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2025-2026学年湖南省常德市石门县澧斓学校九年级（下）入学数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.64的算术平方根是（　　）
A. 8 B. -8 C. 4 D. -4
2.定义运算：a*b=a2-2ab+1.例如：4*3=42-2×4×3+1=-7.则方程x*2=-5的根的情况为（　　）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
3.若关于x,y的方程组的解满足x+y=2026，则k的值为（　　）
A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025
4.将抛物线y=-（x-1）2+2先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后所得抛物线表达式为（　　）
A. y=-（x-2）2+4 B. y=-x2+4 C. y=-x2 D. y=-（x+1）2+4
5.如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+4与直线l2：y=mx+n（m,n为常数，且m≠0）的图象交于点A（-1，b），则关于x,y的方程组的解为（　　）
A.
B.
C.
D.
6.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（）
A. ∠ABD=∠CBD
B. ∠ABC=90°
C. AC⊥BD
D. AB=BC
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOBC的边OA与x轴的夹角为30°，且OB=2OA，点A的坐标为，则点B的坐标是（　　）
A. （1，2）
B.
C.
D.
8.如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC=140°，则∠BIC的度数为（　　）
A. 125° B. 130° C. 135° D. 140°
9.如图，∠AOB=45°，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，C；再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E；作射线OE，过点E分别作EG∥OA交OB于点G，EF⊥OA于点F.若EG=1，则EF的长为（　　）
A. B. C. D.
10.如图：在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AD；BC=1：2，有下面四个结论①S△ABC=S△DBC；②S△BAD=S△CAD；③S△AOB=S△COD；④2S△AOD=S△BOC；其中正确的个数是（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.函数中，自变量x的取值范围是 .
12.某校开展“牢记嘱托学谷公，为民造福当先锋”活动，组织部分师生前往谷文昌纪念馆参观学习谷文昌先进事迹.若这次活动租用17座的车a辆，且最后一辆车空3个座位，则参加此次学习活动的师生人数为 （用含a的代数式表示）.
13.已知m,n为正整数，若3m+n-4=0，则23m×2n= .
14.在一个暗箱里有m个除颜色外其他完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回.通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.2.由此可以推算出m为 .
15.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是上的任意一点，则∠APB的大小是 .
16.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为______．
17.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，下列结论中，①3a+c＞0②a-b+c＞0③abc＜0④b+2a=0⑤b2-4ac＞0⑥ax2+bx+c＞0的解集是-1＜x＜3，其中正确的序号有 .
18.已知，a,b,c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数.
（1）若三角形为等边三角形，则t= ；
（2）下列结论正确的是 .（写出所有正确的结论）
①若k=2，t=1，则△ABC为直角三角形；
②若，则5＜t＜11；
③若，a,b,c为三个连续整数，且a＜b＜c,则满足条件的△ABC的个数为7.
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.计算：.
四、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中x=3.
21.(本小题8分)
在中国上下五千年的历史长河中，涌现出一批批中华名人，各自创下了不朽的丰功伟绩，极大地推动了中华文明乃至整个人类文明的发展.为了解中华历史名人，增强民族自豪感和爱国热情，某校团委组织了一次“中华名人知多少”竞赛，随机抽取40名学生进行了相关知识竞答，他们的测试成绩（满分100分）如下：
65，81，74，87，76，80，89，94，88，66，72，90，96，83，99，78，98，79，89，87，75，66，85，97，88，86，89，68，88，84，86，92，77，84，95，78，82，93，96，85.
按“组距为10”制作了如下不完整的频数分布表（每组数据含最小值不含最大值）和频数分布直方图：
40名学生知识竞答测试成绩频数分布表
分组 划记 人数（频数）
60～70
70～80 正 8
80～90 正正正 18
90～100
根据上述数据，解答下列问题：
（1）将频数分布表中空缺部分补充完整，并补全频数分布直方图.
（2）这40名学生测试成绩的中位数落在______组内；若绘制扇形统计图，则“70～80分”这组对应扇形的圆心角的度数是______.
（3）该校将知识竞答测试成绩为“80～90分”记为良好，请你估计全校1000名学生中对“中华名人知多少”了解情况达到良好等级的人数.
22.(本小题8分)
湘绣作为中国四大名绣之一，凭借其国潮经典之韵，深受国内外消费者的喜爱.某商场计划购进A，B两款湘绣并出售，已知两款湘绣的进价和售价如下表：
类别
价格 A款湘绣 B款湘绣
进价（元/件） 800 1400
售价（元/件） 980 1680
（1）该商场第一次用24400元购进了A，B两款湘绣共20件，求两款湘绣分别购进多少件；
（2）该商场计划补货两款湘绣共30件，且购进A款湘绣的数量不少于B款湘绣的，则应如何设计进货方案才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是多少？
23.(本小题8分)
如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE、BA交于点F，连接AC、DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD，且BC＝6时，求CD的长．
24.(本小题8分)
解答.
课题 设计遮阳棚前挡板
模型抽象示意图 德百旅游小镇游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到2.29m宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板BC的宽度.
测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳棚AB长为3.5m,其与墙面的夹角∠BAD=70°，其靠墙端离地面高AD为4m.通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角∠CFE约为60°，若加装前挡板BC后，此时服条窗口前恰好有2.29m宽的阴影DF，如图3.
任务1 求遮阳棚前端B到墙面AD的距离.
任务2 当∠CFE=60°时，求线段BC的长度.
结果精确到0.01m,参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.74，≈1.73
25.(本小题8分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE.
（1）求证：AE是⊙O的切线.
（2）若，DE=2cm,求BD的长.
26.(本小题10分)
抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（-3，0）和点B（1，0），交y轴于点C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线AC方向平移得到新抛物线y'，新抛物线y'经过点C且与直线AC另一交点为点K，M为新抛物线y'上的一动点，当∠MKC=∠ACB时，请直接写出符合条件的点M的坐标.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】x≠-2
12.【答案】（17a-3）人
13.【答案】16
14.【答案】20
15.【答案】30°
16.【答案】5
17.【答案】③④⑤
18.【答案】2
①②

19.【答案】．
20.【答案】，1．
21.【答案】（1）补全频数分布表如下：
分组 划记 人数（频数）
60～70 正 4
70-80 正 8
80～90 正正正 18
90～100 正正 10
补全频数分布直方图如下：

（2）80～90；72°.
（3）（名），
答：估计全校1000名学生中对杭州亚运会知识了解情况达到良好等级的人数大约为450名．
22.【答案】A款湘绣购进6件，B款湘绣购进14件；
A款湘绣购进12件，B款湘绣购进18件，才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是7200元．
23.【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD=BC，
∴∠FAE=∠CDE．
∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
在△FAE和△CDE中，
，
∴△FAE≌△CDE（ASA），
∴CD=FA．
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）解：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE=45°．
∵∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE．
∵E是AD的中点，
∴CD=AD=BC=3．
24.【答案】任务1：遮阳棚前端B到墙面AD的距离为3.29m；
任务2：BC的长度约为1.07m．
25.【答案】如图，连接OA，
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA=∠EDA．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠EDA，
∴OA∥CE．
∵AE⊥CE，
∴AE⊥OA．
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线 BD=8cm
26.【答案】y=-x2-2x+3；
有最大值为4，P（-2，3）；
M1（4，3），．
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