，负值舍去，，，
答：长方形信封的长为，宽为；
（2）解：巴特尔能将这张贺卡不折叠就放入此信封，
由题意得：面积为的正方形贺卡的边长是，
，∴信封的宽大于正方形贺卡的边长，
∴巴特尔能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
23．（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：，
，
故答案为：；．
（2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为，
故答案为：．
（3）解：∵，
∴．
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答案第1页，共2页第八章实数单元测试卷一
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．的值是( )
A．9 B．9或－9 C．3 D．3或－3
2．立方根等于它本身的数是（ ）
A．0 B．0或1 C．0或1或 D．0或
3．下列实数中，是无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．
4．已知，则的值为（ ）
A．0 B．2025 C． D．1
5．如图，已知数轴上的点分别表示数、、1、2，则表示的点应落在线段（ ）
A．上 B．上 C．上 D．上
6．已知，，则的值为（ ）
A．0.528 B．0.0528 C．0.00528 D．0.000528
7．估计-2的值在( )
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
8．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ）
A．24 B． C．25 D．
9．关于“”，下列说法不正确的是（ ）
A．它是一个无理数
B．它可以表示面积为10的正方形的边长
C．它是与数轴上距离原点个单位长度的点对应的唯一的一个数
D．若,则整数的值为3
10．有下列说法：
①实数和数轴上的点是一一对应的．②无理数是开方开不尽的数．③负数没有立方根．④的平方根是，用式子表示为．⑤若某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是．其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①⑤
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．9的平方根为 ．
12．若一个数的立方根是4，则这个数为 ．
13．若，为有理数且，则的平方根为 ．
14．如图，一根细线上端固定，下端系一小球，让小球来回自由摆动，来回摆动一次所用时间（单位：）与细线长度（单位：）之间满足关系，当细线长度为时，小球来回摆动一次所用的时间是 ．（结果保留）
15．对于实数，，定义运送：如，．照此定义的运算方法计算： ．
三、解答题（共8小题，合计75分）
16．计算：
(1)； (2)．
17．把下列各数写入相应的集合中：，，，，，，，，，，（相邻两个之间的的个数逐次加1）
有理数集合_ _；
无理数集合___ ___；
正实数集合___ ___；
负实数集合__ ____．
18．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根．
19．有理数a、b、c在数轴上的位置如图．
(1)用“＞”或“＜”填空：b﹣c　　0，a+b+3　　0，　　0．
(2)化简：．
20．已知的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
21．临夏刺绣，以其独特的婉约之美，让人沉醉其中．在八坊博物馆中，众多精美的刺绣织物静静陈列，诉说着临夏千年的故事．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为．
(1)求绣布的周长．
(2)刺绣师傅想用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能裁出来吗？请说明理由．（取3）
22．本学期我们在《实数》中，学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容．
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，，那么这个数叫做的平方根或二次方根． 一般地，如果一个数的立方等于，即，，那么这个数叫做的立方根或三次方根．
运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算．
性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
表示方法 正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号”． 一个数的立方根可以用“”表示，读作“三次根号”．
我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根．
(1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：________；
(2)探究性质：
①81的四次方根是______；0的四次方根是_________； _______（填“有”或“没有”）四次方根；
②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_______．
(3)巩固与应用
①计算：； ②比较大小：和．
23．【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传 系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”．这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载．
【问题提出】求等比数列1+a1+a2+a3+…+an的值(a＞0，且a≠1，n是正整数，请写出计算过程)．
【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中a1=1，a2=2，公比为q=2．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)等比数列3，9，27，…的公比q为_____，第5项是_____．
【公式推导】
如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：=q，=q，=q，…，=q．
所以a2=a1 q，
a3=a2 q=a1q q=a1 q2，
a4=a3 q=a1 q2=a1 q3，
…
(2)由此，请你填空完成等比数列的通项公式：an=a1 (_____)．
【拓广探究】
等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前n项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算1+2+22+…+22019+22020的值，采用的方法：
设S=1+2+22+…+22019+22020①，
则2S=2+22+…+22020+22021②，
②-①得2S-S=S=22021-1，
∴S=1+2+22+…+22019+22020=22021-1．
【解决问题】(3)请仿照小明的方法求等比数列1+a1+a2+a3+…+an的值(a＞0，且a≠1，n是正整数，请写出计算过程)．
【拓展应用】(4)计算25+252+253+…+25n的值为_____．(直接写出结果)
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《第八章实数单元测试卷一》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D A C C B C D
1．解：，故选A．
2．解：∵0的立方根是0，1的立方根是1，的立方根是，
∴立方根等于它本身的数是0或1或，故选：C
3．解：A．0为有理数，不符合题意；B．为无理数，符合题意；
C．为有理数，不符合题意；D．为有理数，不符合题意；故选B．
4．解：，，且，，
，，，，．故选：D．
5．解：∵，∴， ∴，∴，
即表示的点P落在线段上．故选：A．
6．C
7．解：∵6<<7，∴4<-2<5，即-2在4和5之间，故选：C．
8．解：将代入计算，第一次：，进行第二次计算，
第二次：，∴输出结果，故选：B．
9．解：A. 它是一个无理数，正确；
B. 可以表示面积为10的正方形的边长，正确；
C.数轴上距离原点个单位长度的点对应的数有±，故不正确；
D. 若,则整数的值为3，正确；故选C.
10．解：实数和数轴上的点是一一对应的，①正确；
无理数包括开方开不尽的数，但也包括如π等非开方数，②错误；
负数有立方根，如的立方根为，③错误；
的平方根是，用式子表示为，④错误；
某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数只能是0，⑤正确；
正确的是①和⑤．故选：D．
11．解：9的平方根为，故答案为：
12．解：，∴这个数为：；故答案为：．
13．解：∵，，，∴，
∴，∴，
∵的平方根为，∴的平方根为．故答案为：．
14．解：把代入关系式得，∴（秒）．
15．解：∵，∴，，
∴；故答案为：．
16．（1）解：；
（2）解：．
17．解：有理数集合：，，，，，，，；
无理数集合：，，（相邻两个之间的的个数逐次加1）；
正实数集合：，，，，，
负实数集合：，，，（相邻两个之间的的个数逐次加1）.
18．解：的平方根是，；
的立方根是2，，∴，∴；
，的算术平方根为．
19．（1）解：由图可得，，，∴b﹣c＜0，a+b+3＞0，＞0；
（2）解：由（1）可得，，，
又∵ ，∴，，，
∴原式．
20．（1）解：的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身，
，，，，，．
（2）解：∵，，，∴，
∵64的平方根为的平方根为．
21．（1）解：设绣布的长为，宽为，
根据题意得：，即，则，
，，，．绣布的长为，宽为，
其周长为．
（2）解：不能裁出来．
理由如下：设完整圆形绣布的半径为，由题意得，
∵取，解得（负值已舍去），
，，不能裁出来．
22．（1）解：根据题意得：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：
一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根．
（2）①根据题意：的四次方根是：，的四次方根是，没有四次方根．
②四次方根的性质：正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根，
（3）①；
②∵，∴，∴．
23．解：(1)等比数列3，9，27，…的公比q为3，
第四项为27×3=81，第五项为81×3=243，
(2) 如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：=q，=q，=q，…，=q．
所以a2=a1 q，a3=a2 q=a1q q=a1 q2，a4=a3 q=a1 q2=a1 q3，…
an=a1.qn-1．故答案为：qn-1．
(3)设S=1+a1+a2+a3+…+an①，则aS=a1+a2+a3+…+an+1②，
②-①得aS-S=(a-1)S=an+1-1，∴．
(4)设S=25+252+253+…+25n，∴25S=252+253+…+25n+1，∴25S-S=25n+1-25，∴．
故答案为：．
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