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(共14张PPT)
11.2　提公因式法
知识点1 公因式
在一个多项式中，各项都含有的相同因式叫作这个多项式中各
项的公因式．
例如，多项式2a2b＋ab2的公因式是___．
ab
【注意】
多项式的系数都是整数时，公因式的系数是各项系数的最大公约数，公因式的字母取各项中相同字母的最低次幂．
知识点2 提公因式法因式分解
一般地，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式化成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．
【注意】
(1)提公因式法的依据是乘法分配律；(2)用提公因式法进行因式分解，要把各项的公因式一次性提出．若有一项被全部提出，则括号内该项为1，不能漏掉；(3)提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要改变符号．
考点1 公因式
典例1 [2025·烟台期中]把多项式8a3b2＋12ab3c分解因式，应提取的公因式是( )
A．4ab B．4ab2
C．4a2b D．4a2b2
思路导析 确定多项式各项系数的最大公约数，以及共有字母的最低次数，组合得到公因式．
变式1 [2024·济宁期末]下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是( )
A．5xy和xy5　　　
B．5x－y和x＋5y
C．5x－5y和6x－6y
D．5x和15y
变式2 [2024·浦东新区期末]把－9x3＋6x2－3x因式分解时，提出公因式后，另一个因式是( )
A．3x2－2x B．3x2－2x－1
C．－9x2＋6x D．3x2－2x＋1
变式3 [2025·西和县二模]多项式3x－9，x2－9与x2－6x＋9
的公因式为_____．
x－3
考点2 用提公因式法进行因式分解
典例2 [2024·酒泉期中]把下列各式分解因式．
(1)－14abc－7ab＋49ab2c；
(2)x(x－y)2－y(y－x)．
思路导析 (1)提取公因式－7ab分解因式即可；
(2)提取公因式(x－y)分解因式即可．
解：(1)原式＝－7ab(2c＋1－7bc)；
(2)原式＝(x－y)[x(x－y)＋y]
＝(x－y)(x2－xy＋y)．
变式1 [2024·济南期末]利用因式分解计算2 023×2 024－
2 0232 ( )
A．1 B．2 023
C．2 024 D．2 0232
变式2 [2024·河北区期末]如图，长宽分别为a，b的长方形周长为16，面积为12，则a2b＋ab2的值为( )
A．80 B．96
C．192 D．240
变式3 化简：(－2)2 025＋(－2)2 026＝_____.
22 025(共13张PPT)
第11章 因式分解
11.1　因式分解
知识点 因式分解的定义
把一个多项式化成几个___________形式，这种式子变形叫作
这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式．
整式的乘积
【注意】
(1)因式分解与整式乘法的过程是互逆的．
(2)对多项式因式分解的结果必须是乘积的形式，如把一个多项式写成(x＋1)(x－3)＋1就不是因式分解．
考点1 因式分解的定义
典例1 [2025·菏泽期末]下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A．3x3y2＝3xy·x2y
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a＝a(a＋1)
D．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
思路导析 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式即可．
变式1 [2025·莘县期末]下列从左到右的变形中是因式分解的有( )
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1
②x3＋x＝x(x2＋1)
③(x－y)2＝x2－2xy＋y2
④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
变式2 [2025·西乡县期末]已知多项式x2－4x＋m可以分解因式，一个因式是x－6，则另一个因式为( )
A．x＋2 B．x－2
C．x＋3 D．x－3
变式3 [2025·桥西区期中]下列多项式中，能分解因式的
是( )
A．a2＋b2 B．－a2－b2
C．a2＋2ab－b2 D．－a2＋b2
考点2 因式分解与整式乘法的关系
典例2 [2024·沧州模拟]若x2＋mx＋4＝(x－2)2，则下列结论正确的是( )
A．等式从左到右的变形是乘法公式，m＝4
B．等式从左到右的变形是因式分解，m＝4
C．等式从左到右的变形是乘法公式，m＝－4
D．等式从左到右的变形是因式分解，m＝－4
思路导析 将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可．将(x－2)2展开，与x2＋mx＋4对比，即可求得m.
变式1 [2024·成都期中]对于①x2－5xy＝x(x－5y)　②(x＋3)(x－4)＝x2－x－12.从左到右的变形，表述正确的是( )
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
变式3 [2024·金华期末]已知x2－mx＋42＝(x－n)(x－7)，
则m＝___，n＝__.
13
6(共9张PPT)
第2课时　用完全平方公式
进行因式分解
知识点1 用完全平方公式进行因式分解
两数的平方和，加上(减去)这两数乘积的2倍，等于这两数和
(差)的平方．用字母表示为____________________或_________
___________．
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
b2＝(a－b)2
a2－2ab＋
知识点2 因式分解的步骤
考点1 用完全平方公式进行因式分解
典例1 [2025·甘肃]因式分解：x2－6x＋9＝_______．
(x－3)2
思路导析 直接运用完全平方公式进行因式分解即可．
变式1 [2025·白银期末]若9x2＋(k－2)x＋16能用完全平方公式因式分解，则k的值为( )
A．±24 B．±26
C．26或－22 D．－26或22
变式2 [2024·福山区期末]因式分解：
9(2x－1)2－6(2x－1)＋1.
解：原式＝[3(2x－1)－1]2＝(6x－4)2＝4(3x－2)2.
考点2 综合运用提公因式法和公式法进行因式分解
典例2 [2025·青岛期末]因式分解：2m2n－m3－mn2.
思路导析 先提取公因式，再利用公式法因式分解．
解：2m2n－m3－mn2
＝－m(m2－2mn＋n2)
＝－m(m－n)2.
变式1 [2025·西乡县期末]下列各式中，因式分解正确的
是( )
A．5ax2－5ay2＝5a(x2－y2)
B．x2－4y2＝(x－2y)(x＋2y)
C．4x2－4x＋1＝4x(x－1)＋1
D．2x(x＋y)－6y(x＋y)＝(x＋y)(2x－6y)
变式2 因式分解：(1)(x2＋y2)2－4x2y2；
(2)m4－18m2＋81.
解：(1)(x2＋y2)2－4x2y2
＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)
＝(x＋y)2(x－y)2；
(2)原式＝(m2－9)2
＝[(m＋3)(m－3)]2
＝(m＋3)2(m－3)2.(共12张PPT)
11.3　公式法
第1课时　用平方差公式进行因式分解
知识点 用平方差公式进行因式分解
把平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2等号两边相互交换位置，
就得到____________________．即两个数的平方差，等于___
_______________________________．
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
这
两个数的和与这两个数的差的乘积
【注意】
这里所说的“两个数”a，b，既可以是单项式，也可以是多项式．
考点1 用平方差公式进行因式分解
典例1 [2025·山西]因式分解：m2－16＝_____________．
(m＋4)(m－4)
思路导析 根据平方差公式分解因式即可．
变式2 因式分解：(1)(x－2y)2－4x2；　
(2)9a2(x－y)＋16b2(y－x)．
解：(1)原式＝[(x－2y)＋2x][(x－2y)－2x]＝
(3x－2y)(－x－2y)＝－(3x－2y)(x＋2y)；
(2)9a2(x－y)＋16b2(y－x)
＝(x－y)(9a2－16b2)
＝(x－y)(3a－4b)(3a＋4b)．
变式3 因式分解：a4－16.
解：a4－16＝(a2－4)(a2＋4)＝(a＋2)(a－2)(a2＋4)．
考点2 综合运用平方差公式进行因式分解及应用
典例2 [2025·青岛期中]因式分解：a2(x－y)＋16(y－x)．
思路导析 先提公因式(x－y)，再利用平方差公式求解．
解：a2(x－y)＋16(y－x)＝(x－y)(a2－16)
＝(x－y)(a＋4)(a－4)．
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变式2 [2024·永寿县期中]【观察】
(2＋3)2－22＝(2＋3＋2)(2＋3－2)＝7×3，(4＋3)2－42＝
(4＋3＋4)(4＋3－4)＝11×3，(6＋3)2－62＝(6＋3＋6)
(6＋3－6)＝15×3，……
【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除．
【验证】
(1)若这个偶数是10，通过计算说明13和10的平方差能否被3整除；
(2)若设这个偶数为2n，试说明比2n大3的数与2n的平方差能否被3整除；
【延伸】
(3)试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除．
解：(1)132－102＝(13＋10)(13－10)＝69，69÷3＝23，所以能被3整除；
(2)(2n＋3)2－(2n)2＝(2n＋3＋2n)(2n＋3－2n)＝3(4n＋3)，所以能被3整除；
(3)设这个整数为n，比n大9的数为n＋9.
(n＋9)2－n2＝(n＋9＋n)(n＋9－n)＝9(2n＋9)，所以能被9整除．

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