资源简介

课时作业3　二次函数与二次不等式、二次方程
基础巩固
1.(2025浙江7月学考)函数f(x)=的定义域为(　　)
A.(-3,0) B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3]∪[3,+∞) D.(-3,3)
2.(2024浙江嘉兴高一阶段练习)对任意的x∈(0,+∞),x2-2mx+1>0恒成立,则m的取值范围为(　　)
A.(-1,1) B.(-∞,1)
C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
3.在R上定义运算 :a b=ab+2a+b,则不等式x (x-2)>0的解集为(　　)
A.(0,2) B.(-2,1)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2)
4.已知a∈R,则“a≥1”是“关于x的一元二次方程ax2-2x+1=0没有实数根”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(2025浙江丽水期末)已知不等式x2+bx+c<0的解集为(3,4),则cx2+bx+1>0的解集为(　　)
A.(-,-) B.(-∞,-)∪(-,+∞)
C.() D.(-∞,)∪(,+∞)
6.已知f(x)=2ax2-2(4-a)x+1,g(x)=ax,若对任意x∈R,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,2) B.(0,8)
C.(2,8) D.(-∞,0)
7.(多选)若函数y=x2-4x-2的定义域为[0,m],值域为[-6,-2],则实数m的值可能为(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
8.(多选)已知关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是(x1,x2)(x1A.x1+x2=2 B.x1x2<-3
C.x2-x1>4 D.-19.设p:|x-1|≤1,q:x2-(2m+1)x+(m-1)(m+2)≤0.若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是　 .
10.(2024浙江杭州高一月考)若关于x的不等式x2+2x<对任意的a>0,b>0恒成立,则实数x的取值范围是　 .
11.已知函数f(x)=x2-ax+b,a,b∈R.
(1)若函数f(x)在(-,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若不等式f(x)能力提升
12.(2024浙江丽水阶段测试)已知min{a,b}=设f(x)=min{x-2,-x2+4x-2},则函数f(x)的最大值是(　　)
A.-2 B.1 C.2 D.3
13.(多选)若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤1(a>0)的解集为{x|-1≤x≤2},则3a+2b+c的值可以是(　　)
A. B. C. D.
14.(2024浙江大学附中期末)已知函数f(x)=4x-2x+1+4,x∈[-1,1],则函数y=f(x)的值域为　　　　　.
15.设函数f(x)=x+1,g(x)=x2-x+2a,若 x1∈[-2,0], x2∈[-1,1],使得f(x1)=g(x2),则a的取值范围为　　　　　.
16.函数g(x)=x2-2ax+2a-1.
(1)若g(x)的最小值为0,求a的值;
(2)对于集合A={m|1≤m≤5},若 m∈A, x∈[-2,2],使得m=g(x)成立,求实数a的取值范围.
参考答案
基础巩固
1.C　解析 因为x2-9≥0,所以x≥3或x≤-3,即函数f(x)=的定义域为(-∞,-3]∪[3,+∞).故选C.
2.B　解析 对任意的x∈(0,+∞),x2-2mx+1>0恒成立,即对任意的x∈(0,+∞),2m3.C　解析 由a b=ab+2a+b可知x (x-2)=x(x-2)+2x+x-2>0,即有x2+x-2>0,解得x<-2或x>1.故选C.
4.B　解析 一元二次方程ax2-2x+1=0没有实数根,则Δ=4-4a<0,即a>1,故a≥1是一元二次方程ax2-2x+1=0没有实数根的必要不充分条件.故选B.
5.D　解析 因为不等式x2+bx+c<0的解集为(3,4),所以3,4是方程x2+bx+c=0的两个实数根,由根与系数的关系可知b=-7,c=12,代入cx2+bx+1>0,可得12x2-7x+1>0,解得x<或x>,所以cx2+bx+1>0的解集为(-∞,)∪(,+∞).故选D.
6.B　解析 若a=4,则f(x)=8x2+1,g(x)=4x,满足题意,可排除A,D;若a=2,则f(x)=4x2-4x+1=(2x-1)2,g(x)=2x,显然满足题意.故选B.
7.ABC　解析 函数y=x2-4x-2的图象如图所示,因为函数在[0,m]上的值域为[-6,-2],结合图象可得2≤m≤4,故选ABC.
8.ABC　解析 因为关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是(x1,x2)(x14,由x2-x1>4,x1+x2=2易得-19.[0,1]　解析 不等式|x-1|≤1的解集为[0,2],不等式x2-(2m+1)x+(m-1)(m+2)≤0的解集为[m-1,m+2],由题意知[0,2] [m-1,m+2],∴等号不能同时成立,解得0≤m≤1.
10.(-4,2)　解析 因为关于x的不等式x2+2x<对任意的a>0,b>0恒成立,所以x2+2x<()min.
由基本不等式可知≥2=8,当且仅当a=4b时,等号成立,即x2+2x<8,解得-411.解 (1)由题意得≤-,解得a≤-1,
故实数a的取值范围为(-∞,-1].
(2)不等式f(x)依题意可得-3,2是方程x2-(a+1)x+b+1=0的两个根,所以解得
所以不等式<0等价于(5-2x)(2x+7)<0,
所以解集为(-∞,-)∪(,+∞).
能力提升
12.B　解析 当x-2≤-x2+4x-2,即x∈[0,3]时,f(x)=x-2,在x∈[0,3]上单调递增,所以f(x)max=f(3)=3-2=1;当x-2>-x2+4x-2,即x∈(-∞,0)∪(3,+∞)时,f(x)=-x2+4x-2=-(x-2)2+2,在(-∞,0)内单调递增,在(3,+∞)上单调递减,因为f(0)=-2,f(3)=1,所以f(x)13.BC　解析 设f(x)=ax2+bx+c,其中a>0,
因为不等式0≤ax2+bx+c≤1(a>0)的解集为{x|-1≤x≤2},所以f(x)恒大于等于零且f(-1)=f(2)=1,故Δ≤0,即b2-4ac≤0①,且a-b+c=1②,
4a+2b+c=1③,
由②③可得b=-a,c=1-2a,
代入①,可得9a2-4a≤0,解得0≤a≤,由a>0知0结合选项,3a+2b+c的值可能是.故选BC.
14.[3,4]　解析 设t=2x,因为x∈[-1,1],所以t∈[,2],此时f(x)=g(t)=t2-2t+4=(t-1)2+3,当t=1,即x=0时,函数取得最小值,此时最小值为f(0)=3,当t=2,即x=1时,函数取得最大值,此时最大值为f(1)=4.故函数y=f(x)的值域为[3,4].
15.[-,-]　解析 因为 x1∈[-2,0], x2∈[-1,1],使得f(x1)=g(x2),所以f(x)在[-2,0]上的值域是g(x)在[-1,1]上的值域的子集.因为f(x)在[-2,0]上的值域为[-1,1],所以g(x)max≥1且g(x)min≤-1,又因为g(x)=x2-x+2a图象的对称轴为直线x=,开口向上,所以当x∈[-1,1]时,g(x)max=g(-1)=2a+2,g(x)min=g()=2a-,所以2a+2≥1且2a-≤-1,解得-≤a≤-,所以a的取值范围为[-,-].
16.解 (1)因为函数g(x)=x2-2ax+2a-1的值域为[0,+∞),所以Δ=(-2a)2-4(2a-1)=0,解得a=1.
(2)由题意可知函数g(x)=x2-2ax+2a-1的图象开口向上,对称轴为直线x=a,
①当a≤-2时,函数g(x)在[-2,2]上单调递增,
则g(x)min=g(-2)=6a+3,g(x)max=g(2)=-2a+3,
故此时a≤-2;
②当-2g(x)min=g(a)=-a2+2a-1,g(x)max=g(2)=-2a+3,故此时-2③当0④当a≥2时,g(x)在[-2,2]上单调递减,
∴g(x)max=g(-2)=6a+3,g(x)min=g(2)=-2a+3,
故此时a≥2.
综上所述,实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[,+∞).(共19张PPT)
第3讲
二次函数与二次不等式、二次方程
数 学
目标导航 建网络
教材核心知识 课标要求
从函数观点看一元二次方程 会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数
从函数观点看一元二次不等式 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义
从函数观点求解一元二次不等式 能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集
三个“二次” 借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系
知能构建 强技能
1.三个“二次”的关系
求一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集时,设相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,且x1≤x2,Δ=b2-4ac,则不等式的解的各种情况如表所示:
项目 判别式
Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1项目 判别式
Δ>0 Δ=0 Δ<0
ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|xx2} ｛x|x≠- R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x12.解一元二次不等式的基本步骤
实战演练 明方向
考向1　 二次函数
典例1(多选)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象不可能是(　　)
ABC
解析 对于A,观察直线y=bx+a的图象,可知其斜率b>0,截距a>0,由此得y=ax2+bx的图象开口向上,对称轴方程x=-,-<0,而A中的二次函数图象对称轴在y轴右侧,矛盾,A中的图象是不可能的,即A符合题意;对于B,观察直线y=bx+a的图象,可知其斜率b<0,截距a<0,由此得y=ax2+bx的图象开口向下,对称轴方程x=-,-<0,而B中的二次函数图象开口向上,矛盾,B中的图象是不可能的,即B符合题意;对于C,观察直线y=bx+a的图象,可知其斜率b>0,截距a>0,由此得y=ax2+bx的图象开口向上,对称轴方程x=-,-<0,而C中的二次函数图象开口向下,矛盾,C中的图象是不可能的,即C符合题意;对于D,观察直线y=bx+a的图象,可知其斜率b>0,截距a<0,由此得y=ax2+bx的图象开口向下,对称轴方程x=-,->0,D中的二次函数图象刚好满足,D中的图象是可能的,即D不符合题意.
归纳总结二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象由以下几方面确定:二次项系数a决定开口方向,二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式Δ=b2-4ac决定二次函数图象是否与x轴相交及交点横坐标,再由图象的对称轴方程为x=-,顶点坐标(-),可画出二次函数的图象.
考向2　 二次不等式
典例2(2023浙江学考)不等式(x-e)(ex-1)<0(其中e为自然对数的底数)的解集是 (　　)
A.{x|0C.{x|x<0或x>1} D.{x|x<0或x>e}
解析 不等式(x-e)(ex-1)<0等价于(x-e)x<0,故解集为{x|0B
归纳总结解二次不等式,可利用二次函数的图象的开口方向、与x轴的交点来求.当二次项系数为字母a时,要注意分a>0,a=0,a<0讨论.典例2利用等价转化把不等式(x-e)(ex-1)<0转化为常规的一元二次不等式,简化解题.
考向3　 二次函数、二次方程、二次不等式的综合
ACD
归纳总结“三个二次”的核心是二次函数及图象,二次函数的图象与x轴是否相交及交点由二次方程决定,由二次函数的图象可以求出二次不等式的解集、二次函数的值域和单调区间.
考向4　 三个“二次”中的参数问题
典例4已知函数f(x)=ax2+bx-6,不等式f(x)≤0的解集为[-3,2].
(1)求实数a,b的值;
(2)若不等式mf(x)+6m归纳总结参数范围问题是最重要的数学问题之一,常见处理方式有:一是对参数进行分类讨论;二是分离参数,转化为求函数最值;三是数形结合,利用函数图象解决问题.在多参数问题中,要分清主元和次元,如典例4(2)中不等式mf(x)+6m

展开更多......

收起↑