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第五章 5.2　等差数列 5.2.2　等差数列的前n项和
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.
2.掌握等差数列的前n项和公式,熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系,能够由其中三个求另外两个.
3.了解等差数列前n项和的函数特征.
学习目标
据说,200多年前,高斯的算术老师提出了下面的问题:1+2+3+
…+100=
当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10岁的高斯却用自己独到的方法迅速算出了正确答案,这一独到的方法是什么方法呢 这正是我们这节研究的等差数列求和问题.
引入
高斯(Gauss,1777-1855),德国数学家,近代数学的奠基者之一.他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献.
课时精练
一、等差数列前n项和公式的推导
二、等差数列前n项和的基本运算
三、等差数列前n项和的函数特征
课堂达标
内容索引
等差数列前n项和公式的推导
一
探究1 (1)你能说说高斯用了什么方法解决了他老师提出的问题
(2)你能用高斯的方法求1+2+3+…+n吗
提示　(1)(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5 050.
高斯的算法实际上解决了求等差数列
1,2,3,…,n,…前100项的和的问题.①
对于数列①,设an=n,那么高斯的计算方法可以表示为
(a1+a100)+(a2+a99)+…+(a50+a51)=101×50=5 050.
可以发现,高斯在计算中利用了
a1+a100=a2+a99=…=a50+a51这一特殊关系,这就是等差数列性质的应用,它使不同数的求和问题转化成了相同数(即101)的求和,从而简化了运算.
知识梳理
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公式
温馨提示
等差数列前n项和的基本运算
二
例1
(2)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;
设等差数列{an}的公差为d,
(3)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.
思维升华
已知数列{an}是等差数列,a2=5,a3+a5=22.
(1)求{an}的通项公式;
训练1
设等差数列{an}的公差为d,
则a1+d=5,2a1+6d=22,解得a1=2,d=3,
所以数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=3n-1.
(2)记{an}的前n项的和为Sn,若Sn=155,求n的值.
等差数列前n项和的函数特征
三
探究4 (链接教材P25探索与研究)如果数列{an}的前n项和的公式是Sn=An2+Bn+C,其中A,B,C都是常数,那么{an}一定是等差数列吗
提示　不一定.当C=0时,数列{an}为等差数列.
(链接教材P25例3)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n2+3n,试判断数列{an}是不是等差数列.
例3
Sn=2n2+3n,
则当n=1时,a1=S1=5,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2+3n-2(n-1)2-3(n-1)=4n+1.
又a1=5适合an=4n+1,
∴数列{an}的通项公式是an=4n+1(n∈N+).
当n≥2时,an-an-1=(4n+1)-[4(n-1)+1]=4,
故数列{an}是首项为5,公差为4的等差数列.
已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n-1,求数列{an}的通项公式,并判断它是不是等差数列.
迁移
当n=1时,a1=S1=1,
思维升华
(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=n2+n,则a8=
A.72 B.36
C.18 D.16
训练3
由an=Sn-Sn-1(n≥2,且n∈N+),
得a8=S8-S7=82+8-72-7=16.
√
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn=-2n2+3n+1.求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是否为等差数列.
当n=1时,a1=S1=2;
当n≥2时,an+1-an=-4(n+1)+5-(-4n+5)=-4,
但a2-a1=-3-2=-5,所以数列{an}不是等差数列.
【课堂达标】
1.在等差数列{an}中,S10=120,那么a1+a10=
A.10 B.12
C.20 D.24
√
解得a1+a10=24.
√
3.等差数列{an}中,a1=50,d=-2,Sn=0,则n=　　　　.
即50n-n(n-1)=0,∴n=51.
51
4.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,则它的通项公式an=　　　　　　　　.
当n=1时,a1=S1=-1+1=0;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-n2+n)-[-(n-1)2+(n-1)]=-2n+2,
经检验,a1=0也满足该式.故an=-2n+2(n∈N+).
-2n+2(n∈N+)
【课时精练】
√
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=21,S11=253,Sk=136,则k=
A.6 B.8 C.9 D.14
由数列{an}为等差数列,
√
A.80 B.120
C.135 D.160
√
设等差数列{an}的公差为d,
A.2 B.3 C.4 D.6
√
√
由S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0,则a8=0,
6.(多选)在等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则a1等于
A.-1 B.3
C.5 D.7
由题意知a1+(n-1)×2=11,①
√
√
7.(2024·新课标全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=　　　　.
95
法一　设{an}的公差为d,
由a3+a4=a1+2d+a1+3d=2a1+5d=7,
3a2+a5=3(a1+d)+a1+4d=4a1+7d=5,
解得a1=-4,d=3,则S10=10a1+45d=95.
8.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,且S2 015=S2 026,Sk=S2 014,则正整数k=　　　.
因为等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数,所以由二次函数的对称性及S2 015=S2 026,Sk=S2 014,
2 027
且a1=S1=1,a2=S2-S1=7,
所以公差d=6,所以an=6n-5(n∈N+).
6n-5(n∈N+)
10.已知数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数,且a1=-2,a2=2,a3=6.
(1)求Sn的表达式;
设Sn=an2+bn+c(a≠0).
∵a1=-2,a2=2,a3=6,
∴Sn=2n2-4n.
(2)判断{an}是否为等差数列,并说明理由.
{an}是等差数列,理由如下:
法二　当n=1时,∵a1=S1=2-4=-2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-4n-[2(n-1)2-4(n-1)]=4n-6,
当n=1时,a1=-2符合上式,
∴an=4n-6(n∈N+),
又an+1-an=4(n+1)-6-(4n-6)=4为常数,
∴{an}是等差数列.
√
11.(多选)已知等差数列{an}的前n项和Sn=p+1+(1-p2)n-pn2,则下列结论正确的是
A.p=0 B.p=-1
C.an=2n+1 D.S6=36
由等差数列前n项和的函数特征可知p=-1,
√
则Sn=n2,得a1=1,当n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1,当n=1 时,a1=1 也成立,
故an=2n-1,利用前n项和公式计算得S6=36.
12.已知数列{an}满足a1=1,an+1-an=3(n∈N+),则an=　　　,a4+a7+a10+…+a3n+4
=　　　　　　　.
由题意可知,数列{an}是以1为首项,以3为公差的等差数列,
所以an =1+3(n-1)=3n-2.
3n-2

13. 在①a7+a8=43,②{an}的前7项和为77,③a1+a2=a3-1这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答问题.
已知等差数列{an}中,a1=2,　　　　.
设{an}的公差为d.因为a1=2,
(1)求{an}的通项公式;
b1=a1=2,b6=a2=5,由b6=b1+5d1=5,
14.已知等差数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2,d1-d2=1,a2-b2=1,an+bn=7n-1.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
因为an+bn=7n-1,
所以a2+b2=13.
又a2-b2=1,可得a2=7,b2=6.
因为a1+b1=6,所以(a2+b2)-(a1+b1)=d1+d2=7.
又d1-d2=1,所以d1=4,d2=3.
则an=a2+(n-2)d1=4n-1,bn=b2+(n-2)d2=3n.
(2)求(1,100)中既在数列{an}中,又在数列{bn}中的所有数之和.
由(1)中an=4n-1,b=3n知,数列{an}中在(1,100)之间的数如果能被3整除,

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