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图形的相似——初中数学中考一轮分层训练 （含答案解析）
一、基础题
1．两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（　　）
A．14cm B．18cm C．30cm D．34cm
2．如图，在中，，，若，则（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，，，现以原点O为位似中心画出，使与相似比为，则A的对应点的坐标为（　　）
A． B．
C．或 D．或
4．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（　　）
A． B．1 C． D．
5．如图，小明为了测量树的高度，在离点米的处水平放置一个平面镜，小明沿直线方向后退米到点，此时从镜子中恰好看到树梢（点），已知小明的眼睛（点）到地面的高度是米，则树的高度为（　　）
A． B． C． D．
6． 如图， 把△AOB放大后得到△COD ， 则△AOB与△COD的相似比是　 　.
7．如图，在中，点，分别在，上，，若，则　 　．
8．如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件：　 　，使△AOB∽△COD．
9． 如图， △ABC中∠ACB=90°， CD⊥AB于D， AE平分∠CAB， 分别交CB、CD于点E和点F.
（1） 求证： △ACF ∽ △ABE；
（2） 若 求BC的长.
10．如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F．
（1）求证：；
（2）若的面积为4，，求的面积．
11．如图，在等边中，点P、D分别是边上的点，连接，且．
（1）求证：；
（2）若；求的长．
二、能力题
12．如图，在中，，，AD平分，，E为垂足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
13．如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE．下列结论错误的是（　　）
A．S△DEFS△BCF B．S△ADES四边形BCED
C．S△DBFS△BCF D．S△ADC＝S△AEB
14．如图，与是位似图形，点为位似中心，．若的面积为，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
15． 已知 则 的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
16．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝3，，分别以AB，BC为直角边，以B为直角顶点向△ABC外部作Rt△ABD和Rt△CBE，且∠DAB＝∠E，M，N分别是AD，CE的中点，连接MN．若，则MN的长度为 　 　 ．
17．如图，在□ABCD中，E是AD上一点，DE=2AE，CE、BA的延长线相交于点F若AB=2，则AF=　 　.
18．如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 　 　时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是边AB上一点，连结DE交AC于点F，将线段DE绕点D逆时针旋转至DE'，使得∠EDE'=∠ADC，若，点E，O，E'在同一直线上，则△AEF与四边形BEFC 的面积比为　 　.
20．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝45°．动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以AP为边作正方形APDE，使点D和点B始终在边AC同侧．设点P的运动时间为x（s）（x＞0），正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
（1）AC的长为 　 　 ．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出可变量x的取值范围．
（3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
21．如图，矩形ABCD中，
（1）求作正方形EFGH，使得点 E，G分别落在边AD， BC上，点 F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若 ，求（1）中所作的正方形的边长.
三、拓展题
22．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题． 实践报告如下：
实践报告
活动课题 测量河的宽度
活动工具 标杆、卷尺
测量过程 如图，为了测量河的宽度，小康所在的数学兴趣小组设计了如下测量方案： 【步骤一】小康站在河岸的点B处立了一根标杆； 小明站河岸的另一端点D处， 立了另一根标杆； 【步骤二】小英适当调整自己所处的位置， 在点A处测得点A， B， D恰好在同一条直线上， 点A， C， E恰好在同一条直线上； 【步骤三】其他同学用卷尺测出标杆及河岸的长； 【步骤四】记录数据 (单位：m)
标杆 1.5
标杆 1.8
河岸 10
解决问题 根据以上数据计算河的宽度．
请你帮助兴趣小组解决以上问题．
23．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点．
（1）【问题初探】
如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），求黄金比．
解：设AB＝1，AC＝x，则CB＝1﹣x．
∵，
∴
请补全以上解题过程；
（2）【问题再探】
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）【知识迁移】
如图3，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连结BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；
（4）【延伸拓展】
如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M．求证：点M是AD的黄金分割点．
24．综合与实践
（1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数；
（2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值；
（3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：设较小三角形的周长为x cm，则较大三角形的周长为(48-x) cm，
∵两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，
∴x： (48-x) =6： 10，
解得x=18，
即较小三角形的周长为18cm.
故答案为：B.
【分析】设较小三角形的周长为x cm，则较大三角形的周长为(48-x) cm，根据相似三角形的性质得到x： (48-x) =6：10，然后利用比例的性质求出x即可解答.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：，，
，
∴AE=AC-CE=6-CE
∴经检验符合题意；
故答案为：C
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键．
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。在三角形中，若一条直线平行于三角形的一边，截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，根据平行线分线段成比例定理。结合DE∥BC可得：再根据线段的和差运算可知：AE=AC-CE=6-CE，代入比例式列出关于CE的方程，解得：，由此可得出答案．
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵以原点O为位似中心画出，使与相似比为，
而，
∴A的对应点的坐标为或，
即或．
故选：C．
【分析】根据位似图形性质即可求出答案.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】先由平行线分线段成比例定理得，即DE为的中位线，则DE等于BC的一半.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得：，，
，
由光的反射原理可得：，
，
，
米，米，米，
，
米．
故答案为：B．
【分析】由垂直定义得，由光的反射原理可得，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得，再利用相似三角形的对应边成比例建立方程，求解即可.
6．【答案】1：3
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中， △AOB 与 △COD ，OB和OD是对应边；
由图可知OB = 2，OD = 6；
相似比为对应边的比，即△AOB与△COD的相似比===.
故答案为：1：3 .
【分析】通过坐标系确定 △AOB 与 △COD 对应边OB、OD的长度，计算其比值得到相似比。
7．【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴△ADE∽△ABC
∴
故答案为：
【分析】根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
8．【答案】AB∥CD（答案不唯一）
【解析】【解答】题中已给出一组对顶角相等，我们只要再给出另一组对应角相等，或两组对应边成比例即可．
∵∠COD=∠AOB， ∴只要∠OAB=∠OCD，∠ODC=∠OBA，∠OAB=∠ODC，∠OCD=∠OBA，AB∥CD等等，
其中一项符合即可，答案不唯一．
【分析】由图知，∠COD=∠AOB，根据相似三角形的判定添加的条件可以是∠A=∠C（答案不唯一，只要符合相似三角形的判定定理即可）。
9．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B
∵AE平分∠CAB
∴∠CAE=∠EAB
∴△ACF∽△ABE
（2）解：∵△ACF∽△ABE
∴AB=10
【解析】【分析】(1)根据等角的余角相等以及角平分线的定义即可证明 △ACF ∽ △ABE；
(2)利用相似三角形的性质可求AB，再由勾股定理求解。
10．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
。
（2）解：∵四边形是平行四边形，
，
，
∵
∴，
，
，
．
【解析】【分析】（1）本题首先根据平行四边形的性质得出，然后结合平行线的性质得出，最后利用AA即可证明三角形相似；
（2）首先结合平行四边形的性质以及平行关系，即可得出，从而得出对应边成比例；然后依据相似三角形面积比与相似比的平方关系，可以得出，最后将代入计算即可。
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
，
，
∵
∴，
，
，
．
11．【答案】（1）证明：是等边三角形，
，
，
，
，
又，
．
（2）解：由（1），
，即，
即，
．
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得，根据三角形内角和定理可得，根据补角可得，则，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质可得，即，代值计算即可求出答案.
（1）证明：是等边三角形，
，
，
，
，
又，
．
（2）由（1），
，即，
即，
．
12．【答案】A
【解析】【解答】解：延长BE，AC交于点F，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∵，
∴；
∵BE⊥AD，
∴∠ACB=∠AEB=∠AEF=90°，
∴点A，C，E，B四点共圆，
∵，
∴∠CAD=∠CBF，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∠F=90°-∠CAD，∠ABF=90°-∠BAD，
∴∠F=∠ABF，
∴AF=AB，
∵AE⊥BF，
∴BE=EF即BF=2BE；
∵∠BCF=∠ACD，
∴△ACD∽△BCF，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】延长BE，AC交于点F，在Rt△ABC中，可求出∠ABC的度数，利用解直角三角形可得到AC与BC的数量关系，再证明∠ACB=∠AEB=∠AEF=90°，可证得点A，C，E，B四点共圆，利用圆周角定理可证得∠CAD=∠CBF，利用角平分线的概念可推出∠CAD=∠BAD，同时可证得∠F=∠ABF，利用等角对等边可证得AF=AB，利用等腰三角形的性质可得到BF=2BE；然后利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ACD∽△BCF，利用相似三角形的性质可求出结果.
13．【答案】B
【解析】【解答】解：由题知，
因为BE， CD为 的中线，
所以点F为 的重心，
所以
所以
所以
所以
故A选项不符合题意.
因为
所以
所以
所以 四边形BCED.
故B选项符合题意.
因为点F为 的重心，
所以
所以
故C选项不符合题意.
因为DE∥BC，
所以，
所以，
故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据重心的性质，结合相似三角形的判定与性质，对所给选项依次进行判断即可.
14．【答案】C
【解析】【解答】解：，
，
与是位似图形，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：C ．
【分析】根据根据位似图形的概念得到AB∥DE，△ABC∽△DEF，由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△OAB∽△ODE，根据相似三角的形的性质得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算即可．
15．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴a2=2abc，b2=2abc，c2=2abc，
∴===6.
故答案为：D.
【分析】由已知的等式和比例的性质可得a2=2abc，b2=2abc，c2=2abc，然后整体代换即可求解.
16．【答案】
【解析】【解答】解：连接BM，BN，过点M作MP⊥NB于点P
∵AB＝3，，∠ABD=90°
∴
∵M，N分别时AD，CE的中点，∠ABD=∠CBE=90°
∴
∴∠ABM=∠BAM，∠CBN=∠BCN
∵∠DAB=∠E，∠CBE=∠E+∠BCE=90°
∴∠CBN+∠ABM=90°
∵∠ABC=30°
∴∠MBN=30°+90°=120°
∴∠PBN=60°
∵∠P=90°
∴∠PMB=30°
∴
∴
∵∠ABD=∠CBE=90°，∠DAB=∠E
∴△ABD∽△EBC
∴，即
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】连接BM，BN，过点M作MP⊥NB于点P，根据勾股定理可得BD，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，根据等边对等角可得∠ABM=∠BAM，∠CBN=∠BCN，再根据角之间的关系可得∠PMB=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得PB，根据勾股定理可得PM，再根据相似三角形判定定理可得△ABD∽△EBC，则，代值计算可得CE，再根据边之间的关系可得NP，再根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】1
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】利用平行四边形的性质得，，然后推理得到，根据对应边成比例解答即可．
18．【答案】3或
【解析】【解答】解： ∵点D为中点，，
∴AD=2，
∵与以点A、D、E为顶点的三角形相似：
①当时，
∵，
∴，
∴，
②当时，
∵，
∴，
∴，
综上可知AE=3或，
故答案为：3或.
【分析】先由中点的定义得到AD=2，由题干与以点A、D、E为顶点的三角形相似，分和两种情况，利用相似三角形的性质计算即可解答.
19．【答案】
【解析】【解答】解：∵将线段DE绕点D逆时针旋转至DE'，
∴ED=E'D，
∴∠DEE'=∠DEO=(180°-∠EDE')，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC=AB，
∴∠DAO=∠DCO=(180°-∠ADC)，
∵∠EDE'=∠ADC，
∴∠DEE'=∠DAO，
∵∠AFD=∠EFO，
∴△AFD∽△EFO，
∴AF：EF=FD：FO，
∴AF：FD=EF：FO，
∵∠AFE=∠DFO，
∴△AFE∽△DFO，
∴∠AEF=∠DOF=90°，
∵，
∴设BO=a，则AO=2a，
∴AD=AB=.
∵S△ABD=2×OA·OB=AB·DE，
∴2××2a·a=×a·DE，解得DE=.
∴AE=.
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】先利用菱形的性质，证明△AFD∽△EFO，列出比例式，设BO=a，利用勾股定理用a表示出AD，再通过求S△ABD，求出用a表示DE，再利用勾股定理求出AE，然后求出，就可求得.
20．【答案】（1）7
（2）解：当D在线段AB上运动时，（0＜x≤3），
当D在线段AB的延长线上运动时，即点P在线段PC上运动，
如下图：AP＝x，PP＝x﹣3，CP＝7﹣x，CP＝4，BP＝3，
∵FP'BP，
∴∠CFP＝∠CBP，∠CPF＝∠CPB，
∴△CFP∽△CBP，
∴，
∴，
解得：，
∴y＝S△APD+S梯形PP'FBx2（x﹣3）（x﹣7）2+10.5，（3＜x≤7）'
∴；
（3）解：当正方形APDE的对称中心与点B重合时，
∴，
∴AP＝DP，AP2+DP2＝AD2，
即2AP2＝72，
解得：AP＝6，
∴x＝6．
【解析】【解答】
解：（1）当 B，D重合时，如下图：
∵∠BAC＝45°，以AP为边作正方形APDE，
∴△APD是等腰直角三角形，AP＝BP，，即18＝2AP2，
解得：AP＝3 （负的舍去），
∵BC＝5，∠DPC＝90°，
∴，
∴AC＝AP+PC＝3+4＝7，
故答案为：7；
【分析】（1）根据勾股定理求出AP长，进而求出PC 的值解答即可；
（2）分为点D在线段AB上运动和D在线段AB的延长线上运动两种情况，利用相似三角形的判定和性质表示面积即可；
（3）画出图形，根据勾股定理解答即可.
21．【答案】（1）解：如图，四边形EFGH 就是所求作的正方形.

（2）解：连接EG交 BD 于点 O.
∵四边形 EFGH是正方形，
∴OE=OG.
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A=90°，AD∥BC.
∴OB=OD.
在Rt△ABD中，AB=2，AD=4，
∵四边形 EFGH是正方形，
∴EG⊥FH，
∴∠DOE=∠DAB=90°.
又∵∠ODE=∠ADB，
∴△EOD ∽△BAD，
即
在Rt△EOH中，OE=OH，
即正方形EFGH的边长为
【解析】【分析】 （1）作线段BD的垂直平分线，垂足为O，交AD于点E，交BC于点G，以O为圆心，OE为半径作弧交BD于点F，H，连接EF，FG，GH，HE即可；
（2）利用勾股定理求出BD，OD，再根据△EOD ∽△BAD，利用边的比例关系求解即可.
22．【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∴河的宽度为50米.
【解析】【分析】先推出，得，根据相似三角形对应边成比例性质求出的值即可.
23．【答案】（1）解：设AC＝x，则BC＝1﹣x．
∵C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）．
∴，
即，
解得x（负值舍去）．
即黄金比为
（2）解：如图所示；点E即为AC的黄金分割点；
（3）证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，
∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，
∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴，
∴，
∴△EAB∽△BCD
（4）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，AB＝AE＝DE，
∴∠ABE＝∠AEM＝∠DAE＝∠ADE＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，
∴△AME∽△AED，
∴AE：AD＝AM：AE，
∴AE2＝AD AM，
∵AE＝DE＝DM，
∴DM2＝AD AM，
∴点M是AD的黄金分割点
【解析】【分析】（1）用含x的式子分别表示出AC，BC，再根据黄金分割的定义列出方程，求解即可；
（2）AC的长度为2，要找它的黄金分割点就是在它上面截出一条长度为的线段，斜边AB的长为，BC的长为1，可以以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，则，再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，则，故点E是AC的黄金分割点；
（3）由点C是AB的黄金分割点可知，而四边形ACDE为正方形，可知AC=CD=AE，所以，又，故△EAB∽△BCD；
（4）易求正五边形的每个内角为108°，进一步可知，而，从而证明△AME∽△AED，所以，在中，易求，可知DM=DE=AE，故，所以点M是AD的黄金分割点。
24．【答案】（1）解：∵
∴，即．
．
∴（两边对应成比例且夹角相等）．
∵，
∴
（2）证明：∵，
∴，即，
∴
∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴在以为直径的圆上运动，
∴到的最大距离为
（3）解：∵梯形中，，，，，
∴，
∵，
∴，即，
∵点E是线段的中点，
∴，
如图，取，作矩形，则，，连接，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴在为直径的圆上，
∴当的面积最小时，在过点且垂直于的直线上，则此时是等腰直角三角形，
∴
【解析】【分析】（1）利用已知可证得∠CAB=∠DAE，利用有两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质可求出∠E的度数.
（2）利用已知可证得，利用矩形的性质可求出AD的长，同时可证得∠FAD=∠BAE，由此可证得△ABE∽△AFD，利用相似三角形的性质可证得∠AFD=90°，可证得在以为直径的圆上运动，可求出点F到BC的最大距离就是的长，代入计算即可求解.
（3）利用已知条件可求出△EFG的面积，从而可得到GE与EF的积的值，利用线段中点可求出BE的长，取，作矩形，则，，连接，可推出，利用SAS可证得△PEG∽△FEB，利用相似三角形的性质可求出∠PGE=90°，可推出在为直径的圆上，当的面积最小时，在过点且垂直于的直线上，则此时是等腰直角三角形，即可求出EG的长.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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