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2025-2026学年甘肃省武威二十中八年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若a≠b,且a2-a=3，b2-b=3，则a+b的值为（　　）
A. -2 B. 2 C. -1 D. 1
2.如图，已知AC=AD，AB=AE，再添加一个条件仍无法证明△ABC≌△AED，这个条件是（　　）
A. ∠C=∠D=90°
B. ∠B=∠E
C. ∠1=∠2
D. BC=DE
3.如图，△ABC中，AE为△ABC的高线，BD为△ABC的角平分线，AE与BD相交于点F，∠BAC=70°，∠ACB=50°，那么∠AFD=（　　）
A. 59°
B. 60°
C. 56°
D. 70°
4.如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是（　　）
A. 三角形具有稳定性
B. 对顶角相等
C. 垂线段最短
D. 两点之间，线段最短
5.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径画圆弧，分别与AB，BC交于点D，E，连接DE；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径画圆弧，两弧相交于点F；③作射线BF交AC于点G.若AG=4，BC=12，则△BCG的面积为（　　）
A. 16 B. 24 C. 36 D. 48
6.如图，l是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，E是l上任意一点，且AC=5，BC=8，AB=6，则△AEC的周长的最小值为（　　）
A. 6
B. 8
C. 11
D. 13
7.如图，在△ABC中，AB=BC，直线EF为线段BC的垂直平分线，D为AC的中点，M为直线EF上任意一点.若AC=5，△ABC面积为20，则CM+MD的最小值为（　　）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
8.如图，点B，E，C在同一条直线上，正方形ABCD与正方形GECF的边长分别为a,b.若阴影部分的面积为12，a+b=6，则a-b的值为（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9.从图1到图2的变化过程中可以发现的结论是（　　）
A. （a-b）2=a2-2ab+b2 B. （a+b） （a-b）=a2-b2
C. （a+b）2=a2+2ab+b2 D. a2+2ab+b2=（a+b）2
10.下列说法正确的是（　　）
A. 当x≠-2时，分式有意义 B. 分式与的最简公分母是2x2y2
C. 当分式值为0时，m=±4 D. 无论x为何值，的值总为正数
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，已知∠BAC-∠B=56°，则∠E的度数是 .
12.如图，△ABC的面积为2cm2.AP垂直于∠ABC的平分线BP于点P.则△PBC的面积是 .
13.如图在△ABC中，∠A=90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD=4，△CDE周长为12，则AC的长是 .
14.如图，已知等边ABC的边长为a,中线BD=b,点E在BD上运动，连接AE，在AE的右侧作等边AEF，连接DF，则ADF周长的最小值是 ______ .
15.如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，若AB=12，AC=15，则△ABD的周长为 .
16.甲、乙两人在分解因式x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x-3）（x+2）；乙看错了b的值，分解的结果是（x-2）（x-3），则a-b= .
17.如图，从边长为（m+4）的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为 .
18.某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子A是 .
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题7分)
因式分解：
（1）12ab2-6ab；
（2）2x2y-8xy+8y.
20.(本小题7分)
（1）解分式方程：；
（2）化简：.
21.(本小题7分)
已知.
（1）化简分式A；
（2）若关于x的分式方程：的解是非负数，求m的取值范围.
22.(本小题7分)
如图，点E、F在BD上，BE=DF，∠A=∠C，AF，CE交于点O，且OE=OF.
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠A=95°，∠D=45°，求∠CED的度数.
23.(本小题7分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，延长AC至点E，过点E作EF⊥AC，使EF=BC，连接BF交CE于点D.
（1）求证：CD=ED；
（2）若G是AC上一点，满足AG=CE，连接FG，请你判断∠FGE和∠ABC的关系，并证明你的结论.
24.(本小题7分)
如图，在△ACB中，AB=CB，F是BC上一点，过点F作FD⊥AC于D，DF的延长线交AB延长线于E，
（1）求证：△EBF是等腰三角形；
（2）若∠E=30°，FC=4，AD=6，求AB的长.
25.(本小题7分)
我们知道，图形是一种重要的数学语言，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式.
（1）初步感知：如图1，写出一个我们熟悉的数学公式______；
（2）解决问题：
①若a+b=8，ab=10，则a2+b2的值为______；
②如图2，D为CE上一点，分别以CD，DE为边作正方形ABCD，DEFG，连接BG，CG，EG.若△ABG与△EFG的面积和为8，△CDG的面积为5.5，求CE的长；
（3）类比探究：如图3，将一长方形纸片按图裁剪，其阴影部分是两种大小不同，边长分别为m与n的正方形，其余空白部分均为长方形，观察图形，发现整式2m2+5mn+3n2可以分解因式为______.
26.(本小题7分)
万象灯火闹元宵，一碗汤圆共团圆.而“柿柿如意”汤圆更是将这种美好寓意发挥到极致.一大学为让提前返校的外地学生感受节日的温情，计划为学生购买传统汤圆和“柿柿如意”汤圆共40袋.已知某超市每袋“柿柿如意”汤圆的标价比传统汤圆的标价高50%，若按标价购买共需花费380元，其中购买传统汤圆花费200元.
（1）求每袋传统汤圆的标价.
（2）若经过与店主协商，考虑到购买较多，店主同意该大学按“柿柿如意”汤圆九折，传统汤圆八折的优惠价购入，则购买原定数量的两类汤圆共需花费多少元？
27.(本小题10分)
数学教材中有这样一道习题：“如图1，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，若AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长.”在计算时，我们通过证明△ADC≌△CEB，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解.
【类比探究】
（1）如图2，在等腰三角ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，DE为过点C点的直线，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求证：DE=AD+BE；
【拓展应用】
（2）如图3，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBC，连接DC交OB延长线于点E.猜想AO与BE的数量关系，并说明理由；
【知识迁移】
（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以△ABC的AB，AC边向外作等腰Rt△BAD和等腰Rt△CAE，其中∠BAD=∠CAE=90°，AG是边BC上的高.延长GA交DE于点H，若AH=5，AG=12，直接写出△DAE的面积.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】28°
12.【答案】1cm2
13.【答案】8
14.【答案】a+b
15.【答案】27
16.【答案】1
17.【答案】（2m+4）
18.【答案】2x2-6x
19.【答案】6ab（2b-1） 2 y（x-2）2
20.【答案】x=1
21.【答案】 且m≠2
22.【答案】∵BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF，
即BF=DE，
∵OE=OF，
∴∠AFB=∠CED，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS）， 40°
23.【答案】∵EF⊥AC，∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠E=90°（垂直的定义），
在△FDE和△BCD中，
，
∴△FDE≌△BCD（AAS），
∴CD=ED（全等三角形对应边相等） ∠ FGE+∠ABC=90°
24.【答案】证明：∵AB=CB，
∴∠A=∠C，
∵FD⊥AC，
∴∠ADE=∠FDC=90°，
∴∠A+∠E=90°，∠C+∠DFC=90°，
∴∠E=∠DFC，
∵∠DFC=∠BFE，
∴∠E=∠BFE，
∴BE=BF，
∴△EBF是等腰三角形；
8
25.【答案】（a+b）2=a2+2ab+b2 ①44；②7 （2m+3n）（m+n）
26.【答案】8元 322元
27.【答案】证明：∵AD⊥DE于D，∠ACB=90°，
∴∠D=90°，∠DAC+∠DCA=90°，∠BCE+∠DCA=90°，
即∠DAC=∠BCE，
∵BE⊥DE，
∴∠E=∠D=90°，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD=BE，AD=CE，
∴DE=CE+CD=AD+BE 结论：OA=2BE．
理由：如图，过点D作DT⊥OB于点T，连接CT．
∵∠AOB=∠ABD=∠DTB=90°，
∴∠TBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠TBD=∠BAO，
∵BD=DA，
∴△DTB≌△BOA（AAS），
∴DT=OB，BT=OA，
∵△BOC是等腰直角三角形，
∴OB=BC=DT，
又∵∠BEC=∠TED，∠CBE=∠DTE=90°，
∴△BCE≌△TDE（AAS），
∴BE=TE，
∴BE=2BE，
∴OA=2BE 60
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