资源简介

(共57张PPT)
第五章
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.
学习目标
一列排好的多米诺骨牌,如果推倒第一张,而且后续的每一张倒下时,能够导致下一张也倒下,则所有的骨牌都能倒下.保证每张骨牌倒下的原因有哪些 由此如何理解数学归纳法的原理,这正是这一节我们要讲的内容.
引入
课时精练
一、数学归纳法的定义
二、用数学归纳法证明等式
三、用数学归纳法证明不等式
课堂达标
内容索引
四、用数学归纳法证明几何问题
数学归纳法的定义
一
数学归纳法
一个与________有关的命题,如果
(1)当n=n0时,命题成立;
(2)在假设n=_________________时命题成立的前提下,能够推出n=________时命题也成立.那么,这个命题对______________的所有自然数都成立.
知识梳理
自然数
k+1
大于等于n0
数学归纳法两个步骤的联系
第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推的依据,这两个步骤缺一不可,只完成第一步而缺少第二步就作出判断,可能得出不正确的结论.因为单靠第一步,无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否正确,我们无法判定,同样只有第二步而缺少第一步时,也可能得出不正确的结论,缺少第一步这个基础,假设就失去了成立的前提,第二步也就没有意义了.
温馨提示
例1
则上述证法
A.过程全部正确
B.n=1验得不正确
C.归纳假设不正确
D.从n=k到n=k+1的推理不正确
√
从n=k到n=k+1的推理过程中未用到②中假设,所以不正确,故选D.
数学归纳法是一种只适用于与自然数有关的命题的证明方法,它们的表述严格而且规范,两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在第二步的证明中一定要运用它,否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设,二凑结论”.在用数学归纳法证明问题的过程中,还要注意从k→k+1时命题中的项与项数的变化,防止项数估算错误.
思维升华
训练1
√
√
用数学归纳法证明等式
二
探究2 (链接教材P54尝试与发现)以下是某人给出的关于2+4+6+…+2n=n2 +n+1.②
对所有正整数都成立的证明,这个证明有问题吗 由此你能得到什么启发
证明:假设当n=k时, ②式成立,即
2+4+6+…+2k=k2 + k+1,
则2+4+6+…+2k+2(k+1)
= k2+k+1+2(k+1)
= (k+1)2+(k+1)+1
所以此时n=k+1也成立,
②式对任何n∈N+都成立.
提示　显然②式是不成立的,因为当n=1时, ②式左边=2,右边=3.此时②式是不成立的,事实上尝试与发现中给出的证明,只是数学归纳法证明中的第(2)部分,这就说明数学归纳法证明是(1)与(2)缺一不可,事实上,(1)是(2)的基础,只有确定了n0时命题成立,后续的推导才会有意义.
(链接教材P53例1)求证:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N+).
例2
(1)当n=1时,左边=1+1=2,
=2k·1·3·…·(2k-1)(2k+1)·2
=2k+1·1·3·…·(2k-1)·[2(k+1)-1]=右边.
∴当n=k+1时,等式也成立.
由(1)(2)可知,对一切n∈N+,原等式均成立.
思维升华
用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题,关键在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关,由n=k到n=k+1时,等式两边会增加多少项,增加怎样的项.
训练2
(1)当n=1时,左边=12,
用数学归纳法证明不等式
三
例3
思维升华
1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.
2.用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,证明时运用归纳假设后,可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.运用放缩法时,要注意放缩的“度”.
训练3
①当n=1时,左边=1,右边=2,左边<右边,不等式成立.
用数学归纳法证明几何问题
四
(链接教材P54例2)已知n个平面都过同一点,但其中任何三个平面都不经过同一直线,求证:这n个平面把空间分成f(n)=n(n-1)+2部分.
例4
(1)当n=1时,1个平面把空间分成2部分,而f(1)=1×(1-1)+2=2(部分),所以命题正确.
(2)假设当n=k(k∈N+)时,命题成立,即k个符合条件的平面把空间分为f(k)
=k(k-1)+2(部分),
当n=k+1时,第k+1个平面和其他每一个平面相交,使其所分成的空间都增加2部分,所以共增加2k部分,
故f(k+1)=f(k)+2k=k(k-1)+2+2k=k(k-1+2)+2=(k+1)[(k+1)-1]+2(部分),
即当n=k+1时,命题也成立.
根据(1)(2),知n个符合条件的平面把空间分成f(n)=n(n-1)+2部分.
思维升华
用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k增加到k+1时,所证的几何量增加多少,同时要善于利用几何图形的直观性,建立k与k+1之间的递推关系.
训练4
【课堂达标】
1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n-2)π”时,归纳奠基中n0的取值应为
A.1 B.2
C.3 D.4
√
边数最少的凸n边形为三角形,故n0=3.
√
当n=1时,n+1=2,故左边所得的项为1+a+a2.
A.1 B.1+a+a2
C.1+a D.1+a+a2+a3
3.用数学归纳法证明关于n的恒等式时,当n=k时,表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)
=k(k+1)2,则当n=k+1时,表达式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
当n=k+1时,应将表达式1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2中的k更换为k+1.
1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)·(3k+4)=(k+1)(k+2)2
4.以下是用数学归纳法证明“n∈N+时,2n>n2”的过程,证明:(1)当n=1时,21>12,不等式显然成立.
(2)假设当n=k(k∈N+)时不等式成立,即2k>k2.
那么,当n=k+1时,2k+1=2×2k=2k+2k>k2+k2≥k2+2k+1=(k+1)2.
即当n=k+1时不等式也成立.
根据(1)和(2),可知对任何n∈N+不等式都成立.其中错误的步骤为　　(填序号).
(2)
在2k+1=2×2k=2k+2k>k2+k2≥k2+2k+1中用了k2≥2k+1,这是一个不确定的结论.如k=2时,k2<2k+1.
【课时精练】
√
1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N+),第一步验证
A.n=1 B.n=2
C.n=3 D.n=4
由题意知,n的最小值为3,所以第一步验证n=3是否成立.
√
2.若凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角线的条数f(n+1)=
A.f(n)+n+1 B.f(n)+n
C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2
增加一个顶点,就增加(n+1-3)条对角线,另外原来的一边也变成了对角线,
所以f(n+1)=f(n)+1+(n+1-3)=f(n)+n-1.
√
当n=k时,等式左边=1+2+…+k2,当n=k+1时,等式左边=1+2+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2.
√
4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥2),且a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜想an=
√
5.若k(k≥3,且k∈N+)棱柱有f(k)个对角面,则(k+1)棱柱的对角面个数f(k+1)为
A.f(k)+k+1 B.f(k)+k
C.f(k)+k-1 D.f(k)+k-2
三棱柱有0个对角面,四棱柱有2个对角面,五棱柱有5个对角面,六棱柱有9个对角面,…猜想:若k棱柱有f(k)个对角面,则(k+1)棱柱有f(k)+k-1个对角面.
6.(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”,则下列命题不能总成立的是
A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立
B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立
C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立
√
√
√
根据题意,
对于A,当k=1或2时,不一定有f(k)≥k2成立;
对于B,不能得出:任意的k≤5时,
有f(k)≥k2成立;
对于C,若f(7)<49成立,不能推出当k≥8时,均有f(k)对于D,∵f(4)=25≥42,
∴当k≥4时,均有f(k)≥k2.
7.若f(n)=12+22+32+…+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的递推关系式是_________________
__________.
∵f(k)=12+22+…+(2k)2,
f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2,
∴f(k+1)-f(k)=(2k+1)2+(2k+2)2,
即f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.
f(k+1)=f(k)+(2k+1)2
+(2k+2)2
9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N+),依次计算出
S1,S2,S3,S4后,可猜想Sn的表达式为　　　　　　.
√
11.(多选)已知一个命题p(k),k=2n(n∈N+),若当n=1,2,…,1 000时,p(k)成立,且当n=1 001时也成立,则下列判断中正确的是
A.p(k)对k=528成立
B.p(k)对每一个自然数k都成立
C.p(k)对每一个正偶数k都成立
D.p(k)对某些偶数可能不成立
√
由题意知p(k)对k=2,4,6,…,2 002成立,当k取其他值时不能确定p(k)是否成立.



13.设函数y=f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.
(1)求f(0)的值;
(2)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)的值;
(1)令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0 f(0)=0.
(2)f(1)=1,f(2)=f(1+1)=1+1+2=4,f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9,
f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16.
(3)在(2)的条件下,猜想f(n)(n∈N+)的表达式,并用数学归纳法加以证明.
猜想f(n)=n2,
下面用数学归纳法证明.
当n=1时,f(1)=1满足条件.
假设当n=k(k∈N+)时成立,即f(k)=k2,
则当n=k+1时,f(k+1)=f(k)+f(1)+2k=k2+1+2k=(k+1)2,
从而可得当n=k+1时满足条件,
所以对任意的正整数n,都有f(n)=n2.
14.将正整数进行如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),
(16,17,18,19,20,21)……分别计算各组包含的正整数的和如下:
S1=1,
S2=2+3=5,
S3=4+5+6=15,
S4=7+8+9+10=34,
S5=11+12+13+14+15=65,
S6=16+17+18+19+20+21=111,
…
(1)求S7的值;
S7=22+23+24+25+26+27+28=175.
(2)由S1,S1+S3,S1+S3+S5,S1+S3+S5+S7的值,试猜测S1+S3+…+S2n-1的结果,并用数学归纳法证明.
S1=1;S1+S3=16;S1+S3+S5=81;S1+S3+S5+S7=256;

展开更多......

收起↑