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第4讲
函数的概念与性质
数 学
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教材核心知识 课标要求
函数的概念 用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域
函数的表示 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,理解函数图象的作用,了解简单的分段函数并能简单应用
函数的单调性与最值 借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大(小)值,理解它们的作用和实际意义
函数的奇偶性 结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义
知能构建 强技能
1.函数的概念及其表示
(1)函数的概念:设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)函数的三要素:定义域、对应关系、值域.
(3)函数的表示:解析法、图象法、列表法.
2.函数的单调性与最值
(1)增函数、减函数:设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.
(2)函数的最值:设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(或f(x)≥M);②存在x0∈I,使f(x0)=M.那么称M是函数y=f(x)的最大值(或最小值).
3.函数的奇偶性
(1)定义:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x)),那么函数f(x)就叫做偶(奇)函数.
(2)性质:偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称.
4.反函数
函数y=ax与y=logax(a>0,a≠1)互为反函数,它们的定义域和值域正好互换;它们的图象关于直线y=x对称.
只有定义域到值域的对应法则是一一对应的函数才有反函数.求一个函数的反函数,把x表示成y的函数,再把x,y互换.
实战演练 明方向
考向1　 函数的概念
CD
归纳总结决定一个函数的三要素:定义域、值域、对应法则,值域可由定义域和对应法则决定,因此当且仅当定义域、对应法则相同的函数才是同一个函数.
考向2　 函数的定义域和值域
典例2函数f(x)=的定义域是(　　)
A.{x|x>2} B.{x|x<2}
C.{x|x≠2} D.R
C
典例3(2024浙江7月学考)函数f(x)=2x+1的值域是(　　)
A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
C
解析 函数y=2x的值域是(0,+∞),即2x>0,可得f(x)=2x+1>1,
所以f(x)=2x+1的值域是(1,+∞).故选C.
归纳总结函数的值域是十分重要且应用广泛的函数性质,求参数取值范围可以归结为求函数的值域.求函数的值域最常用的是利用函数的单调性,也可以利用方程思想解决问题.
考向3　 分段函数与复合函数
典例4(2025浙江7月学考)函数f(x)=已知a∈R,则f(f(a))=　　　.
0
解析 |a|≤1时,f(a)=0,f(f(a))=f(0)=0;
|a|>1时,f(a)=<1,f(f(a))=f()=0.
综上所述,f(f(a))=0.
典例5(多选)函数f(x)=2|x|,g(x)=x2-ax(a∈R),若f[g(1)]=2,则实数a的值可能为
(　　)
A.1 B.2 C.3 D.0
BD
解析 根据题意得,g(1)=1-a,则f[g(1)]=f(1-a)=2|1-a|=2,即|1-a|=1,解得a=0或a=2.故选BD.
归纳总结分段函数是学考高频考点,在求函数值、方程的解、函数性质中经常出现,分段函数由两段函数拼接而成,既要分段研究两段函数,又要把握两段函数之间的关系.
求复合函数值要逐层代入,解复合函数方程则需要逐层分解.
考向4　 函数的单调性
典例6(1)已知函数f(x)=x2-2ax+b在区间(-∞,1]上是减函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.[-1,+∞) D.(-∞,-1]
A
解析函数f(x)=x2-2ax+b图象的对称轴为x=a,函数在区间(-∞,1]上是减函数, ∴a≥1.故选A.
(-∞,0)
考向5　 函数的奇偶性
典例7(2024浙江7月学考)奇函数f(x)=x3+x+a,则a=　　　　　.
0
解析 因为函数f(x)=x3+x+a为R上的奇函数,所以f(0)=0,即a=0,则f(x)=x3+x.
f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-f(x),符合题意,所以a=0.
典例8(2023浙江学考)已知f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x)+f(2-x)=4,则
f(2 023)=____________.
2
解析 由f(x)+f(2-x)=4可知f(1)=2且f(x+2)+f(-x)=4,又f(x)是偶函数,
∴f(x)=f(-x),
∴f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),故函数f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(2 023)=f(-1)=f(1)=2.
归纳总结判断函数的奇偶性的方法有:定义法、图象法.
例8涉及一个重要结论,具有两条对称轴或两个对称中心或一条对称轴和一个对称中心的“双对称函数”是周期函数,最小正周期等于两条相邻对称轴或两个相邻对称中心的2倍,或相邻对称中心和对称轴的4倍,在例8中x=0和(1,2)是函数图象的对称轴和对称中心,故周期为4.
考向6　 函数的图象
典例9(2021浙江学考)已知函数f(x)=2|x|+ax2,a∈R,则f(x)的图象不可能是 (　　)
D
归纳总结函数图象也是高频考点,判断函数的图象要用到函数性质的各个方面,先由定义域、值域、奇偶性判断函数图象的大致分布,再利用单调性确定图象的走向,还要利用渐近线确定图象的趋势,结合特殊点作出判断.课时作业4　函数的概念与性质
基础巩固
1.函数f(x)=的定义域是(　　)
A.(-∞,1) B.[1,+∞)
C.(-∞,-1) D.[-1,+∞)
2.函数f(x)=的图象大致是(　　)
3.(2024浙江7月学考)若f(x+y)=f(x)+f(y)+xy,f(1)=1,则f(-20)=(　　)
A.55 B.190
C.210 D.231
4.关于函数f(x)=,下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最小值为1
B.f(x)的图象不具备对称性
C.f(x)在[-2,+∞)上单调递增
D.对任意x∈R,均有f(x)≤1
5.(2024浙江杭州高一月考)已知函数f(x)=则函数f(x)的最大值为(　　)
A.2+2 B.2-2
C.-1 D.1
6.(多选)下列函数是增函数的是(　　)
A.f(x)=2x+1 B.f(x)=2x+
C.f(x)=2x-1 D.f(x)=
7.已知函数f(x)=为奇函数,则实数a的值为　　　　.
8.(2025浙江阶段练习)已知函数f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=x2-2x,则当x>0时,f(x)=　　　　.
9.已知函数f(x)=2x+,若f(3m-1)10.已知二次函数f(x)=x2-2x-1.
(1)当x∈[-2,2]时,求函数f(x)的值域;
(2)若f(x)在区间[2a,a+2]上是单调函数,求实数a的取值范围.
11.已知函数f(x)=x2+ax+b.
(1)若对任意的实数x∈R都有f(1+x)=f(1-x)成立,求实数a的值;
(2)若f(x)在(-∞,1]上单调递减,求实数a的取值范围;
(3)若函数g(x)=sin x·f(x)为奇函数,求实数a的值.
12.已知函数f(x)=
(1)求f(f())的值;
(2)若f(a)=3,求a的值;
(3)解不等式f(x)>f(1).
能力提升
13.(2025浙江7月学考)已知函数f(x)的定义域为R,且y=f(1-x)为奇函数,当x<1时,f(x)=x2-4,则f(1)+f(2)=(　　)
A.-7 B.-4 C.-3 D.4
14.已知函数f(x)=若f(x)的最小值为6,则实数a的取值范围是　　　　　.
15.(2024浙江杭州月考)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1),则f(f(1))=　　　,若函数f(x)的值域为[3,+∞),则实数a的取值范围是　　　　　　.
16.已知函数f(x)=x2+ax+2.
(1)当a=3时,解不等式f(x)<0;
(2)当x∈[1,2]时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围;
(3)若关于x的不等式f(x)-2ax≥0在[1,2]上有解,求实数a的取值范围.
参考答案
基础巩固
1.D　解析 ∵x+1≥0,∴x≥-1,即函数f(x)=的定义域为[-1,+∞).故选D.
2.A
3.B　解析 令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),可得f(0)=0;
令x=1,y=-1,则f(0)=f(1)+f(-1)-1,则f(1)+f(-1)=1=f(1),可得f(-1)=0;
令y=-1,则f(x-1)=f(x)+f(-1)-x=f(x)-x,即f(x-1)-f(x)=-x,
则f(-2)-f(-1)=1,f(-3)-f(-2)=2,……,f(-20)-f(-19)=19,
可得f(-20)-f(-1)=1+2+…+19=190,
所以f(-20)=190.故选B.
4.D　解析 对于函数y=x2+4x+5=(x+2)2+1,其在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,图象关于直线x=-2对称,且有最小值1.所以对于函数f(x)=,其图象同样关于直线x=-2对称,且在[-2,+∞)上单调递减,在(-∞,-2]上单调递增,所以函数有最大值1,即对任意x∈R,均有f(x)≤1.故选D.
5.B　解析 当x<0时,y=x++2≤2-2,当且仅当x=-时,等号成立;当x≥0时,y=-x2-1≤-1.因为2-2-(-1)=3-2>0,所以函数f(x)的最大值为2-2.故选B.
6.ACD　解析 A,C显然正确;在B选项中,f(x)有增有减,不符合题意;对于D,函数y=x-在(1,+∞)上单调递增,y=-(x-1)2在(-∞,1]上单调递增,又f(1)=0,且当x>1时,f(x)>0,当x≤1时,f(x)≤0.故D正确.故选ACD.
7.-1　解析 (方法1)因为f(-x)=-f(x),所以=-,
所以-1-a=1+a,解得a=-1.
(方法2)因为函数f(x)是奇函数,所以f(-1)=0=-f(1)=-2(1+a),解得a=-1.
经检验,当a=-1时,f(x)=-f(-x)成立,故a=-1.
8.-x2-2x　解析 设x>0,则-x<0,所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x=-f(x),
所以当x>0时,f(x)=-x2-2x.
9.(,1)　解析 因为f(x)=2x+,所以f(-x)=2-x++2x=f(x),可知函数是偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增.因为f(3m-1)10.解 (1)因为f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,其图象的对称轴为直线x=1.
当x∈[-2,2]时,可知f(x)min=f(1)=-2,
又f(-2)=7,f(2)=-1,所以f(x)max=7,
所以此时函数的值域为[-2,7].
(2)因为f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,
且在区间[2a,a+2]上是单调函数,
所以有解得≤a<2或a≤-1,
即a的取值范围为(-∞,-1]∪[,2).
11.解 (1)因为对任意的实数x∈R都有f(1+x)=f(1-x)成立,所以可知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
即-=1,解得a=-2.
(2)因为f(x)=x2+ax+b=(x+)2+b-,所以可知函数f(x)在(-∞,-)内单调递减,在(-,+∞)上单调递增.
因为f(x)在(-∞,1]上单调递减,所以-≥1,解得a≤-2,即a的取值范围为(-∞,-2].
(3)g(x)=(x2+ax+b)·sin x是奇函数,所以g(-x)=(x2-ax+b)sin(-x)=-g(x)=-(x2+ax+b)sin x,解得a=0.
12.解 (1)f()=()2=3,f(f())=f(3)=2×3=6.
(2)当a≤-1时,f(a)=a+2=3,解得a=1(舍去).
当-1综上所述,a的值为.
(3)不等式f(x)>f(1)即f(x)>1,等价于解得x>1.
能力提升
13.D　解析 ∵y=f(1-x)为奇函数,∴f(1+x)=-f(1-x).
∵函数f(x)的定义域为R,∴令x=0,得f(1)=-f(1),∴f(1)=0.
令x=1,得f(2)=-f(0).∵当x<1时,f(x)=x2-4,∴f(0)=-4,即f(2)=-f(0)=4,∴f(1)+f(2)=0+4=4.故选D.
14.[-,2]　解析 因为当x>1时,2x+=2(x-1)++2≥2+2=6,当且仅当x=2时,等号成立,所以当x>1时,f(x)min=6.当x≤1时,f(x)的最小值大于或等于6.当a≥1时,f(x)在(-∞,1]上单调递减,则f(x)min=f(1)=10-2a,由得1≤a≤2;当a<1时,f(x)min=f(a)=-a2+9,
由得-≤a<1.综上,a∈[-,2].
15.7　(1,3]　解析 因为f(1)=1-2+4=3,所以f(f(1))=f(3)=9-6+4=7.
当x≤3时,f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3.因为函数f(x)的值域为[3,+∞),所以当x>3时,f(x)=2+logax的取值在[3,+∞)上,所以解得116.解 (1)当a=3时,一元二次不等式x2+3x+2<0的解为-2(2)当x∈[1,2]时,x2+ax+2≥0恒成立,
即a≥-(x+)恒成立,令g(x)=-(x+),
因为g(x)=-(x+)≤-2=-2,x∈[1,2],当且仅当x=时等号成立,
故g(x)的最大值为-2,故a≥-2.
即a的取值范围是[-2,+∞).
(3)不等式f(x)-2ax≥0在[1,2]上有解,即ax≤x2+2在[1,2]上有解,所以a≤{x+}max=3,
故a的取值范围是(-∞,3].

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