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(共52张PPT)
第五章 5.3　等比数列 5.3.1　等比数列
1.了解等比数列的通项公式与函数的关系.
2.掌握等比数列的判定与证明方法.
3.掌握等比数列中的项的设法.
学习目标
上节课我们学习了等比数列的概念与通项公式,你能利用已学知识判断某个数列是否为等比数列吗 这正是这一节我们要研究的问题.
引入
课时精练
一、等比数列与函数的关系
二、等比数列的判定与证明
三、等比数列中项的设法
课堂达标
内容索引
等比数列与函数的关系
一
反之,任给函数f(x)=kax(k,a为常数,k≠0,a>0且a≠1),则f(1)=ka,f(2)=ka2,…,f(n)=kan,…构成一个等比数列{kan},其首项为ka,公比为a.
探究2 类比指数函数的性质,说说公比q>0的等比数列的单调性如何
提示　等比数列{an}的首项为a1,公比为且q>0.
(1)当q>1,a1>0或0(2)当q>1,a1<0或00时,数列为递减数列;
(3)当q=1时,数列为常数列.
知识梳理
ka
a
2.等比数列的单调性
等比数列{an}的首项为a1,公比为q.
(1)当q>1,a1>0或0(2)当q>1,a1<0或00时,数列为递减数列;
(3)当q=1时,数列为常数列;
(4)当q<0时,数列为摆动数列.
(多选)已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则下列能判断{an}为递增数列的有
例1
√
√
由等比数列{an}的首项为a1,公比为q,
已知{an}是递增的等比数列,且a2<0,则其公比q满足
A.q<-1 B.-1C.q>1 D.0迁移
√
{an}是等比数列,故an=a1qn-1,
当q<0时,{an}各项正负项间隔,为摆动数列,故q<0不成立,显然q≠1,
由a2=a1q<0得a1<0,又{an}是递增的等比数列,
故{qn-1}为递减数列,
由指数函数的单调性知0数列的单调性是通过连续两项的大小关系判断的,同时在解决数列相关问题时特别要注意数列的函数本质,也要意识到数列与连续函数的区别.考虑到这两点,与数列的单调性有关的问题便会迎刃而解.
思维升华
设{an}是等比数列,则“a1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
训练1
√
设等比数列{an}的公比为q,
等比数列的判定与证明
二
探究3 若数列{an}的前三项成等比数列,能说明这个数列是等比数列吗
提示　不能,要证明一个数列是等比数列,一定要体现出任意性.
例2
思维升华
训练2
(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
{bn}是首项为1,公比为2的等比数列,
(3)求{an}的通项公式.
所以an=n·2n-1.
等比数列中项的设法
三
三个数成等比数列,其积为64,如果第一个数与第三个数各减去1,则这三个数成等差数列,求这三个数.
例3
因为三个数成等比数列,
本例中的条件若改为“其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2”,试求这三个数.
迁移
思维升华
有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是-8；后三个数依次成等差数列,它们的积为-80.求出这四个数.
训练3
【课堂达标】
√
由公比q<0可知,该等比数列是摆动数列.
2.(链接教材P32例3)在数列{an}中,如果an=32-n(n=1,2,3,…),那么这个数列是
√
因为an=32-n(n=1,2,3,…),
A.公比为2的等比数列 B.公差为3的等差数列
C.首项为3的等比数列 D.首项为3的等差数列

4.有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列,则这四个数的和是　　　　.
设这四个数分别为a,aq,aq2,aq3,
45
【课时精练】
√
1.等比数列{an}中,公比为q,则下列结论正确的是
A.当q>1时,{an}为递增数列 B.当0C.当n∈N+时,anan+2>0成立 D.当n∈N+时,anan+2an+4>0成立
等比数列的单调性由a1,q共同决定,易知A,B不正确;
不论q>0或q<0,an,an+2,an+4同号,
故anan+2>0成立,C正确,D不一定成立.
√
√
不妨设插入两个正数为a,b,即3,a,b,9,
√
由{an}是等差数列,且公差d≠0,得a1,a3,a5是公差为2d的等差数列,故a,b,c成等比数列,若一个数列既是等差数列,又是等比数列,则该数列只能是常数列,而a,b,c不是常数列,故a,b,c不是等差数列.
√
∴a7>1,0∴A正确;B正确;C错误;
T7是数列{Tn}中的最大项,故D正确.
√
√
√
8.已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的通项公式为　　　　.
设公比为q(q>1),
an=2n-1
9.若首项为3的等比数列的第n项是48,第2n-3项是192,则n=　　　　.
5
10.在320与5中间插入5个数,使这7个数成等比数列,求这个等比数列.
设这个等比数列的公比为q,
√
11.(多选)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是公差大于0的等差数列,且a3=b3,a7=b7,则
A.a5=b5 B.a5C.a1>b1 D.a9>b9
设{an}的公比为q(q>0),{bn}的公差为d(d>0),
√
√
即a7=b7>b3=a3,
由上述图象可知,当x∈N+时,两函数图象在n=3,n=7处相交,
所以当4≤n≤6时,anbn.
13.已知数列{an}中,a1=3,an+1=λan-4(λ>1,n∈N+),且a2+2是a1和a2+6的等差中项.
(1)求实数λ的值;
根据题意有a2=λa1-4=3λ-4,
因为a2+2是a1和a2+6的等差中项,
所以2(3λ-4+2)=3+(3λ-4+6),
解得λ=3.
(2)求证:数列{an-2}是等比数列,并求出{an}的通项公式.
由(1)知an+1=3an-4,
14.已知数列{an},{bn}满足:a1=1,a2=a(a为常数),且bn=anan+1(n∈N+).
(1)若数列{an}是等比数列,证明数列{bn}是等比数列,并求其通项公式;
因为数列{an}是等比数列,a1=1,a2=a,
(2)当数列{bn}是等比数列时,甲同学说:数列{an}一定是等比数列;乙同学说:数列{an}一定不是等比数列.你认为他们的说法是否正确 为什么
甲、乙两个同学的说法都不正确,理由如下:
又a1=1,a2=a,∴a1,a3,a5,…,a2n-1,…是以1为首项,q为公比的等比数列;
a2,a4,a6,…,a2n,…是以a为首项,q为公比的等比数列,
即数列{an}为1,a,q,aq,q2,aq2,….
当q=a2时,数列{an}是等比数列;
当q≠a2时,数列{an}不是等比数列.

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