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(共25张PPT)
第2讲
基本不等式
数 学
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教材核心知识 课标要求
基本不等式 基本不等式(a,b≥0)
基本不等式 结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题
知能构建 强技能
实战演练 明方向
考向1 基本不等式直接应用
典例2设x,y满足x+y=10,且x,y都是正数,则xy的最大值为(　　)
A.5 B.10 C.25 D.50
C
解析 因为x,y满足x+y=10,且x,y都是正数,所以xy≤=25,当且仅当x=y=5时等号成立,所以xy的最大值为25.故选C.
考向2 基本不等式求函数最值
典例3(2024浙江高二期末)已知a>0,b>0,且=1,则的最小值为(　　)
A.2 B.2 C. D.1+
A
解析 因为a>0,b>0,且=1,所以=1-,所以a=>0,所以b>2,
所以a-1=-1=>0,
所以>0,
所以=(b-2)+≥2=2,
当且仅当b-2=,即b=3时,等号成立,所以的最小值为2.故选A.
AD
典例5 如图(俯视图),学校决定投资12 000元在操场建一长方体形体育器材仓库,利用围墙靠墙建,由于要求器材仓库高度恒定,不靠墙的长和宽所在的面的建造材料造价每米100元(不计高度,按长度计算),顶部材料每平方米造价300元.在预算允许的范围内,仓库占地面积最大能达到多少平方米
归纳总结利用基本不等式求函数的最值,关键在于将函数式转化为基本不等式的模型,特别要注意“正”“定”“等”三个条件同时成立:“正”是指各项必须为正值;“定”是指利用基本不等式放缩后最后出现的是不含未知数的定常数;“等”是指不等式在放缩过程中,每一步的等号都能取到.
考向3 条件型不等式问题
B
ABC
归纳总结二元条件型基本不等式问题的解法取决于条件的使用方式,常见方法:一是消元代入,转化成一元函数问题;二是条件式直接变形,如典例7选项A的判断;三是条件“逆代”,如典例6利用+y=1构造(2x+)(+y),典例7选项B的判断,四是如典例7选项D的判断,作变形,(a+1)(2b+1)=(2a+2)(2b+1),创设使用基本不等式的条件.
考向4 利用基本不等式比较大小
典例8设b>a>0,且a+b=1,则下列四个数中最大的是(　　)
A. B.a2+b2 C.2ab D.a
B
归纳总结多数比较问题是常见的题型,应用基本不等式作比较的多是二元函数式,基本工具是基本不等式链,设a>0,b>0,则有,其中等号成立的条件是a=b.
考向5 基本不等式使用技巧:“凑”与“配”
D
D
归纳总结典例9(1)(2)尽管可以利用条件代入消元,转化为一元函数求最值,但过程较繁.这里采用巧妙的“凑”“配”技巧,典例9(1)抓住条件式中x(x+2y)=1,把要求的式子凑成2x+y=(4x+2y),再依据条件式分拆,典例9(2)对条件式进行因式分解,依据所得结果对目标函数进行“凑”“配”,达到了简化解题的效果.课时作业2　基本不等式
基础巩固
1.(2025浙江7月学考)已知x>0,则+x的最小值是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知0A. B. C. D.
3.已知x,y为实数,则“x>0,y>0”是“”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知a,b为实数,则下列不等式恒成立的是(　　)
A.a2+b2≤2ab B.a2+b2≥-2ab
C.a+b≥2 D.a+b≤-2
5.若正数a,b满足a+b=ab,则a+4b的最小值是(　　)
A.7 B.9 C.13 D.25
6.已知第一象限内的点P(a,b)在一次函数y=-8x+5的图象上,则的最小值为(　　)
A.25 B.5 C.4 D.
7.(多选)(2024浙江宁波北仑中学检测)若正实数x,y满足2x+y=1,则下列说法正确的是(　　)
A.xy有最大值为
B.有最小值为6+4
C.4x2+y2有最小值为
D.x(y+1)有最大值为
8.(2024浙江杭州月考)若实数x,y满足x>y>0且log2x+log2y=1,则的最小值为　　　　　.
9.对任意的正数x,不等式ax≤x2+4恒成立,则实数a的最大值为　　　　.
10.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0.
求:(1)xy的最小值;
(2)x+y的最小值.
11.(1)当x>0时,求函数y=的最小值;
(2)当x<1时,求函数y=的最大值.
能力提升
12.(2025浙江宁波开学考试)已知x>0,y>0,满足x2+2xy-1=0,则3x+y的最小值是(　　)
A. B. C. D.
13.已知实数x,y满足x2+xy-2y2=1,则3x2-2xy的最小值是　　　　　.
14.炎炎夏日,古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图,扇形纸叠扇完全展开后,得到的扇形ABC面积为100π2cm2,则当该纸叠扇的周长最小时,AB的长度为　　　　　cm.
15.(2024浙江宁波高一期末)已知实数a,b,c∈R,且a+b+c=1,求证:a2+b2+c2≥.
16.为了加强“平安校园”建设,保障师生安全,某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面为24平方米,且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米300元,屋顶和地面以及其他报价共计14 400元.设屋子的左右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6).
(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低 并求出最低报价.
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若乙工程队希望无论左右两面墙的长度为多少米,都能竞标成功,试求a的取值范围.
参考答案
基础巩固
1.C　解析 因为x>0,所以x+1>1,则+x=+x+1-1≥2-1=3,
当且仅当x+1=2,即x=1时,等号成立,故+x的最小值是3.故选C.
2.B　解析 因为0当且仅当x=1-x,即x=时取等号.
故选B.
3.A　解析 当x>0,y>0时,由=-≤0可知成立,所以充分性成立;当成立时,x<0,y<0也满足,所以必要性不成立.故选A.
4.B　解析 由a,b∈R可知a2+b2≥2|ab|≥-2ab,所以选项B正确.
5.B　解析 由正数a,b满足a+b=ab,得=1,
∴a+4b=(a+4b)·()=5+≥5+2=9,
当且仅当a=3,b=时,等号成立.
故选B.
6.B　解析 由题意知b=-8a+5,且a>0,b>0,故=1,
从而=()·(17+)≥(17+2)=5,当且仅当b=1,a=时,等号成立.
故选B.
7.ABC　解析 对于A,因为2x+y=1≥2,所以xy≤,当且仅当2x=y,即x=,y=时,等号成立,故A正确;
对于B,=(2x+y)()=+6≥2+6=6+4,当且仅当,即x=,y=2-时,等号成立,故B正确;
对于C,因为,所以4x2+y2≥,当且仅当2x=y,即x=,y=时,等号成立,故C正确;
对于D,因为x(y+1)=×2x(y+1)≤,
当且仅当2x=y+1,即x=,y=0时,等号成立,这与x,y均为正实数矛盾,故D错误.
故选ABC.
8.4　解析 由log2x+log2y=1,得xy=2,=x-y+≥4,
当且仅当x-y=时,等号成立,则的最小值为4.
9.4　解析 因为x>0,所以不等式ax≤x2+4恒成立即为a≤x+恒成立.
因为x+≥2=4,
当且仅当x=,即x=2时等号成立.
所以a≤4,所以实数a的最大值为4.
10.解 (1)因为x>0,y>0,2x+8y-xy=0≥2-xy,
所以有≥8,解得xy≥64.
当且仅当2x=8y,即x=16,y=4时,等号成立.
所以xy的最小值为64.
(2)因为2x+8y-xy=0,所以有=1,
所以x+y=(x+y)·()=8+2+≥10+2=18.
当且仅当,即x=12,y=6时,等号成立.
所以x+y的最小值为18.
11.解 (1)因为x>0,所以y=≥2,当且仅当,即x=2时,等号成立.所以函数的最小值为.
(2)因为x<1,所以t=1-x>0.所以y==-=-(t+)+2≤2-2.
当且仅当t=,t=1-x=,即x=1-时,等号成立.
所以函数的最大值为2-2.
能力提升
12.B　解析 因为x>0,y>0,x2+2xy-1=0,所以y=,所以3x+y=3x+≥2,当且仅当,即x=时,等号成立.故选B.
13.2　解析 (方法1)3x2-2xy=x2-2xy+2(2y2-xy+1)=x2-4xy+4y2+2=(x-2y)2+2≥2,当且仅当时,等号成立.
(方法2)由x2+xy-2y2=1得(x+2y)(x-y)=1,
设∴mn=1,
∴3x2-2xy=3×()2-2×=2,
当且仅当时,等号成立,
∴3x2-2xy的最小值是2.
14.10π　解析 设扇形ABC的半径为r cm,弧长为l cm,则扇形面积S=rl.
由题意得rl=100π2,所以rl=200π2,所以纸叠扇的周长C=2r+l≥2=2=40π,当且仅当时,等号成立,所以此时AB的长度为10π cm.
15.证明 因为a+b+c=1,
两边平方,展开有a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
因为当a,b,c∈R时,有a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,所以有a2+b2+b2+c2+c2+a2=2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca=1-a2-b2-c2,
所以3a2+3b2+3c2≥1,即a2+b2+c2≥,
当且仅当a=b=c时,等号成立.
16.解 (1)设甲工程队的总报价为y元,
则y=3(300×2x+400×)+14 400=1 800(x+)+14 400(3≤x≤6),1 800(x+)+14 400≥1 800×2+14 400=28 800,当且仅当x=,即x=4时等号成立,即当左右两侧墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低,且最低报价为28 800元.
(2)由题意可得,1 800(x+)+14 400>对任意的x∈[3,6]恒成立,
即,从而>a恒成立,
令x+1=t,=t++6,t∈[4,7],
又y=t++6在[4,7]上单调递增,故ymin=12.25.
所以0

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