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(共62张PPT)
第五章 5.3　等比数列 5.3.2　等比数列的前n项和
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.
3.掌握等比数列前n项和的函数特征.
学习目标
相传国际象棋起源于古印度,是西萨发明的.国王要奖励西萨, 西萨说:“请在棋盘第1个格子里放1颗麦粒,在第2个格子里放2颗麦粒,在第3个格子里放4颗麦粒,在第4个格子里放8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一格子里所放麦粒数的2倍,直到第64个格子.请给我足够粮食来实现上述要求!”你知道西萨要多少粒小麦吗 国王能满足西萨的要求吗 通过这节课的学习,你就能知道答案了.
引入
课时精练
一、等比数列前n项和公式的推导
二、等比数列中与前n项和有关的基本运算
三、等比数列前n项和的函数特征
课堂达标
内容索引
等比数列前n项和公式的推导
一
探究1 (链接教材P38尝试与发现)如图所示,如果一个人得到某个信息之后,就将这个信息传递给3个不同的好友(称为第1轮传播),每个好友收到信息后又都传给了3个不同的好友(称为第2轮传播)……依次下去,假设传的过程中都是传给不同的人,则每一轮传播,信息传播的人数构成了一个等比数列:
1,3,9,27,81, …
如果信息按照上述方式共传播了19轮,那么知晓这个信息的人共有多少
知识梳理
温馨提示
(1)(链接教材P39例1)在等比数列{an}中,a1=4,a4=32,则数列{an}的前10项的和为
A.211-2 B.212-2
C.211-4 D.212-4
例1
√
设等比数列{an}的公比为q,则a4=a1q3,即32=4q3,解得q=2,
(2)(链接教材P39例2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a2=3,a5=81,则S5=　　.
121
求等比数列前n项和,要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比,应特别注意q=1是否成立.
思维升华
训练1
√
设等比数列{an}的公比为q,
17
等比数列中与前n项和有关的基本运算
二
(链接教材P43习题5-3BT1)在等比数列{an}中.
(1)S2=30,S3=155,求Sn;
例2
(3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求公比q.
因为a2an-1=a1an=128,
思维升华
解决等比数列问题常用的思想方法
(1)方程思想:等比数列中的“知三求二”问题就是方程思想的重要体现.
(2)分类讨论思想:由等比数列前n项和公式、an与Sn的关系等知识可知,解答等比数列问题时常常要用到分类讨论思想.
特别注意:等比数列前n项和的计算,要优先讨论公比q=1的情况.
训练2
(2)已知S4=1,S8=17,求an.
若q=1,则S8=2S4,不符合题意,
等比数列前n项和的函数特征
三
知识梳理
A(qn-1)
等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数.
温馨提示
(链接教材P40例3)数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式,并判断{an}是不是等比数列.
例3
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2×3n-1.
法一　由于a1=1,a2=6,a3=18,显然a1,a2,a3不是等比数列,故{an}不是等比数列.
法二　由等比数列{an}的公比q≠1时的前n项和Sn=Aqn+B满足的条件为A=-B,对比可知Sn=3n-2,-2≠-1,故{an}不是等比数列.
思维升华
已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
训练3
由题意得a1=S1=1+λa1,
【课堂达标】
1.已知各项均为正数的数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和,若S3=7a3,且a2与a4的等差中项为5,则S5=
A.29 B.31
C.33 D.35
√
设等比数列{an}的公比为q(q>0),
由S3=7a3,得a1+a2+a3=7a3,
所以6a3-(a1+a2)=0,即6q2-q-1=0,
2.等比数列1,x,x2,x3,…的前n项和Sn等于
√
当x=1时,Sn=n;
由题意设数列{an}的首项为a1,
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【课时精练】
√
1.已知Sn为数列{an}的前n项和,若S2=6,an+1=2an,则S100=
A.252-4 B.252-2
C.2100-2 D.2101-2
因为an+1=2an,
√
2.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=
A.7 B.8 C.9 D.10
因为S 4=4,S4=6,易知公比q≠±1,
√
√
4.若等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+a,则a3a5等于
A.4 B.8
C.16 D.32
等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+a,
n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1+a-(2n-2+a),
化简得an=2n-2.
则a3a5=2×23=16.
√
5.已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则“q>1”是“Sn-1+Sn+1>2Sn”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
若Sn-1+Sn+1>2Sn,
则Sn+1-Sn>Sn-Sn-1,
即an+1>an,所以数列{an}为递增数列;
若a1<0,0an;
所以“q>1”是“Sn-1+Sn+1>2Sn”的既不充分也不必要条件.
6.(多选)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,Sn=a·bn+c,a,b,c∈R,则
A.ac<0 B.b是数列{an}的公比
C.数列{Sn}可能为等比数列 D.数列{an}不可能为常数列
设等比数列{an}的公比为q,若q=1,则Sn=na1,此时Sn是关于n的一次函数,数列{an}为常数列,而Sn=a·bn+c不是关于n的一次函数,所以q≠1,数列{an}不可能为常数列,故D正确;
因为q≠1,
√
√
√
设等比数列{an}的公比为q,

8.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,2Sn=an+1-1,则Sn=　　　　.
当n=1时,则有2S1=a2-1,

9.已知Sn为等比数列{an}的前n项和,Sn=93,an=48,公比q=2,则项数n=　,a1=　　.
5
由Sn=93,an=48,公比q=2,
3
10.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.
(1)求数列{an}的公比q;
依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),由于a1≠0,故2q2+q=0.
(2)若a1-a3=3,求Sn.
√
√
A中,因为Sn=an2+bn+c,当n=1时,a1=S1=a+b+c,
C中,数列{an}是等差数列,Sn为前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…是公差为n2d(d为数列{an}的公差)的等差数列,故C正确;
D中,当等比数列的公比为-1时,S2,S4-S2,S6-S4,…是常数列0,0,0,…,不是等比数列,故D错误.
12.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=a2=1,当n≥2时,Snan=Sn-1an+1,则Sn=　　　;a12=　　　　.
因为当n≥2时,Snan=Sn-1an+1,
2n-1
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(2)若bn=n,a2=3,求数列{an}的通项公式.
若bn=n,则2Sn=nan+2n,
∴2Sn+1=(n+1)an+1+2(n+1),两式相减,得2an+1=(n+1)an+1-nan+2,
即nan=(n-1)an+1+2,
当n≥2时,(n-1)an-1=(n-2)an+2,
两式相减,得(n-1)an-1+(n-1)an+1=2(n-1)an,
即an-1+an+1=2an,又由2S1=a1+2,S1=a1,得a1=2,又a2=3,
∴数列{an}是首项为2,公差为3-2=1的等差数列,
∴数列{an}的通项公式是an=n+1.
14.数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=3,a2=0,an=6Sn-2,n≥3,n∈N+.
(1)证明:数列{Sn+1+2Sn}为等比数列;
数列{an}的前n项和Sn满足an=6Sn-2,n≥3,n∈N+.
(2)求数列{an}的通项公式.
由(1)可得Sn+2Sn-1=9·3n-2=3n,

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